排列組合的應用基本原理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質應用問題學問結構1、駕馭優(yōu)先處理元素（位置）法；2、駕馭捆綁法；3、駕馭插空法。4、隔板法5、分組支配問題：1、是否勻整；2、是否有組別。學習目標:一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).

分析:由于末位和首位有特殊要求,應當優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最終排其它位置共有___由分步計數(shù)原理得位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先支配特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置.實戰(zhàn)演練練習一支配甲，乙，丙三人周一至周六值班，每人值班兩天，其中甲不值周一，乙必需值周六，問有多少種不同的支配方法？

分析：先支配甲，再支配乙.因甲不值周一，又不能值周六，故甲有種排法，從而此題結論應為種支配方法例2.（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？(2)7位同學站成兩排(前3后4)，共有多少種不同的排法？(3)7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？(4)7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解:將問題分步第一步:甲乙站兩端有種第二步:其余5名同學全排列有種答：共有2400種不同的排列方法。(5)7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一:(特殊位置法)第一步:從其余5位同學中找2人站排頭和排尾,有種;第二步:剩下的全排列,有種;答：共有2400種不同的排列方法。解法二:(特殊元素法)第一步:將甲乙安排在除排頭和排尾的5個位置中的兩個位置上,有種;第二步:其余同學全排列,有種;答：共有2400種不同的排列方法。(5)7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法三:(解除法)先全排列有種,其中甲或乙站排頭有種,甲或乙站排尾的有種,甲乙分別站在排頭和排尾的有種.答：共有2400種不同的排列方法。(5)7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？優(yōu)限法:對于“在”與“不在”等類似有限制條件的排列問題,常常運用“干脆法”(主要為“特殊位置法”和“特殊元素法”)或者“解除法”,即優(yōu)先考慮限制條件.這種方法就是優(yōu)限法.例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個女孩看作一人與四個男孩排隊，有種排法，而三個女孩之間有種排法，所以不同的排法共有：（種）。捆綁法二.相鄰元素捆綁策略若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）說一說捆綁法一般適用于問題的處理。相鄰例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。要求某幾個元素必需排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將須要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要留意合并元素內(nèi)部也必需排列.若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。插空法例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。三.不相鄰問題插空策略元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊，再把不相鄰元素插入相應空隙中。男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。插空法例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。甲、乙兩人的兩邊必需有其他人，有多少種不同的排法？解：先把其余五人排成一排有種排法，在每一排列中有四個空檔（不包括兩端），再把甲、乙插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。插空法例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。例2七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成兩排照相留念。若前排站三人，后排站四人，其中的A.B兩小孩必需站前排且相鄰，有多少種不同的排法？AB解：A，B兩小孩的站法有：（種），其余人的站法有（種），所以共有（種）排法。

練習二7人站成一排，其中A、B兩人必需相鄰，且C、D兩人不能相鄰有多少種不同的排法？種練習三有10個座位，支配給6個人就座，其中空位不相鄰的做法有多少種？種實戰(zhàn)演練

解：把此問題當作一個排隊模型在6個空座的5個空隙中插入3個人有

種.練習五某城新建的一條道路上有12只路燈,為了節(jié)約用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在9盞亮燈的8個空隙中插入3個不亮的燈有種.思維轉化練習四

某排共有9個座位，若3人坐在座位上，每人左右都有空位，則不同的坐法有多少種？將n個相同的元素按依次分成m份，每份至少一個元素,

每一種插板方法對應一種分法共有___種分法.四.元素相同問題隔板策略例3有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種支配方案？分析：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排.在９個空隙中選６個位置插入隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，相鄰名額之間形成９個空隙.可以用m-1塊隔板插入n個元素排成一排的n-1個空隙中,全部分法數(shù)為一班二班三班四班五班六班七班實戰(zhàn)演練練習七求方程x+y+z+w=100的正整數(shù)解的組數(shù).練習六

10個相同的球裝入有編號的5個盒中,每盒至少一個，有多少裝法？···五.排列組合混合問題先選后排策略例4

有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法?依據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.其次步把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_____種方法.練習九某學習小組有5個男生3個女生，從中選3名男生和1名女生參與三項競賽活動，每項活動至少有1人參與，則有不同參賽方法多少種.解：接受先組后排方法:練習八從1到7的7個數(shù)字中取2個偶數(shù)3個奇數(shù)，其中2個偶數(shù)排在一起，問組成沒有重復數(shù)字的5位數(shù)？解：接受先組后排方法:實戰(zhàn)演練例5.(1)將四個小球分成兩組，每組兩個，有多少分法？3種六分組問題(2)將四個小球分給兩人，每人兩個,有多少分法？甲甲乙乙6種(3)將四個小球分成兩組，一組三個，一組一個，有多少分法？4種(4)將四個小球分給兩人，一人三個,一人一個，有多少分法？甲乙甲乙8種分組問題注意是否均勻有無組別有組別問題若分成的m組是有組別的，只需在原來的分組基礎上再例6.有6本不同的書，分成3堆.

