10-4事件與概率基礎鞏固強化1.對某電視機廠生產的電視機進行抽樣檢測，數據如下：抽取臺數501002003005001000優(yōu)等品數4792192285478954則該廠生產的電視機是優(yōu)等品的概率約為()A．0.92B．0.94C．0.95D．0.96[答案]C[解析]由頻率與概率關系知答案為C.2．(2011·安徽合肥模擬)從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3[答案]C[解析]事件“抽到的不是一等品”與事件A是對立事件，由于P(A)＝0.65，所以由對立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.3．(2012·皖南八校第三次聯(lián)考)某種飲料每箱裝6聽，其中有4聽合格，2聽不合格，現質檢人員從中隨機抽取2聽進行檢測，則檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(3,5)C.eq\f(8,15) D.eq\f(14,15)[答案]B[解析]記4聽合格的飲料分別為A1、A2、A3、A4,2聽不合格的飲料分別為B1、B2，則從中隨機抽取2聽有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15種不同取法，而至少有一聽不合格飲料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9種，故所求概率為P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，選B.4．(2012·安徽文，10)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[答案]B[解析]1個紅球記作R,2個白球記作B1、B2,3個黑球記作H1、H2、H3，則從中任取2個球的所有方法種數有如下15種：RB1，RB2，RH1，RH2，RH3，B1B2，B1H1，B1H2，B1H3，B2H1，B2H2，B2H3，H1H2，H1H3，H2H3，而兩球顏色為一黑一白的種數有如下6種：B1H1，B1H2，B1H3，B2H1，B2H2，B2H3，所以所求概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).[點評]準確求出古典概型概率公式p＝eq\f(m,n)中的m、n是解題關鍵，通常有列舉法、樹狀圖法、坐標系法等．5．甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是()A.eq\f(3,18) B.eq\f(4,18)C.eq\f(5,18) D.eq\f(6,18)[答案]C[解析]甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，所得的直線共有6×6＝36(對)，而相互垂直的有10對，故根據古典概型概率公式得P＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).6．(文)羊村村長慢羊羊決定從喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊中選派兩只羊去割草，則喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(6,7)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[答案]C[解析]將喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊依次編號為1、2、3、4、5，從中任取兩個的所有可能取法為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中喜羊羊與美羊羊恰好只有一只被選中的有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)．∴所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(理)(2011·濱州月考)若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的橫、縱坐標，則點P(m，n)落在直線x＋y＝5下方的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,9)[答案]A[解析]試驗是連續(xù)擲兩次骰子．故共包含6×6＝36個基本事件．事件“點P(m，n)落在直線x＋y＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6個基本事件，故P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).7．(文)(2011·德州期末)現有語文、數學、英語、物理和化學共5本書，從中任取1本，取出的是理科書的概率為________．[答案]eq\f(3,5)[解析]共有取法5種，其中理科書為3種，∴P＝eq\f(3,5).(理)拋擲甲、乙兩枚質地均勻且四面上分別標有1,2,3,4的正四面體，其底面落于桌面，記所得的數字分別為x、y，則eq\f(x,y)為整數的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]將拋擲甲、乙兩枚質地均勻的正四面體所得的數字x、y記作有序實數對(x，y)，共包含16個基本事件，其中eq\f(x,y)為整數的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8個基本事件，故所求概率為P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).8．(2012·寧夏三市聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次分別得到點數a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為________．[答案]eq\f(5,12)[解析]圓心(2,0)到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，當d<eq\r(2)時，直線與圓相交，解eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)得b>a，滿足題意的b>a共有15種情況，又易知將一顆骰子投擲兩次分別得到點數a、b的基本情況共有36種，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).9．