2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、填空題：1－6小題，每題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.1nn1lim（1）______.nnx2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且fxefx，f21，則f2____.f(x)（2）設(shè)函數(shù)在f01,則zf4x2y22f(u)（3）設(shè)函數(shù)可微,且在點(1,2)處的全微分dz_____.1,221（4）設(shè)矩陣AB知足BAB2E，則BE，為2階單位矩陣，矩陣.12X與Y互相獨立，且均聽從區(qū)間0,3上的平均散布，則PmaxX,Y1,X1,X2,L,Xn為整體的簡單隨機樣本，其樣（5）設(shè)隨機變量_______.Xfx1exxX（6）設(shè)整體的概率密度為2本方差為S2，則ES2____.二、選擇題：7－14小題，每題4分，共32分.每題給出的四個選項中，只有一項切合題目要求，把所選項后的括號內(nèi).前的字母填在題y與dyx（7）設(shè)函數(shù)yf(x)擁有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)0,f(x)0，為自變量在點0處的增量，分xx0，則f(x)xx別為在點0處對應(yīng)的增量與微分，若0dyy.0ydy.(A)(B)(D)ydy0.dyy0(C).[]fh2fxx0（8）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且lim1，則h2h00且f0f0f01且f0存在(A)(C)存在(B)(D)f00且f0f01且f0存在存在[]a（9）若級數(shù)n收斂，則級數(shù)n1an(1)nan收斂.收斂.(A)（）Bn1n1a收斂.anan1n1收斂.an(C)(D)[]2n1n1yP(x)yQ(x)有兩個不一樣的解y1(x),y2(x),C為隨意常數(shù)，則該方程的通解（10）設(shè)非齊次線性微分方程是Cy(x)y2(x)（Ｂ）y(1x)Cy1(x)y2(x)（Ｄ）y1(x)Cy1(x)y2(x)（Ａ）..1Cy(x)y2(x).（Ｃ）[]1（11）設(shè)f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù)，且下的一個極值點，以下選項正確的選y(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在拘束條件(x,y)0項是若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.(A)(B)(C)(D)若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.[]n矩陣，以下選項正確的選A為m,,L,n（12）設(shè)s均為維列向量，項是12,12,L,s線性有關(guān)，則A1,A2,L,A,12,L,s線性有關(guān)，則A1,A2,L,As線性有關(guān).s線性沒關(guān).(A)若(B)若,12,L,s線性沒關(guān)，則A1,A2,L,As線性有關(guān).(C)若(D)若1,2,L,s線性沒關(guān)，則A1,A2,L,As線性沒關(guān).[]AABB1C（13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記110P010，則001（Ａ）CP1AP.（Ｃ）CPTAP.（Ｂ）CPAP1.（Ｄ）CPAPT.［］XY（14）設(shè)隨機變量聽從正態(tài)散布N(1,12)，聽從正態(tài)散布N(2,22)，且則必有(B)12(D)(A)12(C)[]1212

三、解答題：15－23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（此題滿分7分）x1ysinyy設(shè)fx,y,x0,y0,求1xyarctanxgxlimfx,y；(Ⅰ)(Ⅱ)ylimgx.x0（16）（此題滿分7分）Dy2xydxdy，此中是由直線計算二重積分yx,y1,x0所圍成的平面地區(qū).D（17）（此題滿分10分）0ab證明：當(dāng)時，bsinb2cosbbasina2cosaa.（18）（此題滿分8分）在xOy坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點LM1,0Px,yx0處的切線斜率與直線OP的，其上隨意點a>0ax（常數(shù)）.