運(yùn)籌學(xué)第15章對(duì)策論2第十五章對(duì)策論由“齊王賽馬”引入3§1

對(duì)策論的基本概念對(duì)策模型的三個(gè)基本要素：1.局中人：參與對(duì)抗的各方，可以是一個(gè)人，也可以是一個(gè)集團(tuán)，可以是兩方，也可以是多方；2.策略集：局中人選擇對(duì)付其它局中人的行動(dòng)方案稱為策略；某局中人的所有可能策略全體稱為策略集；3.一局勢(shì)對(duì)策的益損值：局中人各自使用一個(gè)對(duì)策就形成了一個(gè)局勢(shì)，一個(gè)局勢(shì)決定了各局中人的對(duì)策結(jié)果（量化）稱為該局勢(shì)對(duì)策的益損值。4出賽的次序是一個(gè)策略

“齊王賽馬”齊王在各局勢(shì)中的益損值表（單位：千金）§1

對(duì)策論的基本概念5其中：齊王的策略集:S1={1,2,3,4,5,6}，田忌的策略集：S2={1,2,3,4,5,6}。下面矩陣稱齊王的贏得矩陣：

3111-1113111-1A=1-13111-111311111-13111-1113§1

對(duì)策論的基本概念6二人有限零和對(duì)策（又稱矩陣對(duì)策）：局中人為2；每個(gè)局中人的策略集的策略數(shù)目都是有限的；每一局勢(shì)的對(duì)策均有確定的損益值，并且對(duì)同一局勢(shì)的兩個(gè)局中人的益損值之和為零。通常將矩陣對(duì)策記為:G={S1,S2,A}

S1：甲的策略集；S2：乙的策略集；A：甲的贏得矩陣。

“齊王賽馬”是一個(gè)矩陣策略?！?

對(duì)策論的基本概念7在甲方的贏得矩陣中：A=[aij]m×ni

行代表甲方策略i=1,2,…,m；j列代表乙方策略j=1,2,…,n；aij代表甲方取策略

i，乙方取策略j，這一局勢(shì)下甲方的益損值。此時(shí)乙方的益損值為-aij（零和性質(zhì)）。在考慮各方采用的策略時(shí)，必須注意一個(gè)前提，就是雙方都是理智的，即雙方都是從各自可能出現(xiàn)的最不利的情形選擇一種最為有利的情況作為決策的依據(jù)?！?矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略§2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略8在矩陣博弈A中，aij表示局中人1的收益，因此，局中人1希望收益值aij越大越好；同時(shí)aij表示局中人2的支付或付出（局中人2的收益為-aij

），因此局中人2則希望付出的aij越小越好。因此，矩陣博弈完全是對(duì)抗的。一般地，如果局中人1采用他的第i個(gè)策略，則局中人2會(huì)選擇策略使局中人1的收益最小，即這就是支付矩陣第i行元素中的最小元素。局中人1不存在僥幸心理，不冒險(xiǎn)，而又追求收益越大越好，因此，他會(huì)從各行的最小元素中選擇最大的，從而確定自己的策略。這就是說(shuō)，局中人1可以選擇i，使他得到的支付不少于（能夠穩(wěn)妥地保證得到該收益）9同樣，如果局中人2采用他的第j個(gè)策略，由于局中人1希望自己的收益值（局中人2的支付）越大越好，即局中人1會(huì)選擇策略使局中人2的支付最大，由于局中人2希望自己的支付越小越好，因此，他會(huì)從支付最大中選擇最小。這就是說(shuō)，局中人2可以選擇j，保證他失去的不大于10在矩陣博弈中，純策略納什均衡點(diǎn)存在的充分必要條件為：11

