人教A版選擇性必修第二冊(cè)練習(xí)題

第四章數(shù)列...................................................................2

1、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法................................................2

2、數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式.............................................4

3、等差數(shù)列的概念........................................................7

4、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.................................................14

5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和...................................................21

6、等比數(shù)列的概念.......................................................28

7、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.................................................35

8、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和...................................................42

9、等比數(shù)列習(xí)題課.......................................................49

10、數(shù)學(xué)歸納法..........................................................59

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí)題.........................................65

1、變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念..............................................65

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.......................................................71

3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)...................................................78

4、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)..............................84

5、函數(shù)的單調(diào)性.........................................................91

6、函數(shù)的極值..........................................................100

7、函數(shù)的最大（?。┲?...................................................109

8、利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的問題.......................................118

第四章數(shù)列

1、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)

的得0分)

1.下列四個(gè)結(jié)論：

①如果已知一個(gè)數(shù)列的遞推公式及其首項(xiàng)，那么可以寫出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng)；

234

5n

3-4一5-X'…的通項(xiàng)公式是an=k；

③數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；

④數(shù)列L—1,L—1,…與數(shù)列-1,L—1,1,…是同一數(shù)歹U.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選A.只有③正確.①中，如已知a?+2=an+1+an,&=1,無法寫出除首項(xiàng)外的其他

項(xiàng).②中a.=嚕，④中一1和1排列的順序不同，即二者不是同一數(shù)列.

2.下列數(shù)列的關(guān)系是()

(1)1,4,9,16,25(2)25,16,9,4,1(3)9,4,1,16,25

A.都是同一個(gè)數(shù)列B.都不相同

C.(1),(2)是同一數(shù)列D.(2),(3)是同一數(shù)列

【解析】選B.三個(gè)數(shù)列中的數(shù)字相同，但排列的順序不同，故三個(gè)數(shù)列均不相同.

3n+ln是奇數(shù)

、/口:則出,a3等于()

{2n-2,n是偶數(shù)，

A.70B.28C.20D.8

_[3n+l,n是奇數(shù)，

【解析】選C.因?yàn)閍”=]曰/FH惻所以④=2X2—2=2,83=3X3+1=10,所以

12rl-2,n是偶數(shù)，

32?@3=20.

4.已知數(shù)%，|，|，/…，冷，則。.96是該數(shù)列的()

A.第22項(xiàng)B.第24項(xiàng)

C.第26項(xiàng)D.第28項(xiàng)

【解析】選B.令=0.96,解得n=24.

5.若以尸者，則見與如+］的大小關(guān)系是（）

A?an>Hn+iB.aWan+i

C.an=an+iD.不能確定

【解析】選B.因?yàn)閿?shù)列｛aj的通項(xiàng)公式是&=士=1-七（n6N*）,顯然當(dāng)

n十1n十1n十1

n增大時(shí)a”的值也隨之增大，故數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列，故有a“<a,,+i.

6.（多選題）下列四個(gè)命題中，正確的有（）

A.數(shù)歹的第k項(xiàng)為1+；

B.已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=n2—n—50,neN\則一8是該數(shù)列的第7項(xiàng)

C.數(shù)列3,5,9,17,33…的一個(gè)通項(xiàng)公式為a?=2"-l

D.數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式為4=缶，nGN*,則數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列

【解析】選ABD.對(duì)于A,數(shù)列｛『J的第k項(xiàng)為1+（,A正確；

B,令n”—n—50=—8,得n=7或n=—6（舍去），B正確；

C,將3,5,9,17,33,…的各項(xiàng)減去1,得2,4,8,16,32,設(shè)該數(shù)列為｛bj，則

其通項(xiàng)公式為bn=2"（nGN"）,因此數(shù)列式5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為a0=b“+l=

錯(cuò)誤；、=1

2n+1(neNOCD,an=11-則3n+I-3n=口+]

n+2

]

>0,因此數(shù)列｛a,｝是遞增數(shù)列，D正確,

(n+1)(n+2)

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.設(shè)數(shù)列E｝的通項(xiàng)公式為a產(chǎn)孤［3y，則四一3是數(shù)列的第項(xiàng).

fn-,______1________________，n+l-g___________\n+l_g_I

【解析】a“-g+g-（而+尸）（gf）-n+1-n一7

y/n,

令qib-3=y/n+1—y/n,所以n=9.

