3．1.1函數(shù)的均勻變化率[學(xué)習(xí)目標(biāo)

]

1.經(jīng)過實例剖析、認(rèn)識函數(shù)均勻變化率的意義

.2.

會求函數(shù)

f(x)在x0到x0＋

x之間的均勻變化率

.3.

掌握求函數(shù)

f(x)在

x0到

x0＋

x之間的均勻變化率的方法與步驟．[知識鏈接]好多人都吹過氣球，回想一下吹氣球的過程，能夠發(fā)現(xiàn)，跟著氣球內(nèi)空氣容量的增添，氣球的半徑增添得愈來愈慢．從數(shù)學(xué)的角度，如何描繪這類現(xiàn)象呢？33V答：氣球的半徑r(單位：dm)與體積V(單位：L)之間的函數(shù)關(guān)系是r(V)＝4π，(1)當(dāng)V從0增添到1L時，氣球半徑增添了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，r1－r0≈0.62(dm/L)．氣球的均勻膨脹率為1－0(2)當(dāng)V從1L增添到2L時，氣球半徑增添了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，r2－r1≈0.16(dm/L)．氣球的均勻膨脹率為2－1能夠看出，跟著氣球體積漸漸變大，它的均勻膨脹率漸漸變小了．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．函數(shù)的變化率的定義已知函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0及其周邊有定義，令x＝x－x；0y＝y(tǒng)－y＝f(x)－f(x)＝f(x＋x)－f(x)．0000則當(dāng)fx0＋x－fx0yx≠0，比值x＝x叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋x之間的均勻變化率．2．均勻變化率的計算過程自變量的改變量x＝x2－x1↓函數(shù)值的改變量y＝y(tǒng)2－y1＝fx2－fx1＝fx1＋x－fx1↓yy2－y1fx2－fx1fx1＋x－fx1＝x－x＝x－x＝xx1122重點一均勻變化率例1已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)計算從x＝1到x＝1＋x的均勻變化率，此中x的值為①2；②1；③0.1；④0.01.(2)依據(jù)(1)中的計算，當(dāng)x愈來愈小時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,1＋x]上的均勻變化率有如何的變化趨向？解(1)∵Δy＝(1＋x)－(1)＝－4.9(x)2－3.3x，hhyx－3.3.∴x＝－4.9y①當(dāng)x＝2時，x＝－4.9x－3.3＝－13.1；x＝1yx－3.3②當(dāng)時，x＝－4.9＝－8.2；y③當(dāng)x＝0.1時，x＝－4.9x－3.3＝－3.79；x＝0.01yx－3.3＝－3.349.④當(dāng)時，x＝－4.9當(dāng)x愈來愈小時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,1＋x]上的均勻變化率漸漸變大，并靠近于－3.3.規(guī)律方法求均勻變化率的主要步驟：先計算自變量的改變量x＝x2－x1；(2)再計算函數(shù)值的改變量y＝f(x2)－f(x1)；yfx2－fx1(3)得均勻變化率x＝x2－x1.追蹤操練x＝0.1解函數(shù)x0＋x0＋

