2023/2/181雙曲型導(dǎo)熱微分方程

三.雙曲型導(dǎo)熱微分方程

熱在物體中傳播速度無限大,在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中,任何瞬時,變化和改變是同步的.這種假設(shè)對于緩慢非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程是可用的,為拋物線方程.2023/2/182雙曲型導(dǎo)熱微分方程(對于低溫度下急劇變化的非穩(wěn)態(tài)過程不能把熱擾動傳播速度看成是無限大)由于物體有熱慣性,溫度場的重新建立和溫度梯度變化是滯后邊界條件的.溫度場重新建立滯后于熱擾動(熱流密度變化),滯后時間稱為松弛時間。

熱擾動傳播速度與松弛時間關(guān)系為：2023/2/183雙曲型導(dǎo)熱微分方程考慮熱擾動傳播速度為有限值,則伏利葉定律中的熱流密度要增加一個附加項

為導(dǎo)溫系數(shù).熱慣性↑,則松弛時間

↓;↑,則↓2023/2/184雙曲型導(dǎo)熱微分方程由控制體能量平衡關(guān)系：

;;2023/2/185雙曲型導(dǎo)熱微分方程其對求導(dǎo)：

將其代入λ為const,則

為熱擾動在物體中的傳播速度為有限值的導(dǎo)熱微分方程.為雙曲型微分方程。2023/2/186雙曲型導(dǎo)熱微分方程為方程中增加的一項。一般松弛時間

很小,只有在一些極快速瞬態(tài)導(dǎo)熱才需要考慮,對一般過程,其可忽略不計,這些分析有助于我們對導(dǎo)熱機理研究。

2023/2/187變分形式的導(dǎo)熱方程四.變分形式的導(dǎo)熱方程

根據(jù)變分原理,泛涵求極值的計算在數(shù)學上等價于微分方程求解,即對求極值可得到滿足相應(yīng)微分方程和邊界條件某一函數(shù)—微分方程在一定邊界條件下的解.下面將介紹導(dǎo)熱微分方程變分描述基本概念。

1.泛涵：函數(shù)與泛涵的區(qū)別2023/2/188函數(shù)與泛涵的區(qū)別

函數(shù)自變量是數(shù),而泛涵的自變量是函數(shù).即泛涵是函數(shù)的函數(shù).J=J(y)=J[y(x)](2)

y=y(x)(1)例:x為自變量,y為因變量.函數(shù)可表示為:設(shè)J又是y的函數(shù),那么泛涵J可表示為2023/2/189變分形式的導(dǎo)熱方程（舉例）對泛涵具體例子,舉一個最速降落線的問題（伯努力1696年提出）。例:試確定一條曲線y=y(x),連接不再同一鉛垂線上兩定點A和B,使得質(zhì)點M在重力的作用下,沿著這條曲線由較高點A自由滑到較低點B(不計摩擦),所需時間為最短。具有這種性質(zhì)曲線為最速降落線.

2023/2/1810

根據(jù)無阻力及能量守恒條件,物體在重力加速度g作用下,降落至同一水平面時具有相同的速率,所以物體在曲線上任一點M處的速率v必與自由落體在下降相同y距離時的速率相同,由物理學知道2023/2/1811變分形式的導(dǎo)熱方程∴

根據(jù)速率定義,可知從A到B所需時間

式中y=y(x)為函數(shù),t為y的函數(shù).2023/2/1812固定端點的變分T[y(x)]稱為泛涵,y(x)為函數(shù),它必需滿足t為最小值的條件,這就是一個對泛涵求極值的問題,在數(shù)學上稱為變分。變分計算的目的是把極值曲線y(x)找出來。

2.固定端點的變分：求一函數(shù)y＝y(tǒng)(x)，滿足如下條件;并能使J達極值。

設(shè)有泛涵

2023/2/18132023/2/1814泛函步驟

泛涵部分大致有如下三步驟

1.找一任意光滑連續(xù)函數(shù)η(x)滿足2.取一參變量ε,它可在不太大的正負范圍內(nèi)變化,為使問題簡化,令ε與x無關(guān).3.設(shè)y(x)為待求的極值曲線,則:

y(ε,x)=y(x)+εη(x)為通過A、B兩點鄰近于極值曲線的無限多曲線,滿足

δ是專門的變分符號.