例：甲乙乒乓球隊(duì)進(jìn)行團(tuán)體對(duì)抗賽，每隊(duì)由三名球員組成，雙方都可排成三種不同的陣容，每一種陣容可以看作一種策略，雙方各選一種策略參賽。比賽共賽三局，規(guī)定每局勝者得1分，輸者得-1分，可知三賽三勝得3分，三賽二勝得1分，三賽一勝得-1分，三賽三負(fù)得-3分。甲隊(duì)的策略集為S1={1，2，3}，乙隊(duì)的策略集為S2={1，2，3}。根據(jù)以往比賽的資料，有甲隊(duì)的贏得矩陣為A，如下所示，請(qǐng)問這次比賽各隊(duì)采用哪種陣容上場(chǎng)最為穩(wěn)妥?§2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略12矩陣A中每行的最小元素分別為1，-3，-1。在這些最少贏得中最好的結(jié)果是1，故甲隊(duì)會(huì)采取策略1，無(wú)論對(duì)手采取何策略，甲隊(duì)至少得1分。對(duì)于乙隊(duì)，{1，2，3}可能帶來(lái)的最少贏得，即A中每列的最大元素，分別為3，1，3。乙隊(duì)會(huì)采取2策略，確保甲隊(duì)不會(huì)超過1分。1和2分別稱為局中人甲隊(duì)、乙隊(duì)的最優(yōu)策略。由于雙方必然選擇這一種策略，所以，這種策略又稱為最優(yōu)純策略。這種最優(yōu)純策略只有當(dāng)贏得矩陣A=（aij）中等式

成立時(shí)，雙方才有最優(yōu)純策略，并把（1,2）稱為對(duì)策G在純策略下的解，又稱（1,2）為對(duì)策G的鞍點(diǎn)。把其值V稱之為對(duì)策G={S1，S2，A}的值。§2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略13

例某單位采購(gòu)員在秋天決定冬季取暖用煤的儲(chǔ)量問題，已知在正常的冬季氣溫條件下要消耗15噸煤，在較暖和較冷的天氣下要消耗10噸和20噸。假定冬天的煤價(jià)隨天氣寒冷程度而有所變化，在較暖和、正常、較冷的氣候條件下每噸煤價(jià)分別為10元、15元、20元。又設(shè)冬季時(shí)煤炭?jī)r(jià)格為每噸10元。在沒有關(guān)于當(dāng)年冬季準(zhǔn)確的氣象預(yù)報(bào)的條件下，秋天儲(chǔ)煤多少噸能使得單位的支出最少？解：局中人I為采購(gòu)員，局中人II為大自然，采購(gòu)員有三個(gè)策略，買10噸、15噸、20噸。分別記為1，2，3。大自然也有三個(gè)策略：暖、正常、冷，分別記為1，2，3。§2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略14贏得矩陣如下：在此表上計(jì)算，有

得故（3，3）為對(duì)策G的解，VG=-200。1231(10噸）-100-175-3002(15噸）-150-150-2503(20噸）-200-200-200123min1(10噸）-100-175-300-3002(15噸）-150-150-250-2503(20噸）-200-200-200-200*max-100-150-200*§2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略15【解】直接在贏得表上計(jì)算，有可知=5，i*=1,3，j*=2,4．故（α1，β2）（α1，β4）（α2，β2）（α2，β4）為對(duì)策的納什均衡，VG=5．【例】設(shè)有矩陣對(duì)策G={S1，S2；A}，贏得矩陣為求納什均衡16最優(yōu)純策略求解步驟：1、行中取小，小中取大得最大化最小收益值；2、列中取大，大中取小得最小化最大支付值；3、比較兩值是否相等。若相等便存在最優(yōu)純策略。若不等，則不存在最優(yōu)純策略。17

