PAGE東至二中2019-2020學(xué)年第一學(xué)期高二年級6月月考數(shù)學(xué)學(xué)科測試卷一.選擇題(本大題共12小題，共60分)1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝－3＋4i，則|z|＝（）A. B.5C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)及其計算公式即可得出.【詳解】∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，則|z|＝＝.故選：C.【點睛】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.2.有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點．因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，所以是函數(shù)的極值點．以上推理中（）A.小前提錯誤 B.大前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.結(jié)論正確【答案】B【解析】【分析】對大前提，小前提，推理形式與結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】大前提：對于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點，錯誤，極值點的定義中除要求，還需要在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號相反．雖然小前提正確，推理形式正確，但結(jié)論是錯誤的，故選：B．【點睛】本題考查三段論推理，三段論推理的結(jié)論是正確的前提條件是大前提、小前提、推理形式都正確．3.觀察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，則a10+b10=（）A28 B.76 C.123 D.199【答案】C【解析】【詳解】由題觀察可發(fā)現(xiàn)，，，，即,故選C.考點：觀察和歸納推理能力.4.函數(shù)在[-2，2]的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊點的位置，即可利用排除法解出．【詳解】因為，所以函數(shù)為偶函數(shù),而，所以可排除選項；當(dāng)時，，，，使得，所以函數(shù)在上存在極小值點，排除選項；，而，所以，排除選項．故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的識別，涉及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，屬于中檔題．5.用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=時，當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上的式子，可以分別使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案．【詳解】當(dāng)n=k時，等式左端=1+2+…+k2，當(dāng)n=k+1時，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了項（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故選C．【點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./6.（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)定積分的性質(zhì)，微積分基本定理，以及定積分的幾何意義即可求出．【詳解】因為，而等于以為圓心，半徑為的個圓的面積，所以；因為，所以．故選：B．【點睛】本題主要考查定積分的性質(zhì)，微積分基本定理，以及定積分的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“—”和陰爻“——”，如圖就是一重卦.共有多少種重卦.（）A.12 B.16 C.32 D.64【答案】D【解析】【分析】按照分步乘法計數(shù)原理，即可求出．【詳解】因為每一行都有2個爻供選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所以六行共可組成種重卦．故選：D．【點睛】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于容易題．8.已知的展開式中的系數(shù)為5，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】求出和展開式中的系數(shù)，即可列式解出．【詳解】因為展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，所以，解得．故選：A．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.若，則=（）A.45 B.120 C. D.【答案】A【解析】【分析】直接計算其展開式中含的系數(shù)，即可得解；【詳解】解：因為又其展開式中含的系數(shù)為即，故選：A【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.某次數(shù)學(xué)獲獎的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個人都高于站在他前面的同學(xué)，則共有多少種站法（）A.36 B.90 C.360 D.720【答案】B【解析】【分析】6個高矮互不相同的人站成兩排，后排每個人都高于站在他前面的同學(xué)的站法數(shù)為，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：6個高矮互不相同的人站成兩排，后排每個人都高于站在他前面的同學(xué)的站法數(shù)為，故選：B【點睛】本題考查簡單的排列組合問題，屬于基礎(chǔ)題.11.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過求其導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合題目給出，得到函數(shù)的單調(diào)性，然后在函數(shù)的解析式中分別取，1，，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】構(gòu)造輔助函數(shù)，令，則，∵，∴，∴函數(shù)為實數(shù)集上的減函數(shù)，則.∵，，，又，∴，∴，故選：B.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等關(guān)系與不等式，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合選項的特點，正確構(gòu)造出輔助函數(shù)，屬于中檔題.12.已知對，不等式恒成立，則的最大值是()A.1 B. C. D.【答案】C【解析】不等式可化為，則，所以當(dāng)時，，即，所以，令，則令可得，故，即，應(yīng)選答案C．點睛：解答本題的思路是將不等式可化為，然后再構(gòu)造函數(shù)，并對其進(jìn)行求導(dǎo)，求出函數(shù)的最小值為，即，然后求出目標(biāo)函數(shù)的最大值為，即，所以求出的最大值是．二.填空題(本大題共4小題，共20分)13.已知，則______【答案】【解析】【分析】對原式兩邊同時求導(dǎo)，再令，即可求出結(jié)果.【詳解】對兩邊同時求導(dǎo)，得到，令，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，以及求二項展開式中部分項的系數(shù)和，屬于?？碱}型.14.將名學(xué)生分配到個社區(qū)參加社會實踐活動，每個社區(qū)至少分配一人，則不同的分配方案有__________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】【分析】根據(jù)人數(shù)先進(jìn)行分組，有3，1，1或2，2，1兩種情況，求出每一種的情況數(shù)目，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解，【詳解】當(dāng)一個社區(qū)3人其他社區(qū)各有1人時，方案有（種）；當(dāng)一個社區(qū)1人其他社區(qū)各人時，方案有（種），故不同的分配方案共有種.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，結(jié)合條件先分組，再分配，屬基礎(chǔ)題．15.