(2011·廣東高州模擬)某市派出甲、乙兩支球隊參加全省足球冠軍賽，甲、乙兩隊奪取冠軍的概率分別是eq\f(3,7)和eq\f(1,4)，則該市足球隊奪得全省足球冠軍的概率是________．[答案]eq\f(19,28)[解析]設事件A：甲球隊奪得全省足球冠軍，B：乙球隊奪得全省足球冠軍，事件C：該市足球隊奪得全省足球冠軍．依題意P(A)＝eq\f(3,7)，P(B)＝eq\f(1,4)，且C＝A＋B，事件A、B互斥，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).10．(2012·河南六市模擬)某班50名學生在一次數學測試中，成績全部介于50與100之間，將測試結果按如下方式分成五組；第一組[50,60)，第二組[60,70)，…，第五組[90,100]，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)若成績大于或等于60且小于80，認為合格，求該班在這次數學測試中成績合格的人數；(2)從測試成績在[50,60)∪[90,100]內的所有學生中隨機抽取兩名同學，設其測試成績分別為m、n，求事件“|m－n|>10”[解析](1)由直方圖知，成績在[60,80)內的人數為50×10×(0.018＋0.040)＝29，所以該班在這次數學測試中成績合格的有29人．(2)由直方圖知，成績在[50,60)的人數為50×10×0.004＝2，設成績?yōu)閤、y；成績在[90,100]的人數為50×10×0.006＝3，設成績?yōu)閍、b、c，若m、n∈[50,60)，則只有xy一種情況．若m、n∈[90,100]，則有ab、bc、ac三種情況，若m、n分別在[50,60)和[90,100]內，則有abcxxaxbxc共6種情況．yyaybyc所以基本事件總數為10種，事件“|m－n|>10”∴P(|m－n|>10)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[點評]1.在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，各矩形面積和為1；2.通過頻率分布直方圖的識讀獲取信息是解決這一類問題的關鍵.能力拓展提升11.(2012·河南質量調研)在區(qū)間[0,1]上任意取兩個實數a，b，則函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax－b在區(qū)間[－1,1]上有且僅有一個零點的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(5,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(2,9)[答案]A[解析]由已知a、b在區(qū)間[0,1]上，所以f′(x)＝x2＋a≥0，函數f(x)在[－1,1]內是增函數，∵f(x)在[－1,1]上有且僅有一個零點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－\f(1,3)－a－b≤0，,f1＝\f(1,3)＋a－b≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,3)≥0，,a－b＋\f(1,3)≥0.))在坐標平面aOb中，畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，))與不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,3)≥0，,a－b＋\f(1,3)≥0，))表示的平面區(qū)域，易知，這兩個不等式組表示的平面區(qū)域的公共區(qū)域的面積等于12－eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,9)，而不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，))表示的平面區(qū)域的面積為1，因此所求的概率等于eq\f(7,9)，選A.12．(文)從一個三棱柱ABC－A1B1C1A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[答案]D[解析]從6個頂點中選4個，共有15種選法，其中共面的情況有三個側面，∴概率P＝eq\f(15－3,15)＝eq\f(4,5).(理)(2012·山西聯(lián)考)連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數分別為m、n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角記為α，則α∈(0，eq\f(π,4))的概率為()A.eq\f(5,18) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)[答案]B[解析]依題意得，連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，可得到的向量a＝(m，n)共有6×6＝36個，由向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈(0，eq\f(π,4))得n<m，向量a＝(m，n)可根據n的取值分類計數：當n＝1時，m有5個不同的取值；當n＝2時，m有4個不同的取值；當n＝3時，m有3個不同的取值；當n＝4時，m有2個不同的取值；當n＝5時，m有1個值，因此滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈(0，eq\f(π,4))的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15個，所以所求的概率等于eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，選B.[點評]m＝n有6個，m>n與m<n的一樣多，有eq\f(1,2)(36－6)＝15個．或從1到6中任取兩數，小的為n，共有Ceq\o\al(2,6)＝15種．13．(2012·龍巖質檢)若在區(qū)間[－5,5]內隨機地取出一個數a，則1∈{x|2x2＋ax－a2>0}的概率為________．[答案]eq\f(3,10)[解析]∵1∈{x|2x2＋ax－a2>0}，∴a2－a－2<0，∴－1<a<2，故所求概率為P＝eq\f(3,10).14．