設(shè)矩陣對(duì)策G={S1,S2,A}。當(dāng)maxminaijminmaxaij

ijji時(shí)，不存在最優(yōu)純策略。例：設(shè)一個(gè)贏得矩陣如下:min595

A=max6策略2

866i

max89min8策略1

j§3矩陣對(duì)策的混合策略18

當(dāng)甲取策略2，乙取策略1時(shí)，甲實(shí)際贏得8比預(yù)期的多2，乙當(dāng)然不滿意?？紤]到甲可能取策略2這一點(diǎn)，乙采取策略2。若甲也分析到乙可能采取策略2這一點(diǎn)，取策略1，則贏得更多為9…

。此時(shí)，對(duì)兩個(gè)局中人甲、乙來(lái)說(shuō)，沒有一個(gè)雙方均可接受的平衡局勢(shì)，其主要原因是甲和乙沒有執(zhí)行上述原則的共同基礎(chǔ)，即maxminaijminmaxaij。

ijji

一個(gè)自然的想法：對(duì)甲（乙）給出一個(gè)選取不同策略的概率分布，以使甲（乙）在各種情況下的平均贏得（損失）最多（最少）-----即混合策略?！?矩陣對(duì)策的混合策略19如局中人1分別以概率x1和x2隨機(jī)地采用策略α1和α2，局中人2也分別以概率y1和y2隨機(jī)地采用策略β1和β2。兩個(gè)局中人分別選取純策略αi

和βj的事件是獨(dú)立的，所以局勢(shì)（αi，βj）出現(xiàn)的概率是xi和yj，這時(shí)局中人1的贏得是aij。于是局中人1贏得的期望值是20【例】設(shè)贏得矩陣A為:化簡(jiǎn)贏得矩陣．【解】第4行優(yōu)于第1行，第3行優(yōu)于第2行，故可劃去第1行和第2行，得到新的贏得矩陣，x1=x2=0“嚴(yán)格下策反復(fù)消去法”(IteratedEliminationofStrictly

DominatedStrategies)優(yōu)超原理——贏得矩陣的化簡(jiǎn)21對(duì)于A1第1列優(yōu)于第3列，第2列優(yōu)于第4列，(1/2)×（第1列）+(1/2)×（第2列）優(yōu)超于第5列，因此去掉第3列，第4列和第5列，y3=y4=y5=0，得到A2：又由于第1行優(yōu)超于第3行，所以從A2中劃去第3行，x5=0，得到A3

，優(yōu)超：行比較取大者留下，列比較取小者留下若α1不是為純策略α2，…,αm中之一所優(yōu)超，而是為α2，…,αm的某個(gè)凸線性組合所優(yōu)超，仍然可以化簡(jiǎn)。22求解混合策略問題的方法：均衡法、極值法、線性規(guī)劃法。1、極值法設(shè)局中人1選擇策略1和策略2的概率分別為x1和x2，局中人2選擇策略1和策略2的概率分別為y1和y2，概率均大于等于0。這樣局中人1的贏得就成為一個(gè)隨機(jī)變量，若設(shè)其期望值為v，則有：V=10x1y1-5x1y2-5x2y1+0x2y2=10x1y1-5x1y2-5x2y1x1+x2=1,y1+y2=123局中人1為了使此值達(dá)到最大，就調(diào)整x1和x2的值；而局中人2為了使此值達(dá)到最小，也要調(diào)整y1和y2的值。此時(shí)，上述問題變?yōu)闂l件極值問題，可用拉格朗日乘數(shù)法求解，令λ、μ為待定系數(shù)，將式W=10x1y1-5x1y2-5x2y1+λ(x1+x2-1)+μ(y1+y2-1)對(duì)x1、x2、y1、y2求偏導(dǎo)數(shù)，并讓它們等于0。24對(duì)x1求偏導(dǎo)得，10y1-5y2+λ=0對(duì)x2求偏導(dǎo)得，-5y1+λ=0對(duì)y1求偏導(dǎo)得，10x1-5x2+μ=0對(duì)y2求偏導(dǎo)得，-5x1+μ=0再與x1+x2=1,y1+y2=1二式一起聯(lián)立求解，得：x1=1/4,x2=3/4,y1=1/4,y2=3/4.λ=μ=5/4帶入v中解得局中人1的預(yù)期贏得。例：設(shè)