把正整數(shù)按一定規(guī)律排成了如圖所示的三角形數(shù)表設(shè)是位于這個三角形數(shù)表中從上到下數(shù)第行、從左到右數(shù)第個數(shù)，如，若，則____【答案】68【解析】【分析】根據(jù)三角形數(shù)表的規(guī)律：第n行有n個數(shù)，假設(shè)2020是第n行最后一個數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，則，然后對n賦值，得到2020所在的行，然后再得到上一行最后一個數(shù)，進(jìn)而得到其所在的行第一個數(shù)，然后用等差數(shù)列的通項公式得到是第幾個數(shù).【詳解】由三角形數(shù)表可得：第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)，則第n行有n個數(shù)，假設(shè)2020是第n行最后一個數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以2020在第64行，且第63行最后一個數(shù)為，則第64行第一個數(shù)為2017，所以，解得，所以.故答案為：68【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項及前n項和公式，還考查了觀察分析求解問題的能力，屬于中檔題.16.已知且滿足1，則的最小值為_____.【答案】ln2【解析】【分析】將，分別看成函數(shù)與上任意一點，問題轉(zhuǎn)化為曲線上的動點與直線上的動點之間的最小值的平方問題.【詳解】因為，所以可將，分別看成函數(shù)與上任意一點，問題轉(zhuǎn)化為曲線上的動點與直線上的動點之間的最小值的平方問題，設(shè)是曲線的切點，因為故點M處的切斜的斜率，由題意可得，解得，也即當(dāng)切線與已知直線平行時，此時切點到已知直線的距離最近，最近距離，也即.故答案為：ln2【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩點間的距離公式、曲線的切線，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.三.解答題(本大題共6小題，17題10分其余每題12分，共70分)17.已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992，求的展開式中.（1）二項式系數(shù)最大的項，（2）系數(shù)的絕對值最大的項.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992，即可得到關(guān)于的方程：，求出，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求出二項式系數(shù)最大的項（2）利用兩邊夾定理，設(shè)出第項為系數(shù)的絕對值最大的項，即可列出關(guān)于的不等式，即可求解【詳解】解：依題意可得，即，解得（1）的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大（2）設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大所以故第4項的系數(shù)的絕對值最大，【點睛】本題通過賦值法求出，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，同時利用兩邊夾定理進(jìn)行求解，屬于中檔題．18.設(shè)均為正實數(shù)，反證法證明：至少有一個不小于2.【答案】證明見解析．【解析】分析】假設(shè)結(jié)論反面成立，即全部小于2.然后推理出矛盾結(jié)論．【詳解】證明：假設(shè)全部小于2.即，則，①又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，與①矛盾，所以假設(shè)錯誤．原命題為真．所以至少有一個不小于2.【點睛】本題考查反證法．掌握反證法這個方法是解題基礎(chǔ)．反證法是假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后作為條件進(jìn)行推理，得出矛盾的結(jié)論，可與已知條件矛盾，可能推理過程得出矛盾的結(jié)論，可與已知的定義、定理、公理等矛盾．從而說明假設(shè)錯誤，原命題正確．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的遞減區(qū)間為；（2）【解析】試題分析：（1）由已知得x＞1，，對ｋ分類討論，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由得，即求的最大值．試題解析：解：（1）函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，函數(shù)的遞增區(qū)間為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)遞增區(qū)間為，函數(shù)的遞減區(qū)間為.（2）由得，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值為，故.點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.20.已知函數(shù)．（Ⅰ）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；（Ⅱ）求證：對于任意正整數(shù)，均有1＋＋…＋≥（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，無最大值;當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，無最大值；（Ⅱ）見解析．【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)可得,分與分別求與的解集，從而得到其單調(diào)區(qū)間及受益人最值；（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）,取可得，所以有，令，代入不等式并相加可證結(jié)論成立.試題解析：（1）解：由題意．當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，此時函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，無最大值．當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，此時函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，無最大值．（2）取，由⑴知，故，取，則．考點：1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值；2．函數(shù)與不等式．21.已知函數(shù).（1）判斷極值點的個數(shù)；（2）若x>0時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系，分別求得函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)；（2）ex＞f（x），（x＞0），可化為（1﹣x）ex+ax﹣1＜0．設(shè)h（x）＝（1﹣x）ex+ax﹣1，（x＞0），則問題等價于當(dāng)x＞0時，h（x）＜0．，根據(jù)函數(shù)h（x）的性質(zhì)，分類討論，即可求得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）由f（x）a，得f'（x）．x≠0；設(shè)g（x）＝（x﹣1）ex+1，則g'（x）＝xex，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以g（x）≥g（0）＝0，所以，所以f（x）在定義域上是增函數(shù)，f（x）極值點個數(shù)為0．（2）ex＞f（x）（x＞0），可化為（1﹣x）ex+ax﹣1＜0．令h（x）＝（1﹣x）ex+ax﹣1，（x＞0），則問題等價于當(dāng)x＞0時，h（x）＜0．∴h'（x）＝﹣xex+a，令m（x）＝﹣xex+a，則m（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．當(dāng)a≤0時，m（x）<m（0）＝a≤0．所以h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．所以h（x）＜h（0）＝0．②當(dāng)a＞0時，m（0）＝a＞0，m（a）＝﹣aea+a＝a（1﹣ea）＜0，所以存在x0∈（0，a），使m（x0）＝0．當(dāng)x∈（0，x0）時，m（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（0，x0）上是增函數(shù)．因為h（0）＝0，所以當(dāng)x∈（0，x0）時，h（x）＞0，不滿足題意．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)