斜率之差等于L(Ⅰ)求的方程；8Lyax所圍成平面圖形的面積為a時，確立的值.(Ⅱ)當(dāng)與直線3（19）（此題滿分10分）1n12n1x求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)s(x).n2n1n1（20）（此題滿分13分）TT2,2a,2,2,TT1a,1,1,1,3,3,3a,34,4,4,4,4a設(shè)4維向量組，312a問為什么值時1,2,3,1,2,3,4線性有關(guān)?當(dāng)4線性有關(guān)時,求其一個極大線性沒關(guān)組,并將其余向量用該極大線性沒關(guān)組線性表出.（21）（此題滿分13分）TTAx0是線性方程組A設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量11,2,1,0,1,12的兩個解.A(Ⅰ)求的特點值與特點向量；QTAQQ(Ⅱ)求正交矩陣和對角矩陣,使得；E63AA（Ⅲ）求及E，此中為3階單位矩陣.2（22）（此題滿分13分）X設(shè)隨機變量的概率密度為11x0,21,0fXxx2，40,其余令YX2,Fx,y(X,Y)為二維隨機變量的散布函數(shù).Yfy(Ⅰ)求的概率密度；Y(Ⅱ)Cov(X,Y)；1,4.(Ⅲ)F2（23）（此題滿分13分）設(shè)X整體的概率密度為01XX,X2...,Xn為來自整體的簡單隨機樣本，記N為樣本值x1,x2...,xn中小此中是未知參數(shù)，1于1的個數(shù).（Ⅰ）求的矩預(yù)計；（Ⅱ）求的最大似然預(yù)計2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題分析二、填空題：1－6小題，每題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.1nn11.（1）limnneN【剖析】將其對數(shù)恒等化lnN求解.n1(1)n1nlim(1)nlnn1，【詳解】limn1limelnennnnnnnn11)nln有界，limln而數(shù)列(1)n10，因此lim(0.nnnn1ne01.故limn1nnx2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且fxefx，f21，則f22e3.f(x)（2）設(shè)函數(shù)在【剖析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可.efxx，兩邊對求導(dǎo)得【詳解】由題設(shè)知，fxfxefxf(x)e2fx，x兩邊再對求導(dǎo)得f(x)2e2fxf(x)2e3fx，又，f21f(2)2e3f22e3.故1,則zf4x2y22（3）設(shè)函數(shù)可微f(u),且f0dz在點(1,2)處的全微分4dx2dy.1,2【剖析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計算.zf(4x2y2)8x(1,2)4，【詳解】方法一：因為(1,2)xzy(1,2)f(4x2y2)2y2，(1,2)zz因此dz1,2dxdy4dx2dy.1,2xy1,2方法二：對zf4x2y2微分得dzf(4x2y2)d(4xy2)f(4x2y2)8xdx2ydy2，dzf(0)8dx2dy4dx2dy.故1,221A（4）設(shè)矩陣B知足BAB2E，則B2.E，為2階單位矩陣，矩陣12B或AXXAB或AXBC的形式，再用方陣相乘的隊列式性質(zhì)進行計算【剖析】將矩陣方程改寫為即可.【詳解】由題設(shè)，有11112，因此BBAE4，而AE2.于是有0,3上的平均散布，則X與Y互相獨立，且均聽從區(qū)間（5）設(shè)隨機變量19PmaxX,Y1.【剖析】利用X與Y的獨立性及散布計算.X與Y【詳解】由題設(shè)知，擁有同樣的概率密度10x3,f(x)3.0,其余PmaxX,Y1PX1,Y1PX1PY1則1dx21PX112.390【評注】此題屬幾何概型，也可以下計算，以以下圖：S1則PmaxX,Y1PX1,Y1陰.S9Xfxx,X1,X2,L,Xn為整體X的簡單隨機樣本，其樣x（6）設(shè)整體的概率密度為1e2S2ES22.本方差為，則ES2DX即可.【剖析】利用樣本方差的性質(zhì)【詳解】因為xexdx0，EXxf(x)dx22xex2exdx2ex2，000DXEX2EX因此2202SDX2，又因是的無偏預(yù)計量，ES2DX2.因此二、選擇題：7－14小題，每題4分，共32分.