PAGE21PAGE第十二講工程問題工程問題是將一般的問題分?jǐn)?shù)化，換句話說(shuō)就是從分率的角度研究工作量、工作時(shí)間、工作效率三者之間的關(guān)系的應(yīng)用題，是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要部分，它的題型多樣，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，但有規(guī)律可循。常用的算法有算術(shù)法，組合法、比例法、假設(shè)法、方程法、轉(zhuǎn)化法例1：師徒兩人共同加工一批零件，師傅每小時(shí)加工12個(gè)，徒弟每小時(shí)加工8個(gè)，完成任務(wù)是，徒弟比師傅少加工120個(gè)，這批零件共有多少？解析1：徒弟比師傅每小時(shí)少加工12-8=4（個(gè)）師徒共同做了120÷4=30（小時(shí)）所以這批零件共有（12+8）×30=600（個(gè)）解析2：設(shè)師徒兩人共做了x小時(shí)，則有：解得x=30所以這批零件共有（個(gè)）鞏固練習(xí)11、加工一批零件，甲單獨(dú)做需要12天，乙單獨(dú)做需要15天，甲、乙合做3天后，乙又做了2天，還剩175個(gè)零件沒有加工，這批零件共有多少個(gè)？2、甲、乙二人加工一批零件，8小時(shí)可以完成，甲單獨(dú)做需要12小時(shí)，甲、乙兩人共做2.5小時(shí)后，甲被調(diào)走，由乙繼續(xù)加工了420個(gè)零件才完成任務(wù)，乙一共加工零件多少個(gè)？3、某服裝廠預(yù)計(jì)40天完成一批加工任務(wù)，先由20人做了15天，完成了，現(xiàn)在需要提前5天完成任務(wù)，需要增加多少人？例2：一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做12天，乙獨(dú)做10天完成，現(xiàn)在甲、乙合作，經(jīng)過8天完成，已知在這段時(shí)間內(nèi)甲休息了2天，那么乙休息了多少天？解析：解法①甲休息2天，那么完成的工作量是乙工作的天數(shù)是（天）所以乙休息了（天）答：乙休息了3天。解析：解法②設(shè)乙休息了天，則有：解得答：乙休息了3天。鞏固練習(xí)24、一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做要15天完成，乙獨(dú)做要20天完成?，F(xiàn)在甲、乙合作12天就完工了。這段時(shí)間里，乙休息了4天，那么甲休息了多少天？5、一條公路，甲隊(duì)單獨(dú)修需要24天，乙隊(duì)單獨(dú)修需要30天。甲、乙兩隊(duì)合修若干天后，乙隊(duì)停工休息，甲隊(duì)繼續(xù)修了6天完成。乙隊(duì)修了多少天？6、某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做36天完成，乙獨(dú)做45天完成。兩隊(duì)合作，中途甲隊(duì)因有新任務(wù)退出，乙隊(duì)又做了18天。那么甲隊(duì)干了多少天？例3：一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作12天完工，如果由甲隊(duì)先做6天，剩下的再由乙隊(duì)接著做21天剛好完成，若由乙隊(duì)單獨(dú)做完，需要多少天？解析：把“如果由甲隊(duì)先做6天，剩下的再由乙隊(duì)接著做21天剛好完成”理解為“甲乙合作6天后，接著乙做15天剛好做完”即也可以：（天）（天）答：若由乙隊(duì)單獨(dú)做完，需要30天。鞏固練習(xí)37、小張和小王合作一件工作，要12天完成，如果讓小張先做8天，剩下的由小王單獨(dú)做，小王還要14天才完成。小王單獨(dú)做這件工作需多少天完成？8、一項(xiàng)工程，甲先做63天，再由乙獨(dú)做28天也正好完成；若二隊(duì)合作需要48天完成?，F(xiàn)在甲先做42天，再由乙做，還需要多少天完成？9、師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成。師傅先做5天后，因事外出，由徒弟接著做了3天，共完成任務(wù)的，那么兩人單獨(dú)做這批零件各需多少天？