回到數(shù)學本身-讓兒童在思考中學習(下)回到數(shù)學本身:讓兒童在思考中學習(下)

〔接2022年第4期〕

2.整體建構(gòu)思維過程，生長兒童的數(shù)學思考

以教學?用字母表示數(shù)》為例，課始，教師通過招領(lǐng)啟事引出“字母可以表示數(shù)〞，接著順次引導學生展開對“所有的字母都可以表示數(shù)、字母可以表示已知的數(shù)、字母可以表示未知的數(shù)、含有字母的式子可以表示數(shù)、含有字母的式子還可以表示數(shù)量關(guān)系〞的探索。從具體的數(shù)，到用字母表示數(shù)，再到含有字母的代數(shù)式，是學生思維從一個個具體的點向知識的面會聚的過程，也是學生思維從具象向抽象生長的過程。

〔1〕前孕伏，將抽象的問題具體化

課前環(huán)節(jié)，教師和學生一起玩撲克24點游戲〔A、2、3、4；4、8、10、Q〕，問學生：你們是怎么算出來的？引入環(huán)節(jié)，出示失物招領(lǐng)啟事，啟發(fā)學生思考“A〞表示什么、為什么用“A〞表示等問題。

招領(lǐng)啟事

本人今天在公園拱橋處撿到一個黑色提包，內(nèi)有現(xiàn)金A元，請失主到景區(qū)派出所認領(lǐng)。

張先生

2022.8.16

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計意圖是讓兒童知曉生活中用字母表示數(shù)的實踐應(yīng)用，并在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義，體會用字母表示數(shù)的必要性。

〔2〕中建構(gòu)，將零碎的問題系統(tǒng)化

建構(gòu)一：圍繞A可以表示喪失的金額，教師拋出問題：“A可以表示喪失的金額，B、C、Y等可不可以？〞在討論中，學生得出“所有的字母都可表示數(shù)〞的結(jié)論。

建構(gòu)二：圍《@喪失的金額，教師又拋出問題：“這里的A表示的金額，真的沒有人知道嗎？誰知道？誰不知道？〞通過討論，學生得出“字母可以表示未知數(shù)，也可以表示已知的數(shù)〞的結(jié)論。

建構(gòu)三：出示探究題：無錫到南昌鐵路全長769千米，一列火車從無錫開往南昌，你能用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數(shù)嗎？

已經(jīng)行駛了60千米，剩下的千米數(shù)是769-60；

已經(jīng)行駛了150千米，剩下的千米數(shù)是769-〔〕；

已經(jīng)行駛了b千米，剩下的千米數(shù)是〔〕。

在學生說出“剩下的千米數(shù)是769-b〞時，引導學生歸納出“不僅是字母可以表示數(shù)，含有字母的式子也可以表示數(shù)〞的結(jié)論。其中，教師還設(shè)計了“769-b式子中b的取值范圍〞的討論，蘊含了函數(shù)定義域思想的滲透，學生對“符號化〞的理解在深入探究中走向主動建構(gòu)。

〔3〕后拓展，進一步將“用字母表示數(shù)〞深度數(shù)學化

教師先出示果汁分倒的情境圖，如圖所示。

一含有字母的等式即是描述客觀現(xiàn)象相等關(guān)系的數(shù)學模型，亦即方程。此環(huán)節(jié)的設(shè)計既是教學用字母表示數(shù)的深化，也是加深列方程解答實際問題的本初體驗，是下一階段教學列方程解決實際問題的鋪墊。

這一課的教學，教師沒有糾結(jié)于用字母表示數(shù)辦法上的學習，更多的是轉(zhuǎn)向?qū)τ米帜副硎緮?shù)關(guān)系的探討。教學中著力于使學生充沛感受到符號及符號化的便利，并及早孕伏代數(shù)的思想辦法，意在消弭中小學數(shù)學教學之間的裂隙，加強小學初中兩個學段之間數(shù)學教學的銜接。在“字母可以表示數(shù)、所有的字母都可以表示數(shù)、字母可以表示已知的數(shù)、字母也可以表示未知的數(shù)、含有字母的式子可以表示數(shù)、含有字母的式子還可以表示數(shù)量關(guān)系〞一系列點狀問題的探討中，學生的思維經(jīng)歷了從具體的數(shù)到用字母表示數(shù)、再到含有字母的代數(shù)式的數(shù)學化過程，正是在一次次這樣的經(jīng)歷中，兒童的數(shù)學思考由點到面不斷生長，思維能力不斷提高。