（1）假如每堆2本，有多少種分法？

（2）假如分成一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種分法？

分析:這與例2不同，區(qū)分在于把6本不同的書分給甲、乙、丙3人，每人2本，相當于把6本不同的書先分成3堆，再把分得的3堆分給甲、乙、丙3人.例6.有6本不同的書，分成4堆.

（3）假如一堆3本，其余各堆各1本，有多少種分法？

（4）假如每堆至多2本，至少1本，有多少種分法？

留意：分組支配問題主要有分組后有支配對象(即組本身有序)的均分與不均分問題及分組后無支配對象(即組本身無序)的均分與不均分問題四種類型，常見的情形有以下幾種:(2)均勻、有序分組:

把n個不同的元素分成有序的m組，每組r個元素，則共有種分法.(其中mr=n)(1)均勻、無序分組:

把n個不同的元素分成無序的m組，每組r個元素，則共有種分法.(其mr=n)(3)非均勻、無序分組:把n個不同的元素分成m組，第1組r1個元素，第2組r2個元素，第3組r3個元素，……第m組rm個元素，則共有種分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)(4)非均勻、有序分組:把n個不同的元素分成m組，第1組r1個元素，第2組r2個元素，第3組r3個元素，……第m組rm個元素，再分給m個人，則共有種分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)(5)局部均勻分組:把n個不同的元素分成m組，其中m1個組有r1個元素，m2個組有r2個元素，……mk個組有rk個元素，則共有種分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)練習:

9件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少種分法？2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少種分法？3.每人3件，有多少種分法？4.平均分成三堆，有多少種分法？5.分為2、2、2、3四堆，有多少種分法？

解：①②③④⑤感悟●共享

（一）解決排列組合16字方針是解排列組合的基本規(guī)律，即分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合.（二）幾種解題策略1.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略2.相鄰元素捆綁策略3.不相鄰問題插空策略4.元素相同問題隔板策略你駕馭了哪些探求問題的方法和數(shù)學思想？由特殊到一般類比、歸納、轉化例6:從6個學校中選出30名學生參與數(shù)學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?分析:問題相當于把30個相同的球放入6個不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問題可用“隔板法”處理.小結：把n個相同元素分成m份，每份至少1個元素，問有多少種不同分法的問題可以接受“隔板法”.共有：變式1:將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒至少1球的放法有多少種？變式2:將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？課堂練習：1、4個學生和3個老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必需排在一起的不同排法種數(shù)是（）A.B.C.D.D2、支配展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳設，要求同一品種的畫必需連在一起，那么不同的陳設方式有（）B3、在7名運動員中選出4名組成接力隊，參與4×100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的支配方法有多少種？練習2:將5個人分成4個組，每組至少1人，則分組的種數(shù)是多少？練習1:將12個人分成2，2，2，3，3的5個組，則分組的種數(shù)是多少？練習3:

9件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少種分法？2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少種分法？3.每人3件，有多少種分法？4.平均分成三堆，有多少種分法？5.分為2、2、2、3四堆，有多少種分法？

解：①②③④⑤課堂小結：1、對限制條件較困難的排列組合應用題，要周密分析，設計出合理的方案，把困難問題分解成若干個簡潔的基本問題后再用兩個計數(shù)原理來解決；2、一般狀況下應遵循先取元素，后排列的原則；3、對于某些特殊問題要能嫻熟運用相應方法解決，如：隔板法、勻整分組（局部勻整分組）等問題.課堂小結：基本的解題方法：

⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)先法）；⑵某些元素要求必需相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；⑶某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；⑷在處理排列問題時，一般可接受干脆和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑，這是學好排列問題的根基．再見用0-5這六個數(shù)字可以組成沒有重復的（1）四位偶數(shù)有多少個？奇數(shù)？（5）十位數(shù)比個位數(shù)大的三位數(shù)？（2）能被5整除的四位數(shù)有多少？（3）能被3整除的四位數(shù)有多少？（4）能被25整除的四位數(shù)有多少？（6）能組成多少個比240135大的數(shù)？若把所組成的全部六位數(shù)從小到大排列起來，那么240135是第幾個數(shù)？備選題有約束條件的排列問題例4：有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（1）男甲排在正中間；（2）男甲不在排頭，女乙不在排尾；（3）三個女生排在一起；（4）三個女生兩兩都不相鄰；（5）全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右依次不變；（6）若甲必需在乙的右邊（可以相鄰，也可以不相鄰），有多少種站法？對于相鄰問題，常用“捆綁法”對于不相鄰問題，常用“插空法”【例3】用0到9這10個數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？特殊位置“百位”，特殊元素“0”百位十位個位法1：法2：特殊位置優(yōu)先安排百位十位個位0百位十位個位0百位十位個位特殊元素優(yōu)先考慮【例3】用0到9這10個數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？特殊位置“百位”，特殊元素“0”正難則反（間接法）法3：百位十位個位千位萬位變