答案：9

8.若數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式是a?=3—2",則路=

a3

【解析】因?yàn)閍0=3-2",

所以a2n=3-22n=3-4'—―.

a33—25

答案：3-4n1

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.已知數(shù)列｛③｝中,a,.=5n-3,求為,并判斷97是否為數(shù)列⑸｝中的項(xiàng).

【解析】由已知，a5=5X5—3=22,

令5n—3=97,解得n=20,

故97是數(shù)列｛aj的第20項(xiàng).

10.寫出數(shù)列⑸｝：1,：,,,&,義，…的通項(xiàng)公式，并判斷它的增減性.

4?1U1

【解析】由于數(shù)列前n項(xiàng)分子分別為1,2,3,4,5,…，因此與項(xiàng)的序號(hào)n的關(guān)系可記為n,

而分母依次為1,4,7,10,13,…，與項(xiàng)的序號(hào)n的關(guān)系可記為3n—2.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為a.=彳、（ncN”）.

3n—2

—D

又因?yàn)閍n+1-an=7-—TT7已Q9

3（n+1）—23n—2

-2

=（3n+l）（3n-2）

所以a.+i<a“，所以數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列.

2、數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式

一、選擇題（每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)

的得0分）

1.已知am—a”-3=0,則數(shù)列｛a.｝是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.不能確定

【解析】選A.因?yàn)閍?+i—a0-3=0,得a田一&=3>0,所以數(shù)列W是遞增數(shù)列.

2.符合遞推關(guān)系式a,產(chǎn)*a-（n22）的數(shù)列是（）

A.1,2,3,4,B.1,y/2,2,2y[2,???

C.啦,2,y[2,2,…D.0,啦，2,2yf2,…

【解析】選B.由題意知從第2項(xiàng)開始每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的也倍，只有B項(xiàng)符合.

3.數(shù)列｛aj中,&=1,對(duì)所有的G2,n￡N',都有ai?a2?a3....an=n：則as+as等于（）

25256131

A，?B.正C.-D.-

2

【解析】選C.2a3=3、aia2=2,

aia2a3a4a5=5,aia2a3a4=4,

22

nl39525

則a3=^2=wa5=?=T6-

故a3+a5=y1.

16

4.由1,3,5,???,2n—1,…構(gòu)成數(shù)列⑸｝,數(shù)列｛bj滿足bi=2,當(dāng)n22時(shí),bn=ab?-i,

則從的值是（）

A.9B.17C.33D.65

【解析】選C.因?yàn)閎n=abi,所以b2=abi=a2=3,b3=ab2=a3=5,bi=ab3=a5=9,b5=ab

=39=17,b6=ab5=au=33.

5.下列給出的圖形中，星星的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的一個(gè)遞推公式可以是（）

A.an+i=an+n,nWN*

B.an=an-i4-n,nEN*,n22

C.a”+尸a?+(n+1),n^N\n22

D.an=an-i+(n—1),n《N*,n22

【解析】選B.結(jié)合圖示易知，ai=l,a2=3=ai+2,a3=6=a2+3,a4=10=a3+4.

故該數(shù)列的一個(gè)遞推公式可以為an=an-i+n,n￡N*,n22.

2

6.(多選題)已知數(shù)列｛列滿足:aWae,an=n+入n,nGN\則實(shí)數(shù)X可以取的值為()

A.-3B.-2C.1D.2

【解析】選ABCD.anWan+】=n2+入nW(n+1)'+入(n+1)=入2—(2n+1),n￡N*=入2—3.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.設(shè)數(shù)列｛a“｝滿足：a1=2,a.,+1=l--,記數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)之積為TL,貝I」

an

TI2021的值為

【解析】由az=：,a3=-l,a,=2可知，數(shù)列｛aj是周期為3的周期數(shù)列，從而ILM=（一

1)673X2X1=-1.

