.初中數(shù)學(xué)輔助線大全詳細(xì)例題付答案[引出問題]在幾何證明或計(jì)算問題中，經(jīng)常需要添加必要的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點(diǎn)：一是通過添加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用有關(guān)性質(zhì)去解題；二是通過添加輔助線，使分散的條件得以集中，從而利用它們的相互關(guān)系解題；三是把新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的舊問題加以解決。值得注意的是輔助線的添加目的與條件和所求結(jié)論有關(guān)。下面我們分別舉例加以說明。[例題解析]一、倍角問題例1：如圖1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。求證：∠DBC=1∠BAC.A2分析：∠DBC、∠BAC所在的兩個(gè)三角形有公共角∠C，可利用D三角形角和來溝通∠DBC、∠BAC和∠C的關(guān)系。證法一：∵在△ABC中，AB=AC，BC∴∠ABC=∠C=1〔180°-∠BAC〕=90°-1∠BAC。22∵BD⊥AC于D∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-1∠BAC)=1∠BAC22即∠DBC=1∠BAC2分析二：∠DBC、∠BAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“∠DBC=?∠BAC〞中含有角的倍、半關(guān)系，因此，可以做∠A的平分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把?∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折構(gòu)造2∠DBC求解。證法二：如圖2，作AE⊥BC于E，則∠EAC+∠C=90°A∵AB=AC∴∠EAG=1∠BAC2∵BD⊥AC于DD∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC〔同角的余角相等〕BC即∠DBC=1∠BAC。E2證法三：如圖3，在AD上取一點(diǎn)E，使DE=CD連接BE∵BD⊥AC∴BD是線段CE的垂直平分線∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C

AED∵AB=ACBC∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC=1∠BAC2說明：例1也可以取BC中點(diǎn)為E，連接DE，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)求解。同學(xué)們不妨試一試。1.2、如圖4，在△ABC中，∠A=2∠B求證：BC2=AC2+AC?AB分析：由BC2=AC2+AC?AB=AC〔AC+AB〕，啟發(fā)我們構(gòu)建兩個(gè)相似的三角形，且含有邊BC、AC、AC+AB.又由∠A=2∠B知，構(gòu)建以AB為腰的等腰三角形。證明：延長CA到D,使AD=AB,則∠D=∠DBA∵∠BAC是△ABD的一個(gè)外角∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D B∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠CAC BC∴△ABC∽△BDC∴BCCD

AC∴BC2=AC〔AC+AB〕=AC2+AC?AB二、中點(diǎn)問題3．：如圖，△ABC中，AB=AC,在AB上取一點(diǎn)D，在AC的延長線上取一點(diǎn)E,連接DE交BC于點(diǎn)F,假設(shè)F是DE的中點(diǎn)。求證：BD=CE分析：由于BD、CE的形成與D、E兩點(diǎn)有關(guān)，A但它們所在的三角形之間因?yàn)椴皇峭惾切?，所以關(guān)系不明顯，由于條件F是DE的中點(diǎn)，如何利用這個(gè)中點(diǎn)條件，把不同類三角形轉(zhuǎn)化為同類三角形式問題的關(guān)鍵。由AB=AC,聯(lián)系到當(dāng)過D點(diǎn)或E點(diǎn)作平行線，就可以形成新D的圖形關(guān)系——構(gòu)成等腰三角形，也就是相當(dāng)于先把BD或CE移動(dòng)一下位置，從而使問題得解。BC證明：證法一：過點(diǎn)D作DG∥AC,交BC于點(diǎn)G〔如上圖〕GF∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCEE∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DGB∴BD=DG∵F是DE的中點(diǎn)∴DF=EF在△DFG和△DEFC中，∴△DFG≌EFC∴DG=CE∴BD=CEA證法二：如圖，在AC上取一點(diǎn)H,使CH=CE,連接DH∵F是DE的中點(diǎn)∴CF是△EDH的中位線∴DH∥BC∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH∴AB-AD=AC-AH∴BD=HC∴BD=CE