每題給出的四個選項中，只有一項切合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).y與dyx（7）設(shè)函數(shù)yf(x)擁有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)0,f(x)0xx0，為自變量在點處的增量，分x0，則別為f(x)在點x0處對應(yīng)的增量與微分，若0dyy.0ydy.(A)(C)(B)ydy0.(D)dyy0.[Ａ]【剖析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由f(x)0,f(x)0知，函數(shù)f(x)單一增添，曲線x0時，yf(x)凹向，作函數(shù)yf(x)的圖形如右圖所示，明顯當(dāng)ydyf(x0)dxf(x0)x0，故應(yīng)選(Ａ).fh2（8）設(shè)函數(shù)fx在x0處連續(xù)，且lim1，則h0h2f00且f0f01且f0存在(A)(C)存在(B)1且f0ff00且f00存在(D)存在[C]fh2f(0),f(0)的存在性.【剖析】從lim11f(0)下手計算，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判斷2hh0fh2【詳解】由limlimfh20.又因為在處連續(xù)，則fxx0知，2hh0h0f(0)limf(x)limfh20.x0h01limfh2limftf(0)f(0).th2令，則h2tt0h0f(0)因此存在，故此題選（C）.a（9）若級數(shù)n收斂，則級數(shù)n1(1)na（B）an收斂.(A)(C)收斂.nn1n1n1a.aaan收斂.收斂[Ｄ](D)nn1n12n1【剖析】能夠經(jīng)過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來判斷.aan1收斂，故應(yīng)選(Ｄ).an收斂知an【詳解】由收斂，因此級數(shù)n12n1n1n1或利用清除法：取an(1)n1，則可清除選項（Ａ），（Ｂ）；n取an(1)n1，則可清除選項（Ｃ）.故（Ｄ）項正確.nP(x)yQ(x)y1(x),y2(x),C為隨意常數(shù)，則該方程的通有兩個不一樣的解y（10）設(shè)非齊次線性微分方程解是（Ａ）Cy1(x)y2(x)y(x)Cy1(x)y2(x)..（Ｂ）1Cy(x)y2(x).y(x)Cy1(x)y2(x)（Ｄ）1（Ｃ）[]Ｂ1【剖析】利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】因為y1(x)y2(x)是對應(yīng)齊次線性微分方程yP(x)y0的非零解，因此它的通解是YCy1(x)y2(x)，故原方程的通解為yy(x)Yy1(x)Cy1(x)y2(x)，故應(yīng)選(Ｂ).1【評注】此題屬基此題型，考察一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：yy*Y.Yy*此中是所給一階線性微分方程的特解，是對應(yīng)齊次微分方程的通解.（11）設(shè)f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù)，且y(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在拘束條件(x,y)0下的一個極值點，以下選項正確的選項是若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.(A)(B)(C)f(x,y)0f(x,y)0.，則y00(D)若[Ｄ]x00在(x,y)(x0,y0,0)F(x,y,)f(x,y)（0是對應(yīng)x0,y【剖析】利用拉格朗日函數(shù)0的參數(shù)的值）取到極值的必需條件即可.F(x,y,)f(x,y)(x,y)，并記對應(yīng)x0,y0的參數(shù)的值為0，則【詳解】作拉格朗日函數(shù))Fx(x0,y0,Fy(x0,y0,0fx(x0,y0)0x(x0,y0)0，即00.)0fy(x0,y0)0y(x0,y0)00，得消去fx(x0,y0)y(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0,1fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0).（因為y(x,y)0），整理得y(x0,y)0若x00，則f(x,y)0f(x,y)0.應(yīng)選（Ｄ）.y00A,nmns均為維列向量，為矩陣，以下選項正確的選（12）設(shè)1,2,L項是,(A)若12,L,s線性有關(guān)，則A1,A2,L,A,(B)若12,L,s線性有關(guān)，則A1,A2,L,A,(C)若12,L,s線性沒關(guān)，則A1,A2,L,As線性有關(guān).s線性沒關(guān).s線性有關(guān).,,L,A,A2,L,As線性沒關(guān).