解:如果A有鞍點(diǎn)，則易求出各局中人的最優(yōu)純策略；如果沒有鞍點(diǎn)，則各局中人的最優(yōu)混合策略中的xi*,yj*均大于零。于是可求下列方程組：2×2對(duì)策的公式法262、均衡法首先分析是否存在鞍點(diǎn)，另外是否可以用優(yōu)超原理化簡(jiǎn)。純策略可以看成是混合策略的特殊情況。即某一個(gè)策略的概率為1，其他策略的概率為0。優(yōu)超原理化簡(jiǎn)，留下的策略概率取值大于0，刪去的策略概率取值為0。27發(fā)現(xiàn)不存在鞍點(diǎn)，也無(wú)法化簡(jiǎn)。說(shuō)明每個(gè)策略選取的概率均不為0。設(shè)局中人1的混合策略為(x1,x2,x3)，局中人2的混合策略為(y1,y2,y3)。這時(shí)的期望值為：V=E(x,y)=2x1y1+x1y2+2x2y2+3x2y3+x3y1+x3y2+2x3y3=(2y1+y2)x1+(2y2+3y3)x2+(y1+y2+2y3)x3=(2x1+x3)y1+(x1+2x2+x3)y2+(3x2+2x3)y328V=E(x,y)=2x1y1+x1y2+2x2y2+3x2y3+x3y1+x3y2+2x3y3=(2y1+y2)x1+(2y2+3y3)x2+(y1+y2+2y3)x3=(2x1+x3)y1+(x1+2x2+x3)y2+(3x2+2x3)y3試想，如果2y1+y2>2y2+3y3，對(duì)于局中人1來(lái)說(shuō)，為了使v值變大，他應(yīng)該增大x1，而讓x2變?yōu)?。即取策略2的概率為0。而前面的分析顯示，選擇每個(gè)策略的概率均不為0。故2y1+y2=2y2+3y3。同理，2y1+y2=2y2+3y3=y1+y2+2y3=M(設(shè)一變量)。將M帶入v中得，v=Mx1+Mx2+Mx3=M(x1+x2+x3)=M對(duì)于局中人2來(lái)說(shuō)，為了使v值變小，也得出2x1+x3=x1+2x2+x3=3x2+2x3=v。29可得到線性方程組：2y1+y2=v2y2+3y3=vy1+y2+2y3=vy1+y2+y3=12x1+x3=vx1+2x2+x3=v3x2+2x3=vx1+x2+x3=1八個(gè)方程，七個(gè)未知數(shù)。消元法求解。x1=1/2,x2=1/4,x3=1/4,y1=1/2,y2=1/4,y3=1/4,v=5/430【解】建立方程組求解得：x=(0.525，0.275，0.2),y=(0.2，0.05，0.75);VG=－0.45博弈不存在鞍點(diǎn)和優(yōu)超策略。31定理：在矩陣博弈G中，若S1={α1,α2,…αm}，S2={β1,β2,…βn}，局中人1的收益函數(shù)為A=(aij)m×n，則該定理使得其中一個(gè)集合Yn或Xm，從無(wú)限集到有限集，從而減少了求解難度。圖解法32圖解法3334【定理3】設(shè)（x*，y*）為矩陣對(duì)策G的一個(gè)納什均衡，V=VG，則(1)若xi*＞0，則