2023/2/1815函數(shù)的微分于泛涵的變分對照

函數(shù)的微分于泛涵的變分對照：y=y(x),函數(shù)增量△y=y(x+△x)-y(x)則函數(shù)微分：

函數(shù)取極值條件為：泛涵J＝J[y(x)],泛涵增量

函數(shù)增量為

2023/2/1816泛涵取極值的必要條件而函數(shù)的變分為：泛涵取極值的必要條件為：

2023/2/1817變分基本性質(zhì)基本性質(zhì)

：變分運算與微分運算有相同之處①設(shè)有函數(shù)y(x),n為常量②設(shè)有函數(shù)u(x),v(x)則③設(shè)有函數(shù)y(x)，則④微分和變分次序可變2023/2/1818性質(zhì)③④

證明

③

是由引起,突出ｘ自變量.而并不是引起的。是在x時得到的。是定義在x為給定值時的一條垂直線上∴（即變分計算時x為常量）④

【證明：

2023/2/1819變分形式的導(dǎo)熱方程

對x求導(dǎo)，

由上面式子得

2023/2/1820變分形式的導(dǎo)熱方程（極值條件）

對于泛涵也可寫作

即

或?qū)憺榉汉O值的條件為

:

2023/2/1821函數(shù)取極值條件

函數(shù)取極值得條件為：

2023/2/1822函數(shù)取極值條件證明取極值

則

2023/2/1823泛函取極值條件證明2023/2/1824推導(dǎo)歐拉方程理論基礎(chǔ)

求對于泛涵取極值時，函數(shù)y(x)必須滿足的條件：y(x)鄰近曲線代入J→則

（萊布尼滋法則）介紹推導(dǎo)歐拉方程理論基礎(chǔ)

2023/2/1825歐拉方程理論基礎(chǔ)考慮

與無關(guān)，并將的關(guān)系代人

2023/2/1826歐拉方程理論基礎(chǔ)即

2023/2/1827歐拉方程理論基礎(chǔ)∴

則

利用

條件

2023/2/1828歐拉方程極值曲線應(yīng)滿足的必要條件（非充分條件）要求這個微分方程，可得無窮多個極值曲線，把邊界條件代人看到唯一的曲線。上式積分對任意函數(shù)都為0，則可推出歐拉方程

2023/2/1829歐拉方程（特殊情況1）推出最后歐拉方程

兩種特殊情況：

（1）F中不含y，即由

→

積一次分再積一次分可得極值曲線。2023/2/1830歐拉方程（舉例）例：滿足邊界條件的極值曲線不含y，所以歐拉方程的首次積分

對求偏導(dǎo)

2023/2/1831歐拉方程（總結(jié)）總結(jié)：變分求解方程①從泛涵取極值出發(fā)，產(chǎn)生與變分代表同一物理過程的微分方程，即歐拉方程。②用數(shù)學方法求微分方程，從而得到滿足變分的極值曲線。

極值曲線是一個圓，將邊界條件代人可求出

2023/2/1832歐拉方程（特殊情況2）（2）F中不含x，這時歐拉方程展開式

寫成全微形式2023/2/1833歐拉方程（特殊情況2證明）2023/2/1834可動端點變分3.可動端點變分除了兩端點固定變分外，還有極值曲線的一端點可在已知曲線上移動的變分問題，在上面例子中，讓A不動，B移動。B在任一給定位置都可得到一條極值曲線（為給定端點極值曲線），可動端點變化就是在上述曲線（極值上）再作一比較，以求出B坐在某一高度時降落時間最短。（即從一系列固定曲線中挑選出來）

2023/2/1835可動端點變分

可動端點與固定端點變化基本相同，還是對求極值曲線。但有不同邊界條件只有;而不確定。故選取任意光滑連續(xù)函數(shù)與上面相同

2023/2/1836可動端點變分

由于歐拉方程必須滿足

同時對任意

（自然邊界條件）∴求解歐拉方程得：兩個積分常數(shù)＋

＋自然邊界條件，可得出唯一的解。

2023/2/1837重積分下的變分（固定邊界）

4.重積分下的變分（固定邊界）（1）公式推導(dǎo)上面泛涵，只是的函數(shù)，現(xiàn)在討論，T是、的函數(shù)，是平面溫度函數(shù)在區(qū)域D邊界上有已知值。

（已知）

2023/2/18382023/2/1839重積分下的變分（固定邊界）

泛涵求極值時，極值曲面的一系列臨近曲面在區(qū)域D中的值可改變，在邊界上的值不能變。同上面固定端點變分法一致

為絕對值較小參變量，與、無關(guān)2023/2/1840重積分下的變分（固定邊界）代人泛涵

泛涵取極值

（格林公式）

在區(qū)域D和邊界上的任意函數(shù)