答案：一1

8.數(shù)列LJ滿足『1,-（n22且華巴則數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式為

-

an=(an-an-i)+(an-ian-2)+(an-2-an-3)+…

+(a2-ai)+ai,

11.11..11

an=-----+-----------H-----77+

n—1nn—2n—1F1T2

=2--,當(dāng)n=l時(shí)滿足.

n

答案：2--

n

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.在數(shù)列⑸｝中，31=1,3n+i=~.dn.

n+1

⑴寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)猜想數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

【解析】(l)ai=La2=1ai=1,

2211

a3=3a2=3X2=3，

3311441

a4=a3=X=Ja5=X

44345a=G45

(2)由(1)知須=’(nGN*).

n

*,從9a”為偶數(shù)，

2

10.已知數(shù)列｛a#滿足：ai=m(m為正整數(shù))，an+i=5若a6=l,求m所有

、3士+1,必為奇數(shù).

可能的取值.

【解析】若@5為奇數(shù)，則3a5+1=1,泱=0(舍去).

若as為偶數(shù)，則垓=1,a.5=2.

若?為奇數(shù)，則3a4+1=2,（舍去）.

若a1為偶數(shù)，則當(dāng)=2,ai=4.

若a3為奇數(shù),則3a3+1=4,a3=l,則a2=2,ai=4.

若&3為偶數(shù),則號(hào)=4,a3=8,

7

若出為奇數(shù),則3a2+1=8,a2=~(舍去).

若a?為偶數(shù)，則￡=8,a?=16.

若小為奇數(shù)，則3為+1=16,a)=5.

若ai為偶數(shù)，則費(fèi)=16,a1=32.

故m所有可能的取值為4,5.32.

3、等差數(shù)列的概念

一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)

的得0分)

1.已知｛aj為等差數(shù)列，a2+a8=12,則須等于()

A.4B.5C.6D.7

【解析】選C.a2+a)=ai+d+ai+7d=2ai+8d=12,所以ai+4d=6,所以a$=6.

2.等差數(shù)列｛a?｝中，已知as=7,as=13,則a?=()

A.16B.17C.18D.19

【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a5=a3+ai,

所以a?=2a5—a3=19.

3.若等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次是x—1,x+1,2x+3,則其通項(xiàng)公式為()

A.an=2n—5(n^N*)B.an=2n—3(nEN*)

C.an=2n—1(n^N*)D.an=2n+l(n^N*)

【解析】選B.因?yàn)閤—l,x+1,2x+3是等差數(shù)列的前3項(xiàng)，所以2(x+l)=x-l+2x+3,

解得x=0.

所以ai=x-1=-1,a2=l,小=3,

所以d=2,所以c=—1+2(n—1)=2n—3(n^N*).

4.在數(shù)列｛aj中，ai=l,an+i—an=2,neN+,則&5的值為()

A.49B.50C.89D.99

【解析】選A.因?yàn)?=L協(xié)+1—==2,n￡N*,所以數(shù)列｛aj是等差數(shù)列,則el+2X(25

-1)=49.

5.已知數(shù)列｛a.｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛b0｝分別滿足下列各式，其中數(shù)列｛b“｝必為等差數(shù)列

的是()

A.bn=|an|B.bn=a：

C.bn=-D.b=-7；

3n2n

【解析】選D.設(shè)數(shù)列｛a』的公差為d,

選項(xiàng)A,B,C,都不滿足b"一b“T=同一常數(shù)，所以三個(gè)選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的；

g工'生T否nUUHn.^n-13-n-l-3d

n=

對(duì)于選項(xiàng)D,bn-b?-i=——+~^~=---2~2'

所以數(shù)列｛bn｝必為等差數(shù)列.