D HB CFE說明：此題信息特征是“線段中點(diǎn)〞。也可以過E作EM∥BC,交AB延長線于點(diǎn)G，仿照證法二求解。4．如圖，AB∥CD，AE平分∠BAD，且E是BC的中點(diǎn)1.求證：AD=AB+CD證法一：延長AE交DC延長線于F∵AB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF∵E是BC的中點(diǎn)∴BE=CE在△ABE和△CEF中∴△ABE≌△CEF∴AB=CF∵AE平分∠ABD∴∠BAE=∠DAE∴∠DAE=∠F∴AD=DF∵DF=DC+CFCF=AB∴AD=AB+DC證法二：取AD中點(diǎn)F，連接EF∵AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)∴EF是梯形ABCD的中位線

A BEFCA B∴EF∥AB,EF=1〔AB+CD〕2∴∠BAE=∠AEF∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠FAE

FD

E∴∠AEF=∠FAE∴AF=EF∵AF=DF

C∴EF=AF=FD=1AD2∴1(AB+CD)=1AD2 2∴AD=AB+CD三．角平分線問題5．如圖〔1〕，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法，解答以下問題。（1）如圖〔2〕，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F,請(qǐng)你判斷并寫出EF與FD之間的數(shù)量關(guān)系。（2）如圖〔3〕，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而〔1〕中的其他條件不變，請(qǐng)問，你在〔1〕中所得的結(jié)論是否仍然成立.假設(shè)成立，請(qǐng)證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由。MBE分析：此題屬于學(xué)習(xí)B性題型。這類題型的特點(diǎn)是描述一種方法，要求學(xué)E生按照指定的方法解題。指定方法是角平分問題的“翻折法〞得全等形。FDO解：〔1〕EF=FDAP〔2〕答：〔1〕結(jié)論EF=FD仍然成立AC理由：如圖〔3〕，在AC上截取AG=AE,連接FGEDF在△AEF和△AGF中，(2)F1NA(1)C(3).∴△AEF≌△AGF∴EF=GF,∠EFA=∠GFA由∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC∠BCA的平分線可得∠FAG+∠FCA=60°∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60°∴∠GFC=60°在△CFG和△CFD中∴△CFG≌△CFD∴FG=FD又因?yàn)镋F=GF∴EF=FD說明：學(xué)習(xí)性問題是新課程下的新型題，意在考察學(xué)生現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力和自學(xué)能力。拋開此題要求從角平分線的角度想，此題也可以利用角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等〞到達(dá)求解的目的。解法二：〔2〕答〔1〕中的結(jié)論EF=FD仍然成立。B理由：作FG⊥AB于G,FH⊥AC于H,FM⊥BC于M∵∠EAD=∠DAC∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE∴FH=FG∵∠B=60°∴∠DAC+∠ACE=60°EGMD∴∠EFD=∠AFC=180°-60°=120°F在四邊形BEFD中∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180°∴∠FDC=∠BEFAHC在△EFG和△DFM中∴EFG≌△DFM(3)∴EF=DF四、線段的和差問題6如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,試探究線段PD、PE、CM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。分析：判斷三條線斷的關(guān)系，一般是指兩較短線段的和與較長線段的大小關(guān)系，通過測量猜想PD+PE=CM.分析：在CM上截取MQ=PD，得□PQMD,再證明CQ=PEA答：PD+PE=CM證法一：在CM上截取MQ=PD，連接PQ.∵CM⊥AB于M,PD⊥AB于D∴∠CMB=∠PDB=90°M∴CM∥DPQE∴四邊形PQMD為平行四邊形∴PQ∥ABD∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠BC∵AB=ACBP∴∠B=∠ECP∴∠QPC=∠ECP∵PE⊥AC于E∴∠PEC=90°1.在△PQC和△PEC中∴△PQC≌△PEC∴QC=PE∵M(jìn)Q=PD∴MQ+QC=PD+PE∴PD+PE=CM分析2：延長DF到N使DN=CM,連接,得平行四邊形DNCM,再證明PN=PE證法2：延長DF到N，使DN=CM，連接同證法一得平行四邊形DNCM，及△PNC≌△PECD∴PN=PE∴PD+PE=CMB分析3：此題中含有AB=AC及三條垂線段PD、DE、CM，