例4：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做完要150天，乙隊(duì)單獨(dú)做完要180天，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，甲隊(duì)做5天休息2天，乙隊(duì)做6天休息一天，甲、乙合作多少天能完工？解析：甲、乙兩隊(duì)工作休息以7天為一個(gè)周期，在7天中甲工作5天，做了，乙工作6天做了，而，即15個(gè)星期。每個(gè)周期最后一天都在休息，所以要去掉1天。所以（個(gè)），（天）答：甲乙合作104天能完工。鞏固練習(xí)410、一項(xiàng)工程，單獨(dú)做甲40天完成，乙60天完成，丙80天完工。三人合作，甲每做2天休息一天，乙每做3天休息一天，丙每做5天休息一天。完成這項(xiàng)工程需要多少天？11、甲工程隊(duì)每工作5天必須休息1天，乙工程隊(duì)每工作6天必須休息2天。一項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)做需要62天，乙工程隊(duì)單獨(dú)做需要51天，兩隊(duì)合作，需要多少天才能完成？12、甲工程隊(duì)每工作6天休息一天，乙工程隊(duì)每工作5天休息2天，一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需經(jīng)97天，乙隊(duì)單獨(dú)做需經(jīng)75天。如果兩隊(duì)合作，從2013年12月23日開工，那么何年何月何日完工？例5：甲、乙、丙三隊(duì)合修一條水渠，甲、乙兩隊(duì)先合作6天，修好了這條水渠的，乙、丙兩隊(duì)合作2天，修好余下的，剩下的水渠三隊(duì)一起合修5天完成，三隊(duì)共得工資54萬(wàn)元，根據(jù)各隊(duì)實(shí)際完成的工作量來(lái)分配，甲隊(duì)?wèi)?yīng)得多少錢？解析：甲、乙的合作效率之和是，乙、丙的合作效率之和是，甲、乙、丙的合作效率之和是所以甲的工作效率是乙的工作效率是丙的工作效率是因此甲隊(duì)?wèi)?yīng)得：（萬(wàn)元）答：甲隊(duì)?wèi)?yīng)得9.9萬(wàn)元。鞏固練習(xí)513、有某校園圍墻由甲、乙兩人合作，甲、乙合修5天完成工作的，剩下的工作由甲單獨(dú)工作1天后，又由乙工作3天恰好完成，學(xué)校共支付工資9000元，若按完成的工作量的多少分配報(bào)酬，則乙應(yīng)得多少元？14、甲、乙、丙三人合作完成一項(xiàng)工程，共得報(bào)酬7200元，三人完成這項(xiàng)工程的情況是：甲、乙合作8天完成這項(xiàng)工程的，接著乙、丙合作2天，完成余下的，以后三人合作5天完成了這項(xiàng)工程，按勞付酬，每人各應(yīng)得多少工資？15、甲、乙二人承包一項(xiàng)工程，共得工資3390元。已知甲工作了10天，乙工作了13天，又知甲4天的工資比乙5天的工資多30元，求乙分得工資多少元？例6：一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天。如果兩人合作，甲的工作效率就要降低，只能完成原來(lái)的，乙只能完成原來(lái)的?，F(xiàn)在要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解析：兩人合作天數(shù)盡可能少，就要讓工作效率高的甲多做，因此設(shè)甲、乙合作天，則有解得x=5答：那么兩人要合作5天。鞏固練習(xí)616、一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需12天，乙獨(dú)做需14天。如果兩人合作，甲的工作效率就要降低，只能完成原來(lái)的，乙只能完成原來(lái)的?，F(xiàn)在要10天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？