線性沒關(guān)，則1(D)若[A]12s【剖析】此題考察向量組的線性有關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進行判斷.【詳解】記B(1,2,L,s)(A,A2,L,As)AB.，則11,2,L,線性有關(guān)，則，進而r(AB)r(B)s，向量組r(B)sA1,A2,L,As也因此，若向量組s線性有關(guān)，故應(yīng)選(Ａ).AABB1C（13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記110P010，則001（Ｂ）CPAP1.（Ａ）CP1AP.（Ｃ）CPTAP.（Ｄ）CPAPT.［Ｂ］【剖析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得110B010A,001110110110CB010010A010，001001001110PC010，則有PAP11而.故應(yīng)選（Ｂ）.001XYN(,2)N(,2)22（14）設(shè)隨機變量聽從正態(tài)散布，聽從正態(tài)散布，且11則必有(A)(C)(B)112212(D)[A]12【剖析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設(shè)可得X1Y112PP，11221111，即12則12.1212(x)此中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布的散布函數(shù).11.(x)又是單一不減函數(shù)，則，即1212應(yīng)選(A).三、解答題：15－23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（此題滿分7分）xy1ysin,x0,y0設(shè)fx,yy,求1xyarctanxgxlimfx,y；(Ⅰ)(Ⅱ)ylimgx.x0,0x【剖析】第(Ⅰ)問求極限時注意將作為常量求解，此問中含型不決式極限；第(Ⅱ)問需利用第(Ⅰ)問的結(jié)果，含不決式極限.x1ysinyy【詳解】(Ⅰ)gxlimfx,ylim1xyarctanxyyxysin111y11x.lim1arctanxxarctanxxyylimarctanx(Ⅱ)limgxlim11xxx2（通分）xarctanxxarctanxx0x0x0（16）（此題滿分7分）D計算二重積分y2xydxdyyx,y1,x0所圍成的平面地區(qū).，此中是由直線D【剖析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可.xx【詳解】積分地區(qū)如右圖.因為根號下的函數(shù)為對于的一次函數(shù)，“先后y”積分較簡單，因此（17）（此題滿分10分）證明：當(dāng)0ab時，bsinb2cosbbasina2cosaa.【剖析】利用“參數(shù)變易法”結(jié)構(gòu)協(xié)助函數(shù)，再利用函數(shù)的單一性證明【詳解】令.f(x)xsinx2cosxxasina2cosaa,0axb，f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinxf()0.，且則f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，（0x時,xsinx0），又故當(dāng)0axbf(x)f(x)f()0，則f(x)單一增添，于是時，單一減少，即f(b)f(a)0，即bsinb2cosbbasina2cosaa.（18）（此題滿分8分）LM1,0Px,yx0處的切線斜率與直線的OPxOy在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點，其上隨意點a>0ax斜率之差等于（常數(shù)）.L(Ⅰ)求的方程；8aLyax時，確立的值.(Ⅱ)當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為3【剖析】(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義成立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定積分計算平面圖形的面積，確立參數(shù).Lyf(x)【詳解】(Ⅰ)設(shè)曲線的方程為，則由題設(shè)可得yax，這是一階線性微分方程，此中1P(x)y,Q(x)ax，代入通解公式得xx11dxdxyexaxexdxCxaxCax2Cx，又f(1)0，因此Ca.Lyax2ax(x0).