第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)Chapter2LogicAlgebraBasic本章主要內(nèi)容

第一節(jié)數(shù)制與碼制

第二節(jié)邏輯代數(shù)的基本概念與運(yùn)算第三節(jié)邏輯函數(shù)的公式化簡法

第四節(jié)邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法第五節(jié)具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡1數(shù)制基數(shù)數(shù)碼計(jì)數(shù)規(guī)則一般表達(dá)式計(jì)算機(jī)中英文表示十進(jìn)制100~9逢十進(jìn)一DDecimal二進(jìn)制20、1逢二進(jìn)一BBinary八進(jìn)制80~7逢八進(jìn)一OOctal十六進(jìn)制160~9、ABCDEF逢十六進(jìn)一HHexadecimalN進(jìn)制N0~（N-1）逢N進(jìn)一各進(jìn)制特點(diǎn)對(duì)照表例：

(278.94)10

(101.11)2(372.01)8

(2A.7F)16上次授課內(nèi)容回顧2二、數(shù)制轉(zhuǎn)換

1、各種進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制：即“按位加權(quán)和”

2、其他：

(1)十進(jìn)制

N進(jìn)制將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為N進(jìn)制的方法：整數(shù)部分采用基數(shù)(N)除法，即除基（N）取余，逆序排列；小數(shù)部分采用基數(shù)（N）乘法，即乘基（N）取整，順序排列。(2)二進(jìn)制八進(jìn)制(3)二進(jìn)制十六進(jìn)制(4)八進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制上次授課內(nèi)容回顧3二進(jìn)制正負(fù)數(shù)的表示法在數(shù)字電路中，二進(jìn)制正負(fù)數(shù)的表示法有原碼、反碼和補(bǔ)碼三種表示法?！?.1.3碼制一、二-十進(jìn)制碼（BCD碼-Binary-CodedDecimal）二、格雷碼三、誤差檢驗(yàn)碼四、字符、數(shù)字代碼上次授課內(nèi)容回顧4格雷碼與二進(jìn)制碼余3循環(huán)碼5§2.2邏輯代數(shù)基本概念和運(yùn)算規(guī)則

邏輯代數(shù)是英國數(shù)學(xué)家GeogeBoole(1815~1864)于1847年提出的，所以又稱為布爾代數(shù)或開關(guān)代數(shù)，它是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)工具?！粲鴶?shù)學(xué)家GeorgeBoole于1815年11月生于英格蘭的林肯?！?/p>

1847年，發(fā)表了著作《TheMathematicalAnalysisofLogic》?！?/p>

1849年，他被任命位于愛爾蘭科克的皇后學(xué)院的數(shù)學(xué)教授?！?/p>

1854年,他出版了《TheLawsofThought》◆布爾撰寫了微分方程和差分方程的課本。◆

1864年，布爾死于肺炎。6§2.2邏輯代數(shù)基本概念和運(yùn)算規(guī)則§2.2.1邏輯變量與邏輯函數(shù)在邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，通常用字母A、B、C等表示。邏輯變量的取值只有兩種：真(“1”)和假(“0”)。這里的“1”和“0”并不表示數(shù)量的大小，而是表示完全對(duì)立的兩種狀態(tài)。7若以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，那么當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。因此，輸出與輸入之間乃是一種函數(shù)關(guān)系。這種函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫作Y=F(A,B,C…)。例：如下圖所示為一個(gè)舉重裁判電路舉重裁判電路§2.2.1邏輯變量與邏輯函數(shù)8§2.2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有與(AND)、或(OR)、非(NOT)三種。它們各自的含義如下圖中(a)、(b)、(c)所示。若把開關(guān)閉合作為條件，把燈亮作為結(jié)果，那么圖中的三個(gè)電路代表了三種不同的因果關(guān)系：與、或、非說明電路9(a)邏輯與，也叫邏輯相乘：表示只有決定事物結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才會(huì)發(fā)生。記作：Y=A·B或Y=AB。其邏輯真值表如表2.2.1(P21)。表2.2.1

與邏輯真值表自等律A·

1=A0－1律A·

0=0重疊律A·

A=A10(b)邏輯或，也叫邏輯相加：表示決定事物結(jié)果的條件中只要有任何一個(gè)滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生。記作：Y=A+B。其邏輯真值表如表2.2.2。表2.2.2