6.(多選題)若數(shù)列｛aj滿足a1=l,3an+i=3an+l,n￡N*,則數(shù)列瓜｝是()

A.公差為1的等差數(shù)列

B.公差為J的等差數(shù)列

C.通項(xiàng)公式為an=日+|的等差數(shù)列

OO

D.通項(xiàng)公式為a“=￡+1的等差數(shù)列

O

【解析】選BC.由3a小=3an+l,得3a-一3須=1,即a?+Lan=J.所以數(shù)列瓜｝是公差為J

的等差數(shù)列.又因?yàn)閍i=l,得到an=l+(n—1)x1=￡+|,故選BC.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.在等差數(shù)列｛aj中，若ai=5,d=2,則aio=；若已知ai=3,d=4,an=59,則

n=.

【解析】a0=小+(10—l)d=5+9X2=23.因?yàn)閍n=ai+(n—l)d,所以59=3+4(n—1),解

得n=15.

答案：2315

8.等差數(shù)列1,-1,-3,-5,一89的項(xiàng)數(shù)為.

【解析】因?yàn)閍i=l,d=—1—1=—2,

所以an=ai+(n—l)d=-2n+3.

由一2n+3=—89,得n=46.

答案：46

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知等差數(shù)列｛aj滿足ai+a2=10,al—a3=2.

(1)求首項(xiàng)及公差；

⑵求｛a“｝的通項(xiàng)公式.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列W的公差為d.

因?yàn)閍3=2,所以d=2.

又因?yàn)閍i+a2=10,

所以2ai+d=10,故a1=4.

(2)由⑴可知an=4+2(n—1)=2n+2(n=L2,???).

10.已知等差數(shù)列｛4｝：3,7,11,15,….

(1)135,4m+19(m￡N*)是數(shù)列｛既｝中的項(xiàng)嗎？試說明理由;

(2)若％,aq(p,q《M)是數(shù)列｛&J中的項(xiàng)，則2%+3aq是數(shù)列EJ中的項(xiàng)嗎？并說明你的理由.

【解析】因?yàn)?=3,d=4,

所以an=ai+(n—l)d=4n—1.

(1)令an=4n—1=135,所以n=34,

所以135是數(shù)列｛a｝中的第34項(xiàng).

令an=4n—l=4m+19,貝ijn=m+5^N*.

所以4m+19是｛a.))中的第m+5項(xiàng).

(2)因?yàn)?,如是｛aj中的項(xiàng)，

所以ap=4p—1,%=4q—1.

所以2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q—1)

=8p+12q—5=4(2p+3q—1)—1,

因?yàn)?P+3q-l￡N”,

所以2%+3aq是｛aj中的第2p+3q—1項(xiàng).

提升訓(xùn)練

一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)

的得0分)

1.給出下列命題：

①數(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列；

②數(shù)列a,a—1,a—2,a—3是公差為一1的等差數(shù)列；

③等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定能寫成a0=kn+b的形式(k,b為常數(shù))；

④數(shù)列{2n+l}(n￡N*)是等差數(shù)列.

其中正確命題的序號(hào)是()

A.①②B.①③C.②③④D.③?

【解析】選C.根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列6,4,2,0的公差為一2,①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列a,a-1,a-2,a-3是公差為一1的等差數(shù)列，所

以②正確；對(duì)于③，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a“=ai+(n—l)d,得a“=dn+⑸一⑴，令1t=山

b=ai—d,則an=kn+b,所以③正確；對(duì)于④，因?yàn)閍m—a0=2(n+1)+1—(2n+1)=2,

所以數(shù)列{2n+l}(neN*)是等差數(shù)列.所以④正確.

2.我國(guó)古代著名的《周髀算經(jīng)》中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一；冬

至號(hào)(gui)長(zhǎng)一丈三尺五寸，夏至唇長(zhǎng)一尺六寸.意思是：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每相鄰兩個(gè)

節(jié)氣之間的日影長(zhǎng)度差為9年分；且“冬至”時(shí)日影長(zhǎng)度最大，為1350分；“夏至”時(shí)日

影長(zhǎng)度最小，為160分.則“立春”時(shí)日影長(zhǎng)度為()

國(guó)長(zhǎng)逐漸變小

“

\、

春

分/

清

驚蟄

明

谷

雨

水

雨{O

0

3330

搞

冬

21

大

卜

211()

霜

降

春長(zhǎng)逐漸變大

A.953；分B.10521分

C.11511分D.12501分

【解析】選B.一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每相鄰兩個(gè)節(jié)氣之間的日影長(zhǎng)度差為9年分，

且“冬至”時(shí)日影長(zhǎng)度最大，為1350分；

“夏至”時(shí)日影長(zhǎng)度最小，為160分.

