19/192021北京門頭溝高三二模數(shù)學一、選擇題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）復數(shù)在復平面內對應的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）集合，，則A． B．， C．， D．，3．（4分）角終邊上一點，把角按逆時針方向旋轉得到角為，A． B． C． D．4．（4分）一個體積為正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的左視圖的面積為A． B．8 C． D．125．（4分）中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第五天走的路程為)A．48里 B．24里 C．12里 D．6里6．（4分）“”是“，”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

7．（4分）點到直線的距離的取值范圍為A．， B．， C．， D．，8．（4分）魏晉時期，數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術注》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”這是一種無限與有限的轉化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復，設，則可利用方程求得，類似地可得正數(shù)等于A．3 B．5 C．7 D．99．（4分）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與拋物線上相交于，兩點，且，兩點在準線上的投影分別為，兩點，則的面積為A． B． C． D．10．（4分）某維修公司的四個維修點如圖環(huán)形分布，公司給，，，四個維修點某種配件各50個在使用前發(fā)現(xiàn)需要將發(fā)送給，，，四個維修點的配件調整為40，45，54，61，但調整只能在相鄰維修點間進行，每次調動只能調整1個配件，為完成調整，則A．最少需要16次調動，有2種可行方案 B．最少需要15次調動，有1種可行方案 C．最少需要16次調動，有1種可行方案 D．最少需要15次調動，有2種可行方案二、填空題共5小題，每小題5分，滿分25分．11．（5分）函數(shù)的定義域是．12．（5分）外接圓圓心為，且，則．13．（5分），，是雙曲線上的一點，，，設，，的面積為，則的值為．14．（5分）函數(shù)的圖象向右平移個長度單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的最大值為．15．（5分）如圖，在棱長為2的正方體中，點是該正方體對角線上的動點，給出下列四個結論：①；②面積的最大值是；③面積的最小值是；④當時，平面平面．其中所有正確結論的序號是．三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）已知滿足____，且，，從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知填在橫線上，并求解下列問題：（Ⅰ）；（Ⅱ）求的面積．條件①，條件②，條件③．

17．（13分）京西某地到北京西站有阜石和蓮石兩條路，且到達西站所用時間互不影響．如表是該地區(qū)經這兩條路抵達西站所用時長的頻率分布表：時間（分鐘）蓮石路的頻率0.10.20.30.20.2阜石路的頻率00.10.40.40.1若甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘的時間趕往西站（將頻率視為概率）．（Ⅰ）甲、乙兩人應如何選擇各自的路徑？（Ⅱ）按照（Ⅰ）的方案，用表示甲、乙兩人按時抵達西站的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．18．（15分）如圖：平面，四邊形為直角梯形，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．19．（14分）、分別為橢圓的左、右焦點，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點，且不為長軸，的周長為8，橢圓的離心率為．（Ⅰ）求此橢圓的方程；（Ⅱ）為其右頂點，求證：直線，兩直線的斜率之積為定值，并求出此定值．

20．（15分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）時，求在，（1）處的切線方程；（Ⅱ）討論的單調性；（Ⅲ）證明：當時，在區(qū)間上恒成立．21．（15分）已知定義在上的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在任意區(qū)間上不是常值函數(shù)．設，其中分點，，將區(qū)間，分成個小區(qū)間，，記，，，稱為關于區(qū)間，的階劃分的“落差總和”．當，，取得最大值且取得最小值時，稱存在“最佳劃分”，，．（Ⅰ）已知，求，，的最大值（不必論證）；（Ⅱ）已知（a）（b），求證：在區(qū)間，上存在“最佳劃分”，，的充要條件是在區(qū)間，上單調遞增．