(2)若yi*

＞0，則

(3)若，則

(4)若,則例3536373839線性規(guī)劃法定理：在矩陣博弈G中，若S1={α1,α2,…αm}，S2={β1,β2,…βn}，局中人1的收益函數(shù)為A=(aij)m×n，則該定理使得其中一個(gè)集合Yn或Xm，從無(wú)限集到有限集，從而減少了求解難度。40根據(jù)定理，令V=maxu(x)若u(x)>0，令41令上述線性規(guī)劃模型化為：對(duì)上述線性規(guī)劃模型求得最優(yōu)解和最優(yōu)值。同理局中人2也可以列線性規(guī)劃模型求得最優(yōu)解和最優(yōu)值。42【例】利用線性規(guī)劃方法求解贏得矩陣為的矩陣對(duì)策的納什均衡．【解】此問題可化為兩個(gè)線性規(guī)劃問題：最終結(jié)果v=1/z=1/wXi=xi/zYi=yi/w43最優(yōu)解：X＝(0.1065，0.1448，0.0437),Y＝(0.1093，0.1038，0.0819)；w＝0.29508．利用變換得到x*=(0.36，0.49，0.15)，y*=(0.37，0.35，0.28)；v=3.3944作業(yè)利用優(yōu)超原理化簡(jiǎn)該對(duì)策問題求解對(duì)策雙方的混合策略及對(duì)策值45

求解混合策略的問題有圖解法、迭代法、線性方程法和線性規(guī)劃法等，我們這里只介紹線性規(guī)劃法，其他方法略。例：設(shè)甲使用策略1的概率為X1′，使用策略2的概率為X2′，并設(shè)在最壞的情況下，甲贏得的平均值為V（未知）。

59A=STEP1861)X1′+X2′=1X1′,X2′0

§3矩陣對(duì)策的混合策略462)無(wú)論乙取何策略，甲的平均贏得應(yīng)不少于V:對(duì)乙取1：5X1’+8X2’

V對(duì)乙取2：9X1’+6X2’

V注意V>0,因?yàn)锳各元素為正。STEP2

作變換：X1=X1’/V;X2=X2’/V得到上述關(guān)系式變?yōu)椋?/p>

X1+X2=1/V(V愈大愈好）待定

5X1+8X219X1+6X21X1,X20§3矩陣對(duì)策的混合策略47建立線性模型：

minX1+X2

s.t.5X1+8X21X1=1/21

9X1+6X21X2=2/21X1,X201/V=X1+X2=1/7

所以，V=7返回原問題：X1’=X1V=1/3

X2’=X2V=2/3于是甲的最優(yōu)混合策略為：以1/3的概率選1，以2/3的概率選2，最優(yōu)值V=7。§3矩陣對(duì)策的混合策略48

同樣可求乙的最優(yōu)混合策略：設(shè)乙使用策略1的概率為Y1′Y1′+Y2′=1設(shè)乙使用策略2的概率為Y2′Y1′,Y2′0

設(shè)在最壞的情況下，甲贏得的平均值為V。這也是乙損失的平均值，越小越好。作變換：Y1=Y1’/V，Y2=Y2’/V

建立線性模型：

maxY1+Y2

s.t.5Y1+9Y21Y1=1/14

8Y1+6Y21Y2=1/14Y1,Y201/V=Y1+Y2=1/7

所以，V=7§3矩陣對(duì)策的混合策略49返回原問題：Y1’=Y1V=1/2

Y2’=Y2V=1/2于是乙的最優(yōu)混合策略為：以?

的概率選1；以?

的概率選2，最優(yōu)值V=7。

當(dāng)贏得矩陣中有非正元素時(shí)，V0

的條件不一定成立，可以作下列變換：選一正數(shù)k，令矩陣中每一元素加上

k得到新的正矩陣A’，其對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)策G’={S1,S2,A’}與G={S1,S2,A}解相同，但VG=VG’–k?！?矩陣對(duì)策的混合策略50例：求解“齊王賽馬”問題。已知齊王的贏得矩陣A求得故不存在純策略問題下的解，可求其混合策略。A中有負(fù)元素，可以取k=2,在A的每個(gè)元素上加2得到A’如下：§3矩陣對(duì)策的混合策略51