從“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影長(zhǎng)變短，所以“立春”時(shí)日影長(zhǎng)度

為：

1350+mX3=l052T（分）.

3.在等差數(shù)列｛a“｝中，a2,a”是方程（+6*+2=0的兩個(gè)實(shí)根，則上=（）

a2aH

3

A.—~B.-3C.一6D.2

【解析】選A.由于a2,ay是方程x?+6x+2=0的兩個(gè)實(shí)根，所以a2+ai4=2a8=—6,a8=-

3,比?HM=2,

4.（多選題）等差數(shù)列瓜｝的首項(xiàng)為a,公差為1,數(shù)列版｝滿足壯=告.若對(duì)任意neN",

an十1

bnWb6,則實(shí)數(shù)a的可能取值是（）

A.17B.-6.5C.-6.3D.16

【解析】選BC.因?yàn)閰^(qū)｝是首項(xiàng)為a,公差為1的等差數(shù)列，所以a,尸n+a-l.所以b.=心

a”十1

1

=1---;—.

n十a(chǎn)

又因?yàn)閷?duì)任意的nCN”,都有b“Wbe成立，

可知a,又因?yàn)閿?shù)列｛a?｝是遞增數(shù)列，

則必有7+a—l<0且8+a-l>0,所以一7<a〈一6.

二、填空題（每小題5分，共20分）

5.已知｛a“｝為等差數(shù)列，若az=2a3+l,ai=2a3+7,則a?=.

【解析】因?yàn)椋伲秊榈炔顢?shù)列，a?=2a3+l,a=2須+7,

ai+d=2(ai+2d)+1

所以

a+3d=2(a)+2d)+7

解得出=-10,d=3,

所以&3=ai+2d=—10+6=-4.

答案：一4

6.己知數(shù)列｛aj中，a3=2,a7=l,且數(shù)歹"一二]為等差數(shù)列，則a$=

⑶十1]

【解析】由數(shù)列〔七|為等差數(shù)列，

[an+lj

1197

則有—4-Z7=一T7，可解得a5=￡.

as+la7+la5+l5

公山7

答案:5

7.數(shù)列｛aj滿足：Iog2an+i=l+log2an,若43=10,則氏=.

【解析】log2an+i=l+log2an)所以log2an+i-log2a?=l,

所以｛logzaj為等差數(shù)列，公差為1,第三項(xiàng)為log210,

所以log2a8=log210+5,

所以a?—320.

答案:320

8.在下面的數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列.

第1列第2列第3列???

第1行123???

第2行246???

第3行369???

.??????????????

那么位于表中的第n行第(n+1)列的數(shù)是.

【解析】由題意可得，第n行的第一個(gè)數(shù)是n,第n行的數(shù)構(gòu)成以n為首項(xiàng)，n為公差的等差

數(shù)列，其中第(n+1)項(xiàng)為n+n?n=r?+n.所以題表中的第n行第(n+1)列的數(shù)是n2+n.

答案：n2+n

三、解答題(每小題10分，共30分)

9.已知f(x)=-1^，在數(shù)列｛x“｝中，xi=；,xn=f(x“-i)(n22,nGN-),試說明數(shù)歹J']是

x+23(xj

等差數(shù)列，并求X95的值.

【解析】因?yàn)楫?dāng)n》2時(shí)，Xn=f(x『l),

所以*“=逢空；（n>2）,即x.x.T+2x”=2x“-,（n22）,得空二3

=1(n22),

Xn_1"l2XnXn-1

即^------=1（n22）.