已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線方程為mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一個數，則雙曲線的離心率大于3的概率是________．[答案]eq\f(7,9)[解析]e>3，即eq\f(c,a)>3，∴eq\f(a2＋b2,a2)>9，∴eq\f(b,a)>2eq\r(2)，即m>2eq\r(2)，∴m可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p＝eq\f(7,9).15．一個口袋內裝有5個白球和3個黑球，從中任意取出一只球．(1)“取出的球是紅球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？[分析]本題考查必然事件、不可能事件、隨機事件的概念及隨機事件的概率公式和分析判斷能力．[解析](1)由于口袋內只裝有黑、白兩種顏色的球，故“取出的球是紅球”不可能發(fā)生，因此，它是不可能事件，其概率為0.(2)由已知，從口袋內取出一個球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是隨機事件，它的概率為eq\f(3,8).(3)由于口袋內裝的是黑、白兩種顏色的球，故取出一個球不是黑球，就是白球．因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.16．(2012·山西太原測評)從某學校高一年級800名學生中隨機抽取50名學生測量身高，據統(tǒng)計被抽取學生的身高全部介于155cm至195cm之間，現將樣本數據分成八組：第一組[155,160)，第二組[160,165)，…，第八組[190,195]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)根據已知條件填寫下面表格：組別12345678樣本數(2)估計這所學校高一年級800名學生中身高在180cm以上(含180cm)的人數；(3)在樣本中，第二組有1名男生，其余為女生；第七組有1名女生，其余為男生．若在第二組和第七組中各選一名同學組成實驗小組，則實驗小組恰為一男一女的概率是多少？[解析](1)由題圖得第七組頻率為1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06.組別12345678樣本數24101015432(2)后三組頻率和為0.08＋0.06＋0.04＝0.18.估計這所學校高三年級身高在180cm以上(含180cm)的人數為800×0.18＝144.(3)(文)第二組四人記為a、b、c、d，a為男生，b、c、d為女生，第七組三人記為1、2、3，其中，1、2為男生，3為女生．基本事件列表如下：abcd111b11d222b22d333b33d所以基本事件有12個，恰為一男一女的事件有1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a，因此實驗小組中，恰為一男一女的概率是eq\f(7,12).(理)第二小組選到男生，第七小組選到女生的選法有1種，第二小組選到女生，第七小組選到男生的選法有3×2＝6種，∴實驗小組恰為一男一女的方法數為1＋6＝7種，故所求概率為P＝eq\f(7,4×3)＝eq\f(7,12).1．(2011·山東臨沂質檢)一個盒子中裝有4張卡片，上面分別寫著如下四個定義域為R的函數：f1(x)＝x3，f2(x)＝|x|，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，現從盒子中任取2張卡片，將卡片上的函數相乘得到一個新函數，所得函數為奇函數的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)[答案]C[解析]f1(x)與f3(x)是奇函數，f2(x)與f4(x)是偶函數．奇函數與偶函數相乘是奇函數，故所得函數為奇函數的概率是P＝eq\f(2×2,6)＝eq\f(2,3).2．(2011·北京西城一模)下面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數字被污損．則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5) D.eq\f(9,10)[答案]C[解析]eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(88＋89＋90＋91＋92,5)＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(83＋83＋87＋x＋99,5).由eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，得x<98，故被污損的數字可能是0,1，…，7，共8個數字，故甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).3．(2011·奉賢區(qū)檢測(一))在一次讀書活動中，一同學從4本不同的科技書和2本不同的文藝書中任選3本，則所選的書中既有科技書又有文藝書的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)[答案]D[解析]因為文藝書只有2本，所以選取的3本書中必有科技書，這樣問題就等價于求選取的3本書中有文藝書的概率．設4本不同的科技書為a，b，c，d,2本不同的文藝書為e，f，則從這6本書中任選3本的可能情況有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20種，記“選取的3本書中有文藝書”為事件A，則事件eq\o(A,\s\up6(－))包含的可能情況有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，共4種，故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(4,20)＝eq\f(4,5).4．若一元二次方程x2＋mx＋n＝0中m、n的取值分別等于將一枚骰子連擲兩次先后出現的點數，則方程有實根的概率為()A.eq\f(19,36) B.eq\f(7,18)C.eq\f(4,9) D.eq\f(17,36)[答案]A[解析]∵方程有實根，∴m2－4n≥0，∴(m，n)的允許取值情形有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,