11．4.2平面與平面垂直[課程目標(biāo)]1.理解二面角及其平面角的觀點，能確認(rèn)圖形中的已知角能否為二面角的平面角；2.理解并掌握平面與平面垂直的定義；3.掌握平面與平面垂直的判斷定理，并能嫻熟應(yīng)用；4.掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能嫻熟應(yīng)用．知識點一二面角[填一填]1．定義：平面內(nèi)的一條直線把一個平面分紅兩部分，此中的每一部分都稱為一個半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所構(gòu)成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面．2．表示：以AB為棱，α和β為半平面的二面角，往常記作二面角α-AB-β.假如C和D分別是半平面α和β內(nèi)的點，那么這個二面角也可記作C-AB-D.3．在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O(shè)為垂足，分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角的大小來胸懷，即二面角大小等于它的平面角大?。貏e地，平面角是直角的二面角稱為直二面角．[答一答]1．確立二面角的平面角的方法有哪些？提示：方法1：(定義法)在二面角的棱上找一特別點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．以以下圖：方法2：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條射線所成的角，即為二面角的平面角．如圖：注意：①在平面角的定義中，平面角的兩邊一定有共同的極點且分別在兩個半平面內(nèi)；平面角的兩邊一定都與棱垂直．②“特別”兩字的作用，在于平面角的大小易于求出．知識點二面面垂直的判斷定理與性質(zhì)定理[填一填]1．假如兩個平面α與β所成角的大小為90°，則稱這兩個平面相互垂直，記作αβ.2．平面與平面垂直的判斷定理與性質(zhì)定理[答一答]2．面面垂直的判斷定理的條件有幾個，減少一個條件定理能否還建立？提示：判斷定理有兩個條件，若去掉一個條件，則定理不必定建立．3．若兩個平面相互垂直，一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與另一個平面的關(guān)系是什么？提示：若α⊥β，⊥α，在β內(nèi)作a與α，β的交線垂直，則⊥，∴∥.∴l(xiāng)aαall∥β或l?β，即直線l與平面β平行或在平面β內(nèi)．種類一相關(guān)觀點和定理的判斷[例1]以下各命題中正確的序號有________(填序號)．一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任何直線平行；垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊；過點A垂直于直線a的全部直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)；假如三條共點直線兩兩垂直，那么此中一條直線垂直于另兩條直線確立的平面．[分析]直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線的地點關(guān)系不外乎有兩種①平行，②異面，所以(1)錯．垂直于三角形兩邊的直線必垂直于三角形所在的平面，由線面垂直定義逆用，則該直線必垂直于三角形的第三邊，所以(2)對．①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直，②過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，依據(jù)第①個命題知：過點A垂直于直線a的平面獨一，所以，過點A且與直線a垂直的直線都在過點A且與直線a垂直的平面內(nèi)，所以(3)對．三條共點直線兩兩垂直，設(shè)為a，b，c且a，b，c共點于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c確立一平面，設(shè)為α，則a⊥α.同理可知b垂直于由a，c確立的平面，c垂直于由a，b確立的平面．所以(4)對．[答案](2)(3)(4)辦理此類問題重點是正確理解觀點及定理所具備的條件，只有具備相應(yīng)條件，才能得到相應(yīng)結(jié)論.[變式訓(xùn)練1]若l，m是互不同樣的空間直線，α，β，γ是不重合的平面，則下列命題中是真命題的是(D)A．若l∥α，m∥α，l?β，m?β，則α∥βB．若α⊥β，l?α，則l⊥βC．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γD．若l⊥α，l∥β，則α⊥β分析：A中未說明l，m訂交，只有直線l，m訂交時，才能獲得α∥β；B中l(wèi)可能在β內(nèi)或與其訂交、平行，故

B不正確；C中平面的垂直關(guān)系不擁有傳達性，

α與γ可能斜交、平行；

D中若

l∥β，則在

β

內(nèi)能找到一條直線

l

′使

l′∥l

，而

l⊥α，則有

l

′⊥α，依據(jù)面面垂直的判斷定理可得

α⊥β.種類二平面與平面垂直的判斷定理[例2]如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．求證：CE∥平面PAD；求證：平面EFG⊥平面EMN.[證明]11如圖，連結(jié)CF.因為F為AB的中點，所以AF＝2AB.又CD＝2AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．所以CF∥AD.又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB.所以MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.此題經(jīng)過空間幾何體中的平行與垂直的證明，考察了直線與平面平行、平面與平面平行的判斷及性質(zhì)定理，平面與平面、直線與平面垂直的判斷定理等.此題對空間想象能力提出了較高要求.[變式訓(xùn)練2]以下圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.證明：因為AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC.又因為PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面內(nèi)，∴PA⊥BC(線面垂直的性質(zhì)定理)．PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC(線面垂直的判斷定理)．又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC(面面垂直的判斷定理)．種類三平面與平面垂直的性質(zhì)定理[例3]如圖，在三棱錐-中，⊥平面，平面⊥平面.PABCPAABCPABPBC求證：BC⊥AB.[證明]如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判斷定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.此題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：1兩個平面垂直；2直線一定在此中一個平面內(nèi)；

3直線一定垂直于它們的交線

.[變式訓(xùn)練

3]