XnXn—12

又工=3,所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以工=3+（n—l）X9=

Xi[XnJ2Xn2

n+5

~2~'

2

所以x“=n+5,

21

所以赤百=而.

2

10.數(shù)列｛aj滿足ai=l,an+i=（n+n—X）an（n=l,2,-??）,人是常數(shù).

（1）當(dāng)&2=—1時(shí)，求人及&3的值；

⑵是否存在實(shí)數(shù)入使數(shù)列■｝為等差數(shù)列？若存在，求出X及數(shù)列｛①｝的通項(xiàng)公式；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）由于&+1=（r?+n-入）&i（n=l,2,-?-）,

且ai=l.

所以當(dāng)az=—l時(shí)，得一1=2一入，故入=3.

從而23=（22+2—3）X（—1）=-3.

⑵數(shù)列｛①｝不可能為等差數(shù)列，

證明如下：由ai=l,須+1=（n"+n—入）a,”

得出=2一入,a3=（6一入）（2—人）,

a4=（12—入）（6—入）（2—人）,

若存在人使｛須｝為等差數(shù)列，

則as——an即（5一入）（2—入）=1—X,

解得X=3.于是a2—ai=l—入=—2,

a，1一a3=（11—入）（6—入）（2—入）=-24.

這與｛a｝為等差數(shù)列矛盾.所以，不存在X使｛aj是等差數(shù)列.

11.已知數(shù)列值｝滿足a“+產(chǎn)”且ai=3（ndN"）.

a?+2

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

[an—2J

（2）求數(shù)列｛a』的通項(xiàng)公式.

【解析】⑴因?yàn)閍“+尸小

_

所以a「23-21，a?+i26an~4

a0+2-2

_________a“+2__________a“+2(a,~2)+4____1_I__1________1_____1

(6a?—4)—2(a?+2)4a?—84(an—2)an—24'an+i_2a?—24

nSfT,

故數(shù)列I占!是首項(xiàng)為1，公差為J的等差數(shù)列.

/小、A.11,(1n+3bt、i2n+10.共

(2)由(1)知----=------+(n-1)X-=——,所以an=~TQ-，n￡N.

an~2ai—244n+3

4、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)

的得0分)

1.在等差數(shù)列｛an｝中，若a2=4,a.1=2,則a6=()

A.-1B.0C.1D.6

【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得%=2a4-a2=2X2—4=0.

2.等差數(shù)列｛aj中&=5,a6=33,則a3+a5=()

A.35B.38C.45D.48

【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3+a5=a2+a6=38.

3.等差數(shù)列｛aj中，已知a3=10,a8=-20,則公差d=()

A.3B.-6C.4D.-3

—20—10

【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得加一a3=(8—3)d=5d,所以d=---=-6.

5

4.設(shè)數(shù)列｛aj,｛bj都是等差數(shù)列，且二=25,bi=75,a2+b2=100,則a3?+b37等于()

A.0B.37C.100D.-37

【解析】選C.因?yàn)椋鸻3?｝都是等差數(shù)列,

所以｛a“+bj也是等差數(shù)列.

又因?yàn)閍」+bi=100,a2+b2=100,

所以an+b?=100,

故a37+b37=100.

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五

尺，末日織一尺，今三十織迄”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多

的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完.則該女子第11天織布（）

【解析】選B.設(shè)女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為｛a,J,由題設(shè)可知｛aj為等差數(shù)列,

1—54

且ai=5,ao=L故公差d="：-，

330-129

)=5-29=W

故au=a1+(11—1)X

6.（多選題）若a,b,c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y=ax?-2bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)可能為（）

A.0B.1C.2I）.3

【解析】選BC.因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c,

所以△=4b2—4ac=（a+c）2—4ac=（a—c）?》。.

所以二次函數(shù)y=ax:;—2bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列｛須｝中，+=3,則a3a7的最大值為.

【解析】依題意，等差數(shù)列W各項(xiàng)都為正數(shù)，

所以,>0,a7>0,

所以a3a7WI",=（&J=9.