1求函數(shù)y＝f2在區(qū)間[x，x＋x]上的均勻變化率，并求當(dāng)x＝2，000時均勻變化率的值．y＝f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋x]上的均勻變化率為x－fx＝[3x＋x2－2000x－x0x6x0·Δx＋3x20x.＝x＝6x＋3當(dāng)x0＝2，x＝0.1時，函數(shù)y＝3x2＋2在區(qū)間[2,2.1]上的均勻變化率為6×2＋3×0.1＝12.3.重點二求物體運動的均勻速度12例2以初速度v0豎直向上拋一物體的位移s與時間t的關(guān)系為：s(t)＝v0t－2gt.(1)求物體從時刻t到時刻t＋t這段時間的均勻速度v；00求物體在t＝10s到10.4s這段時間的均勻速度．解(1)由t0到t＋t，則改變量為t.0s＝s(t＋t)－s(t0)01212＝v0(t0＋t)－2g(t0＋t)－v0t0＋2gt012＝tv0－gt0·Δt－g(t).2s＝0－0·Δ－120－1v＝tvgtt2gt＝0－gtt.ttv2g(2)當(dāng)t＝10s時，t＝0.4s，0則物體在t＝10s到10.4s這段時間的均勻速度＝v0－10g－1×g×0.4＝v0－10.2g.2規(guī)律方法已知物體的運動方程，即知道物體運動過程中位移與時間的函數(shù)關(guān)系，求其在[t0，t0＋t]內(nèi)的均勻速度，依據(jù)均勻速度的意義可知就是求這個函數(shù)在[t，t＋t]內(nèi)的00均勻變化率．追蹤操練2動點P沿x軸運動，運動方程為x＝10t＋5t2，式中t表示時間(單位：s)，x表示距離(單位：m)，求在20≤t≤20＋t時間段內(nèi)動點的均勻速度，此中(1)t＝1，(2)t＝0.1，(3)t＝0.01.解動點在20≤t≤20＋t時間段內(nèi)的均勻速度為1020＋t＋520＋t2－10×20－5×202v＝t210t＋5t2＝＝5t＋210，t當(dāng)t＝1時，v＝5×1＋210＝215(m/s)當(dāng)t＝0.1時，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)當(dāng)t＝0.01時，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．重點三均勻變化率的實質(zhì)應(yīng)用例3蜥蜴的體溫與陽光的照耀相關(guān)，其關(guān)系為()＝120＋15，此中()為體溫(單Ttt＋5Tt位：℃)，t為太陽落山后的時間(單位：min)．求：(1)從t＝0min到t＝10min，蜥蜴的體溫的均勻變化率．(2)體溫()對時間t的變化率．Tt120120(1)TT10－T015＋15－5－15解t＝10＝10＝－1.6℃/min.∴從t＝0到t＝10min，蜥蜴的體溫的均勻變化率為－1.6℃/min.設(shè)時間的增量為t，則體溫T(t)的改變量為T＝T(t＋t)－T(t)＝120120t＋t＋15－－15＋5t＋5－120tT－120.＝t＋t＋5t＋5，∴t＝t＋t＋5t＋5故體溫T(t)對時間t的變化率為－120.t＋t＋5t＋5規(guī)律方法均勻變化率是一個比值，它是揭露一個量隨另一個量變化快慢的重要指標(biāo)，學(xué)習(xí)時應(yīng)經(jīng)過實例領(lǐng)會和經(jīng)歷求均勻變化率的過程，注意均勻變化率關(guān)于不一樣的實質(zhì)問題可能有不一樣的名稱．如物體運動時的均勻變化率就是均勻速度，它是位移增量與時間增量的比，氣球膨脹的均勻變化率就是氣球膨脹率，它是半徑增量與體積增量的比．函數(shù)的均勻變化率就是從這些實質(zhì)問題中抽象出來的一個重要數(shù)學(xué)觀點．追蹤操練3一正方形鐵板在0℃時，邊長為10cm，加熱后會膨脹，當(dāng)溫度為t℃時，邊長變成10(1＋at)cm，a為常數(shù)．試求鐵板面積對溫度的膨脹率．解設(shè)溫度的增量為t，則鐵板面積S的增量S2222222S＝10[1＋a(t＋t)]－10(1＋at)＝200(a＋at)t＋100a(t)，∴t＝200(a＋a2t)＋100a2t.故鐵板面積對溫度的膨脹率為200(a＋a2t)＋100a2t.1．一質(zhì)點運動的方程為s＝5－3t2，則在一段時間[1,1＋t]內(nèi)相應(yīng)的均勻速度為()A．3t＋6B．－3t＋6C．3t－6D．－3t－6答案Ds∵Δs＝5－t)22t)2t，∴v分析3(1＋－(5－3×1)＝－3(－6＝t＝－3t2－6tt－6.t＝－32．已知函數(shù)f(x)＝22－1的圖象上一點(1,1)及周邊一點(1＋x,1＋y)，則y等于xx()A．4B．4xC．4＋2xD．4＋2(x)2答案C分析y＝f(1＋x)－f(1)＝2(1＋x)2－1－1＝2(x)2＋4x，∴y＝2x＋4.x2y3．在曲線y＝x＋2的圖象取一點(2,3)及周邊一點(2＋x,3＋y)，則x為()A．x＋1＋4B．x－1－4xxC．x＋4D．4＋x－1x答案C2＋x2－4yf2＋x－f2x＋4.分析x＝x＝x＝4．將半徑為R的球加熱，若半徑從＝1到＝m時球的體積膨脹率為28π，則m的值為RR3________．答案24π34π34π3分析V＝3m－3×1＝3(m－1)，4π3V3m－1282∴＝－1＝3π.∴m＋m＋1＝7.Rm∴m＝2或m＝－3(舍)．理解均勻變化率要