故曲線的方程為Lyaxa>0(Ⅱ)與直線（）所圍成平面圖形如右圖所示.因此a48，a22xdxx2330故a2.（19）（此題滿分10分）n1x12n1求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)s(x).n2n1n1【剖析】因為冪級數(shù)缺項，按函數(shù)項級數(shù)收斂域的求法計算；利用逐項求導(dǎo)或積分并聯(lián)合已知函數(shù)的冪級數(shù)睜開式計算和函數(shù).(1)xn12n1u(x)，則【詳解】記nn(2n1)(1)nx2n3(n1)(2n1)u(x)un(x)n12x.limlim(xn12n1nn1)n(2n1)2x1,即x1時，所給冪級數(shù)收斂；當(dāng)時，所給冪級數(shù)發(fā)散；x1因此當(dāng)(1)n1(1)nx,當(dāng)1時，所給冪級數(shù)為，均收斂，n(2n1)n(2n1)故所給冪級數(shù)的收斂域為1,1(1)x(1)n1xn12n11,12ns(x)內(nèi)，2x2xs1(x)，在n(2n1)n1(2n1)2nn1(1)n1x2n1,s1(x)(1)xs(x)1而，1n12n22n11x2n1n11s(x)s1(0)dtarctanxs(0)0，又，1xx因此1s1(t)dt1t200s(x)arctanx.同理于是1tarctantt2dtxarctanx1ln1x2，xx01t210ln1x2.s(x)xarctanxs(0)0又，因此112故s(x)2x2arctanxxln1x2.x1,1.x1s(x)2x2arctanxxln1xx12在處都連續(xù)，所因為所給冪級數(shù)在處都收斂，且x1s(x)以在成立，即s(x)2x2arctanxxln1x2，x1,1.（20）（此題滿分13分）TT2,2a,2,2,T3,3,3a,3,T1a,1,1,1,4,4,4,4a設(shè)4維向量組，1234a,,3,,,3,線性有關(guān)?當(dāng)12問為什么值時線性有關(guān)時,求其一個極大線性沒關(guān)組,并將其余向量用該4412極大線性沒關(guān)組線性表出.【剖析】因為向量組中的向量個數(shù)和向量維數(shù)同樣，因此用以向量為列向量的矩陣的隊列式為零來確立參數(shù)a；用初等變換求極大線性沒關(guān)組.A為列向量的矩陣為，則,,,【詳解】記以12341a212a33444A(10a)a3.123a1234a于是當(dāng)A0,即a0或a10,,,線性有關(guān).時，4123a0當(dāng)時，明顯1是一個極大線性沒關(guān)組，且221,331,441；a10當(dāng)時，92318344，A12712346923A183因為此時有三階非零隊列式,,4000，因此3為極大線性沒關(guān)組，且21127.40，即4312312（21）（此題滿分13分）TTA1,2,1,0,1,1是線性方程組Ax0設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量12的兩個解.A(Ⅰ)求的特點值與特點向量；QTAQQ(Ⅱ)求正交矩陣和對角矩陣,使得；E63AA（Ⅲ）求及E，此中為3階單位矩陣.2AA【剖析】由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個特點值和對應(yīng)的特點向量；由齊次Ax0有非零解可知A線性方程組A必有零特點值，其非零解是0特點值所對應(yīng)的特點向量.將的線性沒關(guān)的3可獲得A和AE6Q；由QTAQ特點向量正交化可得正交矩陣.2A【詳解】(Ⅰ)因為矩陣的各行元素之和均為3，因此131A1331，1313A是矩陣的特點(1,1,1)T則由特點值和特點向量的定義知，值，是對應(yīng)的特點向量.對應(yīng)3kk的所有特點向量為，此中為不為零的常數(shù).0又由題設(shè)知A10,A20，即A101,A20,2，并且線性沒關(guān)，因此是12A0,kk22，此中矩陣的二重特點值，是其對應(yīng)的特點向量，對應(yīng)的所有特點向量為1211k1,k2為不全為零的常數(shù).A,,正交.12(Ⅱ)因為是實對稱矩陣，因此與正交，因此只要將12取1，112,013210112.2216,11112,,再將2單位化，得111131622,0122，,312361111236Q令,,A，由是實對稱矩陣必可相像對角化，得Q1QT，則2313QTAQ0.003QTAQ（Ⅲ）由(Ⅱ)