當(dāng)且僅當(dāng)a3=a7=3時(shí)等號(hào)成立.

答案：9

2

8.在等差數(shù)列｛aj中，若a2+%=10.則（a，i+a6）—2a5=.

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛aj為等差數(shù)列，a2+a8=at+a6=2a5=10,

L2

所以(a，+ae)—2a5=10—10=90.

答案：90

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.兩個(gè)等差數(shù)列｛&｝：5,8,11,…和｛bn｝：3,7,11,…都有100項(xiàng)，那么它們共有多少

個(gè)相同的項(xiàng)？

【解析】方法一：設(shè)已知兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列為匕,｝,5=11,又?jǐn)?shù)列5,8,

11,…的通項(xiàng)公式為a0=3n+2,數(shù)列3,7,11,…的通項(xiàng)公式為b.=4n—1,所以數(shù)列｛cj

為等差數(shù)列，且d=12,

所以cn=12n—1.

又因?yàn)閍ioo=3O2,bioo=399,

所以c?=12n-lW302,

所以nW25^,

所以已知兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng).

方法二：因?yàn)閍n=3n+2,b?=4n—1,

4

設(shè)&,=鼠，則有3n+2=4m—1(n,mdN*)即n=^m—1(n,mdN*).要使n為正整數(shù)，m必須

o

?4

是3的倍數(shù).設(shè)m=3k(k￡N),代入。=可印一1,得n=4k—l.

又因?yàn)閘〈3kW100,且lW4k-lW100,

所以lWk<25,

所以共有25個(gè)相同的項(xiàng).

10.在等差數(shù)列｛aj中，若ai+@2+…+@5=30,a6+a?+…+aio=8O,求a“+ai2+…+a]5.

【解析】方法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得

SiQ.ii—236,a2+ai2=2a?，,a5+a15=2aio.

所以(a1+az+…+a5)+(an+ai2+…+ai5)

—2(a6+a7++aio).

所以au+ai2H-----|-ai5=2(a6+a7H-------Faio)一

(ai+a2+-+a5)=2X80-30=130.

方法二：因?yàn)閿?shù)列｛aj是等差數(shù)列，

所以a1+a2T-----Fas,a6+a?+…+a]o,a”+ai2T-----卜ai5也成等差數(shù)列,即30,80,au+ai2

+…+ai5成等差數(shù)列，所以30+(ai1+ai2+,?,+ais)=2X80,

an+ai2+,,,+ai5=130.

提升練習(xí)

一、選擇題（每小題5分，共20分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)

的得0分）

1.數(shù)列｛aj滿足3+a?=a“+i且az+ai+a6=9,則logeGs+ai+as）的值是（）

1

A2B2

2-

【解析】選C.因?yàn)閍“+「a”=3,所以｛aj為等差數(shù)列，且d=3.

a2+a?+a6=9=3a”所以a』=3,a5+aT+ag=3a7=3（a.i+3d）=3（3+3*3）=36,

所以logeGs+ar+ag）=loge36=2.

2.若5,x,y,z,21成等差數(shù)列，則x+y+z的值為（）

A.26B.29C.39D.52

【解析】選C.因?yàn)?,x,y,z,21成等差數(shù)列，所以y既是5和21的等差中項(xiàng)也是x和z

的等差中項(xiàng).所以5+21=x+z=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.

3.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，

上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）

A.1升B.果升C.今升D.*升

【解析】選B.設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列｛③｝的首項(xiàng)為a?

ai+a2+a3+a.t=3,

公差為d,則有

a?+a8+a9=4,

13

ai=f

4ai+6d=3,22

即解得

,3ai+21d=4.

9=而

所以ai+4d*,即第5節(jié)的容積為fl升.

4.（多選題）在等差數(shù)列｛a“｝中，已知35=10,al2>31,則公差d的取值可以為（)

A.3B.4C.5D.6

【解析】選BCD.設(shè)首項(xiàng)為a”由題意,

ad4d=10,

可知，

al+lld>31,

解得d>3.所以d的取值范圍是（3,+8）.