建立對(duì)G′={S1，S2，A′}中求甲方最佳策略的線性規(guī)劃如下：

Minx1+x2+x3+x4+x5+x6

約束條件：

5x1+3x2+3x3+x4+3x5+3x6≥13x1+5x2+x3+3x4+3x5+3x6≥13x1+3x2+5x3+3x4+3x5+x6≥13x1+3x2+3x3+5x4+x5+3x6≥1x1+3x2+3x3+3x4+5x5+3x6≥13x1+x2+3x3+3x4+3x5+5x6≥1xi≥0,i=1,2,…,6

可解得解為：x1=x4=x5=0,x2=x3=x6=0.111,v′=3,x1′=x4′=x5′=0，x2′=x3′=x6′=1/3,即X′*=(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T，所以甲的最優(yōu)策略為作出策略2、3、6的概率都為0.333,而作出1、4、5

的概率為0，此時(shí)V′G=V′=3?！?矩陣對(duì)策的混合策略52

同樣可以建立對(duì)策G′={S1，S2，A′}中求乙方最佳策略的線性規(guī)劃如下：

Miny1+y2+y3+y4+y5+y6

約束條件：

5y1+3y2+3y3+3y4+y5+3y6≤13y1+5y2+3y3+3y4+3y5+y6≤13y1+y2+5y3+3y4+3y5+3y6≤1y1+3y2+3y3+5y4+3y5+3y6≤13y1+3y2+3y3+y4+5y5+3y6≤13y1+3y2+y3+3y4+3y5+5y6≤1yi≥0,i=1,2,…,6

可解得解為：

y1=y4=y5=0.111,y2=y3=y6=0,v′=3,y1′=y4′=y5′=1/3，

y2′=y3′=y6′=0，即Y′*=(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T。所以田忌的最優(yōu)混合策略為作出策略1、4、5的概率都為1/3,而作出2，3，6的概率為0，此時(shí)VG=VG′-k=1?！?矩陣對(duì)策的混合策略53

齊王賽馬問題的對(duì)策最優(yōu)解可簡(jiǎn)記為X*=(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T，Y*=(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T，對(duì)策值VG=1。例兩個(gè)局中人進(jìn)行對(duì)策，規(guī)則是兩人互相獨(dú)立的各自從1、2、3這三個(gè)數(shù)字中任意選寫一個(gè)數(shù)字。如果兩人所寫的數(shù)字之和為偶數(shù)，則局中人乙支付給局中人甲以數(shù)量為此和數(shù)的報(bào)酬；如果兩人所寫數(shù)字之和為奇數(shù)，則局中人甲付給局中人乙以數(shù)量為此和數(shù)的報(bào)酬。試求出其最優(yōu)策略。解：首先計(jì)算局中人甲的贏得矩陣如下表：4-56-34-52-341（出1）2（出2）3（出3）3（出3）2（出2）1（出1）甲的贏得甲的策略§3矩陣對(duì)策的混合策略乙的策略54即甲的贏得矩陣為A：

可知無(wú)純策略意義的解，下面求其在混合策略下的解。A的各元素都加上6，得到建立線性規(guī)劃模型如下：

Minx1+x2+x3Maxy1+y2+y31+3x2+10x3≥18y1+3y2+10y3≤13x1+10x2+x3≥13y1+10y2+y3≤110x1+x2+12x3≥110y1+y2+12y3≤1x1,x2,x3≥0y1,y2,y3≥0

§3矩陣對(duì)策的混合策略55得到x1′=0.25,x2′=0.50,x3′=0.25；y1′=0.25,y2′=0.50,y3′=0.25。即此對(duì)策的解為X*=(0.25,0.50,0.25)T，Y*=(0.25,0.50,0.25)T。VG=VG′-k=0?！?矩陣對(duì)策的混合策略56例4