AMEP C且SSS，所以可以用面積法求解。PABPACABC證法三：連接AP,∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M∠PQC=∠PEC∠QPC=∠ECPPC=PC∴S1AB?PDABP2S1AC?PEACP2

AMD

NES1AB?CMABC2∵AB=AC且SSSPABPACABC

B P C1AB?PD1AB?PE1AB?CM∴2 2 2AB0PDPECM說明：當(dāng)題目中含有兩條以上垂線段時(shí)，可以考慮面積法求解。五、垂線段問題例7在平行四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且PEAB,PFBC,垂足分別是E、F求證：分析：將比例式

BCABPFPEBCABPFPE

D C轉(zhuǎn)化為等積式AB?PEBC?PF，聯(lián)想到P1AB?PE1BC?PF，2 F2A E B即△PAB與△PBC的面積相等，從而用面積法到達(dá)證明的目的。證明：連接AC與BD交于點(diǎn)O,連接PA、PC在平行四邊形ABCD中，AO=CO1.S

S同理，

AOPS

COPS

S

SAOB

AOP

BOC

COPS

SPAB

PBCPEAB,PFBC,例8求證：三角形三條邊上的中線相交于一點(diǎn)。分析：這是一個(gè)文字表達(dá)的命題。要證明文字命題，需要根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)題意、結(jié)合圖形寫出、求證。：△ABC中，AF、BD、CE是其中線。求證：AF、BD、CG相交于一點(diǎn)。分析：要證三線交于一點(diǎn)，只要證明第三條線經(jīng)過另兩條線的交點(diǎn)即可。證明：設(shè)BD、CE相交于點(diǎn)G，連接AG，并延長交BC于點(diǎn)F,.作BM⊥AF,于M,⊥AF,于N則SAGB1AG?BM,SAGC1AG?CN221AG?BM1AG?CN22BMCN在△BMF,和△F,中∴△BMF≌△FBF'CF'∴AF,是BC邊上的中線又∵AF時(shí)BC邊上的中線∴AF與AF,重合即AF經(jīng)過點(diǎn)D∴AF、BD、CE三線相交于點(diǎn)G因此三角形三邊上的中線相交于一點(diǎn)。六、梯形問題例9．以線段a=16,b=13為梯形的兩底，以c=10為一腰，則另一腰長d的取值圍是＿分析：如圖，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD=c=10，過B作BE∥AD,得到平行四邊形ABED，從而得AD=BE=10,AB=DE=13AB所以EC=DC-DE=16-13=3.所以另一腰d的取值圍是10-3＜d＜10+3答案：7＜d＜13例10．如圖，梯形ABCD中，AB∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面積。D E C分析：條件中給出兩條對(duì)角線的長，但對(duì)角線位置交織，條件一時(shí)用不上。另外，求梯形面積只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的長，所以考慮平移腰。解：解法一：如圖，過A作AF∥BD,交CD延長線于F1AB//FC四形ABDF是平行四形FDAB,AFBD15FCABDC

.A BAEFCAEFAEC90。在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15解法二：如圖，過B作BF⊥DC于F∴∠BFC=90°∵AE⊥DC于E在直角三角形ABC中，AE12,AC

F D EA B20

CECAC2AE216D E F C在直角三角形BDF中，BF12,BD15DFBD2BF29ABDCDFCE91625S1(ABDC)?AE12512150梯形ABCD2211.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，試說明：MN12(BCAD)分析1：∠B+∠C=90°，考慮延長兩腰，使它們相交于一點(diǎn)，構(gòu)成直角三角形。解法1：延長BA、CD交于點(diǎn)G,連接GM、GN∵B、A、G共線∴G、M、N共線分析2：考慮M、N分別為AD、BC中點(diǎn)，可以過M B分別作AB、DC的平行線，梯形ABCD部構(gòu)成直角三角形，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形。解法2：作ME∥AB交BC于E,作MF∥DC交BC于F∵AD∥BC∴四邊形ABEM、DCFM都是平行四邊形∴BE=AM,FC=DM∴∠EMF=90°,又∵EN=FN[模式歸納]