2023/2/1841重積分下的變分（固定邊界）看后兩項：

第一項用格林公式

則

2023/2/1842重積分下的變分（固定邊界）歐拉方程

2023/2/1843重積分下的變分（固定邊界）同樣

2023/2/1844第一類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場（2）第一類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場

求泛涵

極值曲面

其中T在區(qū)域D邊界溫度已知

公式中不含、、T

故

2023/2/1845第一類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場同樣

；

；

拉普拉斯方程

極值曲面為滿足拉普拉斯方程的一系列曲面。為了唯一確定極值曲面，用固定邊界給出定解條件（第一類邊界條件）

2023/2/1846第一類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場上述泛涵在邊界條件約束下變分所得的極值函數(shù)

就是拉普拉斯方程在第一類邊界條件下的解

。

2023/2/1847重積分下變分（可動邊界）

5.重積分下變分（可動邊界）

(1)公式推導(dǎo)是一個未知變量，其溫度場為可動邊界變分問題，其泛涵一般形式

2023/2/1848∴

(2)二類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場

求泛涵

極值曲面,為邊界上的熱流密度二類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場（A）

(B)

2023/2/1849,

由上面A代人

；

；及

代人(B)得：

二類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場2023/2/1850二類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場由于邊界

則（二類邊界條件）

2023/2/1851三類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場（3）三類邊界條件

求泛涵

的極值曲面；為介質(zhì)溫度，為介質(zhì)對固體的換熱系數(shù)，為固體導(dǎo)熱系數(shù)。

；

；

則（拉普拉斯方程）2023/2/1852三類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場則

為溫度場的三類邊界條件。

結(jié)論：泛涵取極值的極值曲面，就是拉普拉斯方程在邊界條件下的解：

2023/2/1853

絕熱。方程與第一類相同的泛涵，但是可動邊界變分與固定邊界變分問題，所得極值曲面具有不同的性質(zhì)。

②，化為一類邊界條件。故即可采用固定邊界條件，也可采用可動邊界條件變分。

三類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場2023/2/1854具有內(nèi)熱源溫度場（4）具有內(nèi)熱源溫度場

求泛涵

求極值曲面必須滿足的條件。

上式與前面比多了一項

，則

代入歐拉方程

（為內(nèi)熱源平面溫度場的微分

方程及邊界條件）

2023/2/1855軸對溫度場變分問題（柱坐標）

6.軸對溫度場變分問題（柱坐標）1）無內(nèi)熱源軸對稱穩(wěn)定溫度場

相應(yīng)泛涵為

2023/2/1856軸對溫度場變分問題（柱坐標）

；；

；

∴

而自然邊界條件得：

將

、

和

代入

2023/2/1857軸對溫度場變分問題（柱坐標）∵

，為任意值

∴

2023/2/1858有內(nèi)熱源軸對稱穩(wěn)定溫度場2）有內(nèi)熱源軸對稱穩(wěn)定溫度場2023/2/1859

不穩(wěn)定溫度場變分（無內(nèi)熱源）

7.不穩(wěn)定溫度場變分1）無內(nèi)熱源平面不穩(wěn)定溫度場

為已知（1）（2）（3）（方程(1）為拋物型方程，其泛涵變分問題還沒有很好解決)2023/2/1860不穩(wěn)定溫度場變分（無內(nèi)熱源）現(xiàn)有兩種解決方法

①令時間變量暫時固定（即考慮在一瞬時的條件下僅是位置函數(shù)）對泛涵變分，然后再考慮

的變化，把

用差分展開。

泛涵（4）2023/2/1861不穩(wěn)定溫度場變分（無內(nèi)熱源）利用前面講的

做變分計算

注意：做常數(shù)處理，可得微分方程(1)、(3).

初始條件（2）作為定解條件在以后的計算中代入2023/2/1862不穩(wěn)定溫度場變分（無內(nèi)熱源）②先把（1）用向后差分改寫為

此時，對應(yīng)的泛涵為：

再利用前面講的

可得到（1）、（3）。兩種方法可得到相同的變分計算結(jié)果。2023/2/1863不穩(wěn)定溫度場變分（內(nèi)熱源）2）有內(nèi)熱源空間不穩(wěn)定溫度場初始條件為已知時極值曲面

必須滿足的條件同前面一樣，只是要用空間概念代替平面概念，即相應(yīng)歐拉方程

2023/2/1864不穩(wěn)定溫度場變分（內(nèi)熱源）空間格林公式由此得到

必須滿足條件

2023/2/1865不穩(wěn)定溫度場變分（內(nèi)熱源）為已知（1）（2）（3）泛涵