或邏輯真值表自等律A+0=A0－1律A+

1=1重疊律A+

A=A11(c)邏輯非，也叫邏輯求反：表示只要條件具備了，結(jié)果就不會(huì)發(fā)生，否則結(jié)果一定發(fā)生。記做：。其邏輯真值表如表2.2.3。表2.2.3

非邏輯真值表還原律=A互補(bǔ)律A+=1重疊律A·=012數(shù)字電路中，把實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的單元電路叫做“與門”；把實(shí)現(xiàn)或邏輯運(yùn)算的單元電路叫做“或門”；把實(shí)現(xiàn)非邏輯運(yùn)算的單元電路叫做“非門”(或反相器)。與、或、非邏輯運(yùn)算還可用下圖所示的圖形符號(hào)表示：與、或、非的圖形符號(hào)國際標(biāo)準(zhǔn)國家標(biāo)準(zhǔn)13實(shí)際的邏輯問題基本上都可以用與、或、非的組合來實(shí)現(xiàn)。最常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、同或、異或等。右圖示出了它們的邏輯符號(hào)與運(yùn)算符號(hào)。復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)14最常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算——“與非”（NAND）“與非”復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)ABY000110111110NANDTruthTable15最常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算——“或非”（NOR）“或非”復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)N0RTruthTableABY00011011100016最常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算——“與或非”（AND-NOR）“與或非”復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)17最常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算——“異或”(EXCLUSIVE-OR)和“同或”(EXCLUSIVE-NOR)EX-ORABY000110110110EX-NORABY000110111001“異或”“同或”復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)⊙A⊙B=A,B相同為1，相異為0；A,B相異為1，相同為0；18d、“同或”邏輯與“異或”邏輯

(1)0⊙0=1;0⊙1=1⊙0=0;

1⊙1=1;(2)A⊙0=;A⊙1=A

(3)A⊙A⊙A……⊙A＝1;

A⊙A⊙A……⊙A＝A;偶數(shù)個(gè)A奇數(shù)個(gè)A

1、同或運(yùn)算規(guī)律、公式及性質(zhì)：19

(1)

0⊕0=0;0⊕1=1⊕0=1;

1⊕1=0;(2)A⊕0=A;A⊕1=(3)交換律：

(4)結(jié)合律：

(5)分配律：d、“同或”邏輯與“異或”邏輯

2、“異或”運(yùn)算的公式：20d、“同或”邏輯與“異或”邏輯

3、“異或”運(yùn)算的性質(zhì)：

在多變量異或運(yùn)算中，若變量為1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，異或運(yùn)算結(jié)果為1，若變量為1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，異或運(yùn)算結(jié)果為0，與變量為0的個(gè)數(shù)無關(guān)。(2)多變量異或運(yùn)算：(1)因果互換關(guān)系：21§2.2.3邏輯函數(shù)的描述(即表示方法)描述邏輯函數(shù)的方法有以下六種：一、邏輯表達(dá)式(函數(shù)式)(LogicFunction)二、真值表(TruthTable)三、邏輯電路圖(LogicDiagram)四、卡諾圖(KarnaughMap)五、波形圖(時(shí)序圖)(WaveformorTimingDiagram)六、文字描述22§2.2.3邏輯函數(shù)的描述(即表示方法)一、邏輯表達(dá)式(函數(shù)式—LogicFunction)

用與、或、非等邏輯運(yùn)算表示邏輯關(guān)系的代數(shù)式叫邏輯函數(shù)表達(dá)式或簡稱函數(shù)式。例：23§2.2.3邏輯函數(shù)的描述(即表示方法)二、真值表(TruthTable)

將輸入變量所有的取值對(duì)應(yīng)的輸出值找出來，列成表格，即可得真值表。列真值表時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：

1、所有的輸入的組合不可遺漏，也不可重復(fù)；輸入組合最好按二進(jìn)制數(shù)遞增的順序排列(完整性)。

2、同一邏輯函數(shù)的真值表具有唯一性。

24例：請(qǐng)列出舉重裁判電路Y=A(B+C)的真值表。25三、邏輯電路圖(LogicDiagram)用代表邏輯運(yùn)算的邏輯門符號(hào)所構(gòu)成的邏輯關(guān)系圖形，叫邏輯電路圖，簡稱邏輯圖。

四、卡諾圖(KarnaughMap)后述。五、波形圖(時(shí)序圖)(WaveformorTimingDiagram)