GA DMNA DM

C通過上面各例的分析、解證，發(fā)現(xiàn)添加適當(dāng)?shù)妮o助線B能使解題思路暢通，解答過程簡捷。但輔助線的添加靈ENF活多變，好似比較難以把握。其實(shí)添什么樣的輔助線.怎么添輔助線.與條件的特征和所求問題的形成關(guān)系密切。下面分類歸納幾種常用的輔助線的添加方1

C.法。一、倍角問題研究∠α＝2∠β或∠β=1∠α問題通稱為倍角問題。倍角問題分兩種情形：2∠α與∠β在兩個(gè)三角形中，常作∠α的平分線，得∠1=1∠α，然后證明∠1=∠β；或把∠β翻折，2得∠2=2∠β，然后證明∠2=∠α〔如圖一〕∠α與∠β在同一個(gè)三角形中，這樣的三角形常稱為倍角三角形。倍角三角形問題常用構(gòu)造等腰三角形的方法添加輔助線〔如圖二〕二中點(diǎn)問題條件中含有線段的中點(diǎn)信息稱為中點(diǎn)問題。這類問題常用三種方法添加輔助線（1） 延長中線至倍〔或者倍長中線〕，如圖一。假設(shè)圖形中沒有明顯的三角形的中線，也可以構(gòu)造中線后，再倍長中線，如圖二。（2）構(gòu)造中位線，如圖三α（3）構(gòu)造直角三角形斜邊β上的中線，如圖四。βα12圖一圖二圖三圖四三、角平分線問題圖二圖一條件中含有角平分線信息稱為角平分線問題。常用的輔助線有兩種：以角平分線所在直線為對(duì)稱軸，構(gòu)造全等三角形，如圖一、二所示。由角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊做垂線，構(gòu)造全等三角形，如圖二所示。圖一圖二圖三四、線段的和差問題條件或所求問題中含有a+b=c或a=c-b，稱為線段的和差問題，常用的輔助線有兩種：短延長：假設(shè)AB=a,則延長AB到M,使BM=b,然后證明AM=c；長截短：假設(shè)AB=c,則在線段AB上截取AM=a,然后證明MB=b。五、垂線段問題條件或所求問題中含有兩條或者兩條以上的垂線段時(shí)，而所研究的問題關(guān)系又不明顯時(shí)，可以借助于可求圖形的面積轉(zhuǎn)化。常用的面積關(guān)系有：同〔等〕底的兩個(gè)三角形的面積與其高的關(guān)系；同〔等〕高的兩個(gè)三角形的面積與其底的關(guān)系。六、梯形問題梯形可以看作是一個(gè)組合圖形，組成它的根本圖形是三角形、平行四邊形、矩形等。因此，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形、矩形等問題求解，其根本思想為：轉(zhuǎn)化梯形問題 三角形或者平行四邊形問題在轉(zhuǎn)化、分割、拼接時(shí)常用的輔助線：分割、拼接平移一腰。即從梯形一個(gè)頂點(diǎn)作另一個(gè)腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形〔如圖一〕。研究有關(guān)腰的問題時(shí)常用平移一腰。過頂點(diǎn)作高。即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形〔如圖二〕。研究有關(guān)底或高的問題時(shí)常過頂點(diǎn)作高。平移一條對(duì)角線。即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形〔如圖三〕。研究有關(guān)對(duì)角線問題時(shí)常用平移對(duì)角線。這種添加輔助線的方法，可以將梯形兩條對(duì)角線及兩底的和集中在一個(gè)三角形，使梯形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題。此三角形的面積等于梯形的面積。延長兩腰交于一點(diǎn)。把梯形問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似的三角形問題〔圖四〕；1.過底的中點(diǎn)作兩腰的平行線。當(dāng)中有底的中點(diǎn)時(shí)，常過中點(diǎn)做兩腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形〔圖五〕；過一腰中點(diǎn)作直線與兩底相交。當(dāng)中有一腰的中點(diǎn)時(shí)，常連接梯形一頂點(diǎn)和此中點(diǎn)，并延長交另