如圖，在四棱錐

P-ABCD中，底面

ABCD是矩形，點

E、F分別是棱

PC和PD的中點．求證：EF∥平面PAB；若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，證明AF⊥平面PCD.證明：(1)因為點E、F分別是棱PC和PD的中點，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，又AB?面PAB，EF?面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以AF?平面PAD，所以CD⊥AF，①因為PA＝AD且F是PD的中點，所以AF⊥PD，②由①②及PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD.種類四平面與平面垂直的判斷定理、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用[例4]如圖，在△中，∠＝90°，＝＝1，⊥平面，∠＝60°，BCDBCDBCCDABBCDADBE，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點，且AEAFλ<1)．＝＝λ(0<ACAD求證：不論λ為什么值，總有平面BEF⊥平面ABC；能否存在實數(shù)λ，使得平面BEF⊥平面ACD.[解](1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，AB⊥CD.CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.AEAF又∵＝＝λ(0<λ<1)，ACAD∴不論λ為什么值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF?平面BEF，∴不論λ為什么值，總有平面BEF⊥平面ABC.假定存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.∵平面BEF∩平面ACD＝EF，AC⊥EF，BE?平面BEF，AC⊥平面BEF，∴BE⊥AC.BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，2AC＝AB＋BC＝7，由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝6，7λ＝＝6.AC7AE6故當(dāng)λ＝7時，平面BEF⊥平面ACD.立體幾何中的探究性問題1探究條件，即探究能使結(jié)論建立的條件是什么

.解答此類問題，先察看與試試給出條件再給出證明

.2探究結(jié)論，即在給定的條件下命題的結(jié)論是什么探究出要求的結(jié)論是什么.關(guān)于探究的結(jié)論能否存在問題

.解答此類問題，常從條件出發(fā)，.求解時，常假定結(jié)論存在，再找尋與條件相容仍是矛盾的結(jié)論

.[變式訓(xùn)練4]以下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為等邊三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.求證：AD⊥PB；若E為BC邊上的中點，可否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．解：證明：設(shè)G為AD的中點，連結(jié)PG，BG，BD，如圖．因為△PAD為等邊三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD為等邊三角形，又因為G為AD的中點，所以BG⊥AD.又因為BG∩PG＝G，BG，PG?平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因為PB?平面PGB，所以AD⊥PB.(2)當(dāng)F為PC的中點時，知足平面DEF⊥平面ABCD.證明：如圖，設(shè)F為PC的中點，則在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB?平面PGB，EF，DE?平面DEF，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.種類五二面角問題[例5]已知Rt△ABC，斜邊BC?平面α，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大?。甗剖析]選特別點O，作OD⊥BC，連結(jié)AD.若AD⊥BC，則∠ADO即為二面角A-BC-O的平面角，所以只要證明AD⊥BC即可．[解]如圖，在平面α內(nèi)，過點O作OD⊥BC，垂足為點D，連結(jié)AD.設(shè)OC＝a.AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD?平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，OC＝a，AO＝a，AC＝2a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，2BC＝AC＋AB＝6a，·2a·223∴AD＝＝3a.BC＝6a在Rt△AOD中，sin∠ADO＝AOa＝3，＝32AD2a∴∠ADO＝60°，即二面角A-BC-O的大小是60°.求二面角問題的重點是找出或作出該二面角的平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采納垂線法來作平面角，即過二面角的一個平面內(nèi)一點作另一平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.這類方法通用于求二面角的全部題目，其步驟可簡寫為“一找、二證、三求”.[變式訓(xùn)練5]如圖，在四周體SABC中，若△BAC是邊長為a的正三角形，且SA⊥底1面ABC，AS＝2a，求二面角A-BC-S的大?。猓涸O(shè)D是BC的中點，連結(jié)AD，SD.由△ABC是等邊三角形知AD⊥BC.SA⊥平面ABC?平面?SA⊥BCBCABCAD⊥BC?⊥平面，BCSADAD，SA?平面SADAD∩SA＝ABC⊥平面SAD?SD⊥BC.SD?平面SAD∴∠ADS是二面角A-BC-S的平面角．1在Rt△SAD中，tan∠ADS＝SA2a3＝3＝，ADa32∴∠ADS＝30°.即所求二面角A-BC-S的大小為30°.1．經(jīng)過平面α外一點和平面α內(nèi)一點與平面α垂直的平面有(D)A．0個B．1個C．無數(shù)個D．1個或無數(shù)個分析：兩點連線垂直于α?xí)r有無數(shù)個，不垂直于α?xí)r，只有一個．2．以下命題中錯誤的選項是(D)A．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)必定存在直線平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)必定不存在直線垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)全部直線都垂直于平面β分析：關(guān)于D，設(shè)平面α和平面β的交線為l，則交線l在平面α內(nèi)，顯然可得交線l在平面β內(nèi)，所以交線l不行能垂直于平面β，平面α內(nèi)全部直線都垂直于平面β是錯誤的．3．已知平面α⊥平面β，則以下命題中真命題的個數(shù)是(B)①α內(nèi)的隨意直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線；②在β內(nèi)垂直于α與β的交線的直線必垂直于α內(nèi)的隨意一條直線；③α內(nèi)的隨意一條直線必垂直于β；④過β內(nèi)的隨意一點作α與β交線的垂線，則這條直線必垂直于α.A．4B．3C．2D．1分析：①設(shè)α∩β＝，?α，?β，⊥，則⊥，故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條labblab直線均垂直