甲乙兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，甲企業(yè)可以采取的策略措施有:(1)降低產(chǎn)品價(jià)格；(2)提高產(chǎn)品質(zhì)量；(3)推出新產(chǎn)品。乙企業(yè)考慮采取的策略措施有(1)增加廣告費(fèi)用；(2)增設(shè)維修網(wǎng)點(diǎn)，加強(qiáng)售后服務(wù)；(3)改進(jìn)產(chǎn)品性能。由于甲乙兩個(gè)企業(yè)財(cái)力有限，都只能采取一個(gè)措施。假定這兩個(gè)企業(yè)所占有的市場(chǎng)總份額一定，由于各自采取的措施不同，通過預(yù)測(cè)今后兩個(gè)企業(yè)的市場(chǎng)占有份額變動(dòng)情況如下表，試求出這兩個(gè)企業(yè)各自的最優(yōu)策略。3-58-6510108-121（措施1）2（措施2）3（措施3）3（措施3）2（措施2）1（措施1）§3矩陣對(duì)策的混合策略甲的贏得甲的策略乙的策略57解：易知此對(duì)策無(wú)純策略意義下的解。把A的每一個(gè)元素加上12，得到A′建立線性規(guī)劃模型如下：

Minx1+x2+x3Maxy1+y2+y31+20x2≥122y1+6y2+15y3≤16x1+17x2+22x3≥120y1+17y2+7y3≤115x1+7x2+20x3≥122y2+20y3≤1x1,x2,x3≥0y1,y2,y3≥0得到：x1=0.027,x2=0.020,x3=0.023；y1=0.0225,y2=0.0225,y3=0.025。V=14.29。x1′=0.3858,x2′=0.2858,x3′=0.3286；y1′=0.3215,y2′=0.3215,y3′=0.3572。即此對(duì)策的解為X*=(0.3858,0.2858,0.3286)T,Y*=(0.3215,0.3215,0.3572)T。VG=VG′-k=2.29?！?矩陣對(duì)策的混合策略58優(yōu)超原則：假設(shè)矩陣對(duì)策G={S1,S2,A}

甲方贏得矩陣A=[aij]mn若存在兩行（列），s行（列）的各元素均優(yōu)于t行（列）的元素，即asjatjj=1,2…n(ais

aiti=1,2…m)稱甲方策略s優(yōu)超于t(s優(yōu)超于t)。優(yōu)超原則：當(dāng)局中人甲方的策略t被其它策略所優(yōu)超時(shí)，可在其贏得矩陣A中劃去第t行（同理，當(dāng)局中人乙方的策略t被其它策略所優(yōu)超時(shí)，可在矩陣A中劃去第t列）。如此得到階數(shù)較小的贏得矩陣A’，其對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)策G’={S1,S2,A’}與G={S1,S2,A}等價(jià)，即解相同?！?矩陣對(duì)策的混合策略59例.設(shè)甲方的益損值，贏得矩陣為

32030被第3、4行所優(yōu)超

50259被第3行所優(yōu)超A=7395946875.560883得到

73959被第1列所優(yōu)超A1=46875.5被第2列所優(yōu)超

60883§3矩陣對(duì)策的混合策略60得到

739A2=465.5603被第1行所優(yōu)超得到

739被第1列所優(yōu)超

A3=465.573最終得到

A4=46§3矩陣對(duì)策的混合策略61對(duì)A4計(jì)算，用線性規(guī)劃方法得到：（注意：余下的策略為3，4，1，2）甲：X*=(0，0，1/15，2/15，0)TV=5X*’=(0，0，1/3，2/3，0)T

乙：Y*=(1/10，1/10，0，0，0)TV=5Y*’=(1/2，1/2，0，0，0)T

。

注：利用優(yōu)超原則化簡(jiǎn)贏得矩陣時(shí)，有可能將原對(duì)策問題的解也劃去一些（多解情況）；線性規(guī)劃求解時(shí)有可能是多解問題?！?矩陣對(duì)策的混合策略62

§4其他類型的對(duì)