17、有一批資料要復(fù)印，甲機(jī)單獨(dú)復(fù)印要11小時(shí)，乙機(jī)單獨(dú)復(fù)印要13時(shí)，甲、乙兩臺(tái)同時(shí)復(fù)印，由于相互有些干擾，每小時(shí)兩臺(tái)機(jī)器共少印28張，現(xiàn)在兩臺(tái)機(jī)器同時(shí)復(fù)印了6小時(shí)15分。那么這批資料一共多少?gòu)垼?8、一件工程，甲、乙、丙三隊(duì)合作，要8天完成。已知甲隊(duì)每天的工作效率等于乙、丙兩隊(duì)每天的工作效率之和，丙隊(duì)每天的工作效率相當(dāng)于甲、乙兩隊(duì)工作效率和的，那么這件工程如果由乙隊(duì)單獨(dú)去做，要幾天才能完成？例7：甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)共同承包A、B兩項(xiàng)工程。工程B的工作量是工程A的工作量的。甲、乙、丙單獨(dú)完成工程B分別需要40、48、60天、開始時(shí)，先由乙、丙兩隊(duì)共同負(fù)責(zé)工程A，甲隊(duì)單獨(dú)負(fù)責(zé)工程B。工作若干天后，改由乙隊(duì)單獨(dú)負(fù)責(zé)工程A，甲、丙兩隊(duì)共同負(fù)責(zé)工程B。結(jié)果兩項(xiàng)工程同時(shí)完成。那么丙隊(duì)到工程B施工多少天？（2013年奧賽決賽試題）解析：假設(shè)B工程工作量為“1”，則A工程工作量為，那么甲、乙、丙三人合作完成兩項(xiàng)工程的時(shí)間為（天）設(shè)丙隊(duì)到工程B施工x天，則有解得x=6答：丙隊(duì)到工程B施工6天。鞏固練習(xí)719、甲、乙、丙三隊(duì)要完成A、B兩項(xiàng)工程，A工程的工作量比B工程的工作量多，甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)完成A工程所需時(shí)間分別是20天、24天、30天。為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，先派甲隊(duì)做A工程，乙、丙兩隊(duì)共同做B工程，經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊(duì)與甲隊(duì)共同完成A工程，那么丙隊(duì)與乙隊(duì)合作了多少天？20、有甲、乙兩項(xiàng)工程，張師傅單獨(dú)完成甲工程需要9天，單獨(dú)完成乙工程需要12天；李師傅單獨(dú)完成甲工程需要3天，單獨(dú)完成乙工程需要15天。如果兩人合作完成這兩項(xiàng)工程，最少需要多少天？21、甲車間的工作量是乙車間的，甲、乙兩車間人數(shù)的比是5:6，工作兩天后，乙車間完成了任務(wù)，甲車間也完成任務(wù)，而且還超額完成兩人一天的工作量，求甲、乙兩車間各有多少人？（每人每天的工作量相同）例8：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要9小時(shí)完成，乙單獨(dú)做需要12小時(shí)完成。如果按照甲、乙；甲、乙；…的順序輪流工作，每人每次工作1小時(shí)。那么完成這項(xiàng)工程共需要幾小時(shí)？解析：將甲工作1小時(shí)，乙工作1小時(shí)看作1個(gè)周期，在每個(gè)周期里，可看作甲、乙合作1小時(shí)。先求出這項(xiàng)工程最多可經(jīng)過多少個(gè)周期，再看余下工程所需時(shí)間。先估算完整周期：，（需要5個(gè)多周期），（小時(shí)）（小時(shí)）答：那么完成這項(xiàng)工程共需要小時(shí)。鞏固練習(xí)822、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要12小時(shí)，乙單獨(dú)做需要18小時(shí)。若甲做1小時(shí)后乙接替做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)，……，兩人如此交替工作，完成任務(wù)時(shí)需共用幾小時(shí)？23、打印一份稿件，甲單獨(dú)打要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)打要15小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲、乙兩人輪流打。甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)，甲工作1小時(shí)，……，如此交替工作，完成任務(wù)時(shí)需共用幾小時(shí)？24、一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流工作，恰好用整天數(shù)完成。如果第一天由乙做，第二天由甲做，這樣交替做，做到上次輪流完成時(shí)所用的天數(shù)后，還剩下60個(gè)不能完成。已知甲、乙工作效率比是5：3。甲、乙每天各做多少個(gè)？例9：水池有甲丙兩條進(jìn)水管和乙丁兩條出水管，要注滿一池水，單開甲管要3小時(shí)，單開丙管要5小時(shí)，要排光一池水，單開乙管要4小時(shí)，單開丁管要6小時(shí)?，F(xiàn)在池內(nèi)有的水，如果按甲、乙、丙、丁的順序，循環(huán)開各條水管，每次每管開1小時(shí)，問多少小時(shí)后，水開始溢出水池？解析：甲、乙、丙、丁各管分別開1小時(shí)后，水池中的水就增加，不難發(fā)現(xiàn)，每次四管輪流打開后，水池中的水不能超過水池的，否則開甲管的過程中水就會(huì)溢出。因?yàn)椋匝h(huán)4次后，水池中的水還不到，循環(huán)5次后，水池中的水已有。這樣再開甲管小時(shí)后，水就開始溢出了。即：（小時(shí)）答：小時(shí)后，水開始溢出水池。鞏固練習(xí)925、一水箱，用甲、乙、丙三根水管往里注水。如只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱就已滿；若只開乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)水箱就滿，又知乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍。該水箱可裝多少噸水？26、某水池可以用甲、乙兩根水管注水，單開甲管要12小時(shí)注滿，單開乙管要24小時(shí)注滿?，F(xiàn)在要求10小時(shí)注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時(shí)間盡可能少，那么甲、乙兩管合放最少要多少小時(shí)？27、某水池的容積是100立方米，它有甲、乙兩根進(jìn)水管和一個(gè)排水管，甲、乙兩管單獨(dú)住滿水池分別要10小時(shí)和15小時(shí)，水池中原有一些水，如果甲、乙兩管同時(shí)進(jìn)水而排水管排水，要6小時(shí)將池中水放完；如果甲管進(jìn)水而排水管排水，要2小時(shí)將池中水放完。那么池中原有多少立方米的水？例10：甲、乙兩廠生產(chǎn)同一規(guī)格的上衣和褲子，甲廠每月用18天生產(chǎn)上衣，12天生產(chǎn)褲子，共生產(chǎn)720套衣服。乙廠每月用15天生產(chǎn)上衣，15天生產(chǎn)褲子，共生產(chǎn)750套衣服?，F(xiàn)在兩廠合作生產(chǎn)，每月（30天）最多能生產(chǎn)多少套服裝？解析：通過比較不難發(fā)現(xiàn)甲廠每天可生產(chǎn)上衣40件或褲子60條，乙廠每天可生產(chǎn)上衣50件或褲子50條，因此可以安排乙場(chǎng)30天都生產(chǎn)上衣，甲廠先生產(chǎn)與乙廠同樣多的褲子，剩余時(shí)間再按比例分配生產(chǎn)上衣和褲子，甲生產(chǎn)上衣與褲子的效率比是40:60=2:3，生產(chǎn)同樣多的上衣和褲子的時(shí)間比則為3:2，所以（天）（件）（套）答：每月（30天）最多能生產(chǎn)1620套服裝。鞏固練習(xí)1028、甲、乙兩個(gè)服裝廠，他們生產(chǎn)同一規(guī)格的服裝，他們每個(gè)廠的人員和設(shè)備都能進(jìn)行上衣和褲子的生產(chǎn)。但是由于各廠的特長(zhǎng)不同，甲廠每月用的時(shí)間生產(chǎn)上衣，的時(shí)間生產(chǎn)褲子，每月生產(chǎn)900套服裝；乙廠每月用的時(shí)間生產(chǎn)上衣，的時(shí)間生產(chǎn)褲子，每月生產(chǎn)1200套服裝?