2021北京門頭溝高三二模數(shù)學參考答案一、選擇題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限，故選：．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．2．【分析】可求出集合，然后進行交集的運算即可．【解答】解：，，，．故選：．【點評】本題考查了集合的描述法和區(qū)間的定義，一元二次不等式的解法，交集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎題．3．【分析】由已知結合三角函數(shù)的定義及誘導公式即可直接求解．【解答】解：由題意得，，，，所以．故選：．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義及誘導公式，屬于基礎題．4．【分析】此幾何體是一個正三棱柱，正視圖即內側面，底面正三角形的高是，由正三角形的性質可以求出其邊長，由于本題中體積已知，故可設出棱柱的高，利用體積公式建立起關于高的方程求高，再由正方形的面積公式求側視圖的面積即可．【解答】解：設棱柱的高為，由左視圖知，底面正三角形的高是，由正三角形的性質知，其邊長是4，故底面三角形的面積是由于其體積為，故有，得由三視圖的定義知，側視圖的寬即此三棱柱的高，故側視圖的寬是3，其面積為故選：．【點評】本題考點是簡單空間圖形的三視圖，考查根據作三視圖的規(guī)則幾何體的直觀圖的能力以及利用體積公式建立方程求參數(shù)的能力，三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視寬相等”．5．【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構成以為公比的等比數(shù)列，由求得首項，再由等比數(shù)列的通項公式求得該人第五天走的路程．【解答】解：記每天走的路程里數(shù)為，由題意知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，（里．故選：．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式的運用，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用．6．【分析】根據充分必要條件的定義結合集合的包含關系判斷即可．【解答】解：由“”得：，，故是“”的必要不充分條件，故選：．【點評】本題考查了充分必要條件，考查三角函數(shù)以及集合的包含關系，是一道基礎題．7．【分析】利用點到直線的距離公式，三角函數(shù)的性質可得答案．【解答】解：記為點到直線的距離，即：，其中；當變化時，的最大值為，的最小值為，故選：．【點評】本題考查的知識點是點到直線的距離公式，三角函數(shù)的性質，屬于基礎題．8．【分析】設可解決此題．【解答】解：設，則，解得：或0（舍去）．故選：．【點評】本題考查方程思想，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題．9．【分析】求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求出，的坐標，得到，然后求解三角形的面積．【解答】解：拋物線的焦點坐標為，，由題意可得直線，聯(lián)立，得：，解得：，，則，在中，邊上的高，則．故選：．【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力，是中檔題．10．【分析】根據題意，先分析兩處互不相鄰兩處的調整方法數(shù)目，進而分析可得答案．【解答】解：根據題意，因為、兩處互不相鄰，所以處至少調整5次，處至少調整11次，故最少需要調整16次相應的可行方案有2種，方案①：調整10個給，調整5個給，然后再調整1個給；方案②：調整11個給，調整1個給，調整4個給，故選：．【點評】本題考查合情推理的應用，注意認真審題，明確題意，屬于基礎題．二、填空題共5小題，每小題5分，滿分25分．11．【分析】根據函數(shù)的解析式，列不等式組求出使函數(shù)有意義的的取值范圍即可．【解答】解：函數(shù)中，令，解得，所以該函數(shù)的定義域是，．故答案為：，．【點評】本題考查了根據函數(shù)的解析式求定義域的應用問題，是基礎題．12．【分析】畫出圖形，結合已知條件判斷兩個向量的關系，然后求解即可．【解答】解：如圖，外接圓圓心為，且，可知，所以是直角三角形，，則．故答案為：0．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，數(shù)形結合的應用，是基礎題．13．【分析】將的坐標代入雙曲線的方程可得，運用直線的斜率公式和兩角和的正切公式，以及三角形的面積公式，化簡整理，可得所求值．【解答】解：，，是雙曲線上的一點，可得，，，，所以．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的方程和運用，以及兩角和的正切公式，考查化簡運算能力，屬于中檔題．14．【分析】根據三角函數(shù)圖象變換關系，以及利用三角函數(shù)的單調性進行求解即可．【解答】解：由，即函數(shù)的圖象向右平移個單位即可得到的圖象，當時，，，若在區(qū)間上單調遞增，則，得，即的最大值為，故答案為：，．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角函數(shù)圖象變換以及三角函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵．15．【分析】通過證明平面來證明；將的面積表示出來，等價于求長度的最值，從而在中分別求得最大值和最小值；通過證明平面且平面來證明平面平面．【解答】解：在正方體中，，，，故面，又面，，故①正確；如圖，連接交于，面，，故，當與重合時，最大，，，此時，故②正確；在中，當時，取最小值，，，，此時，所以，故③錯誤；當時，在中，，，，，又，，面，由正方體易知，，即面，面面，故④正確；故答案為：①②④．【點評】本題考查了空間中的線線垂直的判定，以及面面平行的性質．三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】選①，結合同角基本關系先求出，，進而可求，然后結合余弦定理可求，，結合誘導公式及和角正弦可求；選②，由余弦定理可求，進而可求，結合誘導公式及和角正弦可求；選③，然后結合正弦定理可求；所以，，，由可求，然后求出，結合三角形面積公式可求．【解答】解：選①，，為銳角，所以，，；由正弦定理可得，所以的面積為；選②，（Ⅰ），由余弦定理得，，故為銳角，，所以；由正弦定理可得，所以的面積為；選③，（Ⅰ），所以，，，由正弦定理得，，所以；由知，因為，所以，故有兩解，又，即或，當時，，當時，．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及同角平方關系，三角形面積公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內趕到火車站”，表示事件“乙選擇路徑時，50分鐘內趕到西站”，用頻率估計相應的概率，比較兩者的大小，及，的從而進行判斷甲與乙路徑的選擇；（Ⅱ），分別表示針對（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內抵達西站，由知（A），（B），且甲、乙相互獨立，可能取值為0，1，2，分別代入相互獨立事件的概率公式求解對應的概率，再進行求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內趕到西站”，表示事件“乙選擇路徑時，50分鐘內趕到西站”，，2．用頻率估計相應的概率可得：因為，，因為，所以甲應選擇，，，因為，所以乙應選擇．（Ⅱ），分別表示針對（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到西站，由（Ⅰ）知（A），（B），又由題意知，，相互獨立，，（B）（A），（A）（B），的分布列為：0120.040.420.54．【點評】本題主要考查了隨機抽樣用樣本估計總體的應用，相互獨立事件的概率的求解，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的求解，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）只須證明平面內直線垂直于平面即可；（Ⅱ）用向量數(shù)量積計算二面角的余弦值；（Ⅲ）用反證法說明不存在．【解答】（Ⅰ）證明：取中點，連接，因為四邊形為直角梯形，，，，所以四邊形為正方形，，因為平面，平面，所以，又因為，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，于是平面平面．（Ⅱ）解：因為平面，所以、，又因為，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，，1，，，，，設平面的法向量為，，，，令，，1，，平面的法向量為，0，，所以二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：不存在，理由如下：假設在棱上存在點，使得平面，令，則，0，，，0，，由（Ⅱ）知平面的法向量為，1，，因為平面，所以，解得，與，矛盾，所以在棱上不存在點，使得平面．【點評】本題考查了直線與平面的位置關系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）根據題意可得，再根據離心率可求得，及而求得，由此得到橢圓方程；（Ⅱ），設直線，設出點，坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去并整理后，由根與系數(shù)的關系化簡即可得證．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，，而的周長為8，則，故，又，故，，橢圓的方程為；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，，設直線，，聯(lián)立得，，，，，，直線，兩直線的斜率之積為定值．【點評】本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查圓錐曲線中的定值問題，考查運算求解能力及邏輯推理能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）代入的值，求出函數(shù)的導數(shù)，計算（1），（1），求出切線