指各個(gè)邏輯變量的邏輯值隨時(shí)間變化的規(guī)律圖。

六、文字描述

邏輯函數(shù)的各種表示方法可以相互轉(zhuǎn)換。

26例：已知某邏輯函數(shù)的真值表如下所示，試寫出其邏輯函數(shù)式。ABCY00000101001110010111011101101001從真值表寫出邏輯函數(shù)的一般方法：1、找出真值表中使邏輯函數(shù)Y＝1的那些輸入變量取值的組合；2、每組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；3、將這些乘積項(xiàng)相加，即可得邏輯函數(shù)式。27在真值表中，將為“1”的輸出邏輯值所對(duì)應(yīng)的輸入變量的最小項(xiàng)相加，即得對(duì)應(yīng)的函數(shù)式。二、邏輯函數(shù)式表示法ABY000110110110Y=AB+AB已知：所以：三、邏輯圖表示法11&&≥1ABYABAB四、波形圖表示法ABY五、卡諾圖表示法（后續(xù)介紹）28布爾代數(shù)、真(“1”)和假(“0”)、邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算：與、或、非及圖形符號(hào)表示：復(fù)合邏輯運(yùn)算：與非、或非、與或非、同或、異或等。邏輯代數(shù)基本概念和運(yùn)算規(guī)則小結(jié)29邏輯代數(shù)基本概念和運(yùn)算規(guī)則小結(jié)一、邏輯表達(dá)式（函數(shù)式）二、真值表三、邏輯電路圖四、卡諾圖五、波形圖（時(shí)序圖）六、文字描述描述邏輯函數(shù)的方法有以下六種：六種方法中間可以互相轉(zhuǎn)換！30一、邏輯代數(shù)的公理§2.2.4邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式31(1)交換律：A·B=B·A；A+B=B+A(2)結(jié)合律：A·(B·C)=(A·B)·C；

A+(B+C)=(A+B)+C(3)分配律：A·(B+C)=A·B+A·C；

A+B·C=(A+B)·(A+C)(4)01定律：1·A=A；0+A=A0·A=0；1+A=1(5)互補(bǔ)律：二、邏輯代數(shù)的基本公式(定律)32(6)重疊律：A·A=A；A+A=A(7)反演律(De.Morgan定理)：

(8)還原律：二、邏輯代數(shù)的基本公式(定律)33注：1、若兩個(gè)邏輯函數(shù)具有完全相同的真值表，則這兩個(gè)邏輯函數(shù)相等。證明以上定律的基本方法均采用真值表法。

2、邏輯代數(shù)與普通代數(shù)是不同的。

例：34三、邏輯代數(shù)的常用公式(吸收律)35例1.2

證明

A+AB=A

解：根據(jù)題意，列出真值表如下表所示:A

BA+ABA0

0000

1001

0111

111例1.2的真值表36§2.2.5邏輯代數(shù)的三個(gè)定理(規(guī)則)一、代入定理

所謂代入定理，是指在任何一個(gè)包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。例：用代入定理證明De.Morgan定理也適用于多變量的情況。37例1.3

已知等式

則:A+C+D+A(C+D)=?。

解:

原式左邊是將B用(C+D)代替，根據(jù)代入定理，只要將原式右側(cè)所有的B用(C+D)代替即可，即：

原式右邊=

注意：在使用代入規(guī)則時(shí)，必須將所有出現(xiàn)被代替變量的地方都用同一函數(shù)代替，否則不正確。38二、反演定理

所謂反演定理，是指對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是?！?.2.5邏輯代數(shù)的三個(gè)定理(規(guī)則)39

注意：

(1)使用反演規(guī)則時(shí)，必須保證運(yùn)算優(yōu)先順序不變，即如果在原函數(shù)表達(dá)式中，AB之間先運(yùn)算，再和其他變量進(jìn)行運(yùn)算，那么反函數(shù)的表達(dá)式中，必須保證AB之間先運(yùn)算。

(2)對(duì)于反變量以外的非號(hào)應(yīng)保留不變。例1.4

已知，求反函數(shù)

解：按照反演規(guī)則，得:例1.5

已知，求反函數(shù)。

解：按照上述法則得:40即：1、仍需遵守“先括號(hào)，然后乘，最后加”的運(yùn)算優(yōu)先次序。2、不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。