，F(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長(zhǎng)多生產(chǎn)成套的服裝。那么現(xiàn)在比過去每月（均以30天計(jì)算）多生產(chǎn)多少套？29、甲、乙兩廠生產(chǎn)同一規(guī)格的上衣和褲子，甲廠每月用16天生產(chǎn)上衣，14天生產(chǎn)褲子，共生產(chǎn)448套衣服。乙廠每月用12天生產(chǎn)上衣，18天生產(chǎn)褲子，共生產(chǎn)720套衣服?，F(xiàn)在兩廠合作生產(chǎn)，每月（30天）最多能生產(chǎn)多少套服裝？30、甲、乙木器加工廠，他們生產(chǎn)同一規(guī)格的桌子和椅子。但是由于各廠的特長(zhǎng)不同，甲廠每月用的時(shí)間生產(chǎn)桌子，的時(shí)間生產(chǎn)椅子，每月生產(chǎn)270套；乙廠每月用的時(shí)間生產(chǎn)桌子，的時(shí)間生產(chǎn)椅子，每月生產(chǎn)300套?，F(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長(zhǎng)，那么現(xiàn)在每月（均以30天計(jì)算）最多能生產(chǎn)多少套桌椅？（一張桌子和一把椅子為一套）綜合練習(xí)十二31、一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)可以完成，現(xiàn)在先由甲、乙合做2小時(shí)，剩下的工作，乙又用了小時(shí)才完成。如果這項(xiàng)工作全部由乙來(lái)做，需要幾小時(shí)才能完成？32、加工一批零件，甲、乙兩人合作需要12天完成?，F(xiàn)在由甲先工作3天，然后由乙工作2天，還剩下這批零件的沒有完成。已知甲每天比乙少做4個(gè)零件，那么這批零件共有多少個(gè)？33、有一批零件，甲、乙兩種車床都可以加工。如果甲車床單獨(dú)加工，可以比乙車床提前10天完成任務(wù)?，F(xiàn)在用甲、乙兩車床一起加工，結(jié)果12天就完成了任務(wù)。如果只用甲車床單獨(dú)加工，需要多少天完成任務(wù)？34、工地上有一堆建筑垃圾需要運(yùn)走。如果用2輛大卡車，4天可以運(yùn)完；如果用4輛小卡車，5天可以運(yùn)完；如果用20輛小板車，8天可以運(yùn)完。工地安排1輛大卡車，2輛小卡車和10輛小板車一起運(yùn)兩天后，全部改用小板車將剩下的建筑垃圾在兩天內(nèi)全部運(yùn)完。那么，后兩天工地需要小板車多少輛？35、有一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)每天輪流做。原計(jì)劃按甲、乙、丙次序做，恰好整天完成。如果按乙、丙、甲的次序輪流做，比原計(jì)劃多用天；如果按丙、甲、乙的次序輪流做，比原計(jì)劃多用天；已知甲單獨(dú)做7天完成，且三個(gè)工程隊(duì)的工效不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)合作要多少天完成？36、一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流工作，恰好用整天數(shù)完成。如果第一天由乙做，第二天由甲做，這樣交替做，做到上次輪流完成時(shí)所用的天數(shù)后，還剩下84個(gè)不能完成。已知甲、乙工作效率的比是7：4。甲、乙每天各做多少個(gè)？一項(xiàng)工程，甲乙合作天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整天數(shù)完成。如果第一天由乙做，第二天由甲做，這樣交替做，比上次輪流做要多用半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做要多少天？38、一項(xiàng)工程，如果甲單獨(dú)做需要10天，乙需15天，丙需20天完工?，F(xiàn)在三人合作，中途甲先休息1天，乙接著休息了3天，而丙一直工作到完工為止。這樣一共用了幾天時(shí)間？39、一項(xiàng)工程，由甲隊(duì)承擔(dān)，需工期80天，工程費(fèi)用100萬(wàn)；由乙隊(duì)承擔(dān)，需工期100天，工