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.已知AABC中三邊a,b,c成等差數(shù)列，木，卡也成等差數(shù)列，則△ABC的形狀

為.

fa+c=2b,①

【解析】由題可得廠廠廠…

加=2部,②

②2一①，得2y/ac=2b.

所以b2=ac,

又(a+c)2=4b)即(a+c)2=4ac,

所以a2—2ac+c2=0,

即(a—c)2=0,所以a=c,代入①，可得a=b=c,

所以aABC為等邊三角形.

答案：等邊三角形

6.如果等差數(shù)列｛aj中，33+34+35=12,那么如=__；ai+az+…+a?=____.

【解析】由a3+a4+a5=3a4=12,

所以at=4,ai+a2H---1-a7=7ai=28.

答案：428

7.在等差數(shù)列｛a#中，as+a6=4,則log2(2ai?2a2..........2al0)=______________.

【解析】在等差數(shù)列｛&)中，a5+a6=4,所以ai+aio=a2+a9=a3+a8=ad+a7=a5+a6=4,所

以ai+az+…+aio=(ai+aio)+(az+aj+(83+a?)+(ai+a?)+(as+ae)=5(as+ae)=20,

貝ijlog2(2ai?2a2....2a[o)=log22&+a2H----Faio

+a2+***+310~~20.

答案：20

8.已知(x2—2x+m)(x2—2x+n)=0的4個(gè)根組成首項(xiàng)為:的等差數(shù)列，則Im—n|=.

【解析】因?yàn)閥=x2—2x+m與y=x?—2x+n有相同的對(duì)稱軸，設(shè)四個(gè)根分別為Xi,x2,x3,

。o[xi+x.i=2,

x4,不妨設(shè)Xi,x4為x~—2x+m=0的兩根，X2,X3為x——2x+n=0的兩根，則彳

[xix.i=m.

JX2+X3=2,

[x2X3=n.

I726

不妨令X1=7,所以X4=1,X2=-,X3=-,

7151

所以m=正,n=—,所以|m-n|=].

答案：2

三、解答題(每小題10分，共30分)

/Aan211

9.設(shè)數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，bn=7,fib+b+b=—，bibb=-，求通項(xiàng)公式a”.

/123o23o

【解析】因?yàn)閎bb3=1,又bn=(；)

所以（0+a2+as=1

所以ai+a2+a3=3.

又｛aj成等差數(shù)列,所以a=1,ai+a3=2.

117

所以bib3=：，bi+b：3=K，

4o

bi=2,bi=i

所以《1或，

%=于

h=2,

ai=3-1,可=3，

所以，3

口3=—1.

設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

當(dāng)ai=-1,as=3時(shí)，d=2,所以a?=—l+2(n—1)=2n—3；

當(dāng)ai=3,aa=-1時(shí)、d=—2,所以a?=3—2(n—1)=—2n+5.

綜上所述，a“=2n—3(neM)或a?=—2n+5(nGN*).

10.已知無窮等差數(shù)列｛1｝中，首項(xiàng)ai=3,公差d=-5,依次取出序號(hào)能被4除余3的項(xiàng)組

成數(shù)歹U｛b?｝.

⑴求E和b2；

(2)求｛bj的通項(xiàng)公式；

(3)｛b.J中的第503項(xiàng)是｛③中的第幾項(xiàng)?

【解析】數(shù)列｛b.｝是數(shù)列｛a0｝的一個(gè)子數(shù)列，其序號(hào)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

由于｛4｝是等差數(shù)列，則｛b0｝也是等差數(shù)列.

(1)因?yàn)閍i=3,d=-5,所以a“=3+(n—1)X(―5)=8—5n.數(shù)列｛aj中序號(hào)被4除余3的

項(xiàng)是｛a｝中的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第H項(xiàng)，…，

所以bi=a3=—7,b2=a；=-27.

⑵設(shè)｛a,｝中的第m項(xiàng)是限｝中的第n項(xiàng)，即b.=a,“

則m=3+4(n—1)=4n—1,

所