3.呈現(xiàn)問題思辨經(jīng)歷，深化兒童的數(shù)學思考

柏拉圖說：“我們應(yīng)該辨別兩種不同的存在――經(jīng)驗的存在和理性的存在。經(jīng)驗的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的。〞可在我們的小學數(shù)學教學中，常常見到經(jīng)驗對理性的干擾和遮蔽現(xiàn)象。以?三角形穩(wěn)定性》的教學為例，教材上對三角形穩(wěn)定性的定義，是指三角形在外力的作用下，三角形具有形狀和大小都不易變化的性質(zhì)，即保持相對穩(wěn)定的原有狀態(tài)。但在筆者所聽的30余節(jié)?三角形穩(wěn)定性》課堂教學中，教師們無一例外地以“看能否拉得動〞的經(jīng)驗來引領(lǐng)學生對三角形穩(wěn)定性的理解和認知，這種不足對數(shù)學知識本質(zhì)探索的教學假象不斷弱化著兒童數(shù)學思考的深刻性和理性。

事實上，如果我們用同樣的木質(zhì)材料分別制作一個三角形和一個四邊形器具，其相鄰兩邊相交處是可動的。先來引導學生拉扯三角形學具，學生容易從中得到三角形穩(wěn)定性的理解。接著讓學生去拉四邊形學具，學生們由“四邊形可以拉動〞得出“四邊形不具有穩(wěn)定性〞的認知理解。一般來講，課至此處，已近目標。但就對知識的理性思考來講，尚遠遠不夠。在教學中，我又帶著學生進行了深入的探究。

在學生們操作感知兩邊相交點可以動的三角形和四邊形學具后，我又出示了用鐵質(zhì)材料焊接兩邊相交處不可以動的四邊形學具，再讓學生們動手拉。

師：這個四邊形拉得動？

生：拉不動。

師：拉不動，難道四邊形也具有穩(wěn)定性？

生：〔疑惑不解〕為什么有的拉得動，有的拉不動呢？

師：看來拉得動和拉不動并不是判斷某種圖形是否具有穩(wěn)定性的根據(jù)。學生們，我們換一種方式去探討“三角形穩(wěn)定性〞好嗎？

生：什么辦法？師：請你先用老師給你的學具小棒擺一個三角形和一個四邊形，然后再用同樣的小棒擺一擺，最后我們看一看、比一比，同樣的小棒能不能擺出不同形狀的三角形和四邊形？

在三輪操作中，學生們對“三角形穩(wěn)定性〞的認識由淺入深。此中，他們不斷清除三角形穩(wěn)定性的非本質(zhì)認識，漸趨接近對三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)理解。在無疑處生疑，在疑生處探疑。通過操作、比擬、交流，學生們終于明白三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)指的是形狀和大小的唯一。三輪操作，學生們經(jīng)歷了對規(guī)律的初步認知、對規(guī)律的疑心、對規(guī)律本質(zhì)的再認識三個階段，此中的認知沖突、操作體驗，不斷促進兒童數(shù)學思考走向深刻與理性。作為教師，我們需要走出自我營設(shè)的經(jīng)驗世界，及時發(fā)現(xiàn)原有經(jīng)驗對兒童數(shù)學思考的干擾與束縛，由淺入深，突破表層，引領(lǐng)兒童發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，把兒童帶入深刻而又理性思考的數(shù)學完美世界中。

4.養(yǎng)成思疑證惑習慣，優(yōu)化兒童的數(shù)學思考

德國哲學家伽達默爾曾說過，視界是理解的起點、角度和可能的前景。兒童的數(shù)學視界亦是如此，它總是在不斷的變化與形成過程中與周遭發(fā)生著聯(lián)系與交融。實踐告訴我們，兒童數(shù)學學習的過程一頭連著個體內(nèi)在已有的數(shù)學現(xiàn)實，一頭連著兒童外在的可能觸摸到的視界。在兒童數(shù)學學習過程中，如果兒童處于憑借自己思考不能解決遭遇的問題時，我們就需要引領(lǐng)兒童在動手實踐中去“做數(shù)學〞，從而實現(xiàn)動手實踐與數(shù)學思考共生的“視界融合〞。

人教版數(shù)學五年級下冊第37頁，有這樣一道題目：“茶廠工人要將長、寬各為20cm，高為10cm的長方體茶盒裝入棱長為30cm的正方體紙箱，最多能裝幾盒？怎樣才能裝下？〞

在實際教學中，學生從已有的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，遭遇了問題解決的困境。

師：學生們，這道題我們怎么去解答呢？

生1：先算出大《箱的體積，再算出茶盒的體積，兩者相除。列式為30×30×30÷〔20×20×10〕=6……3000，所以說大約能裝6盒。

生2：我也是這樣想的，但我想不出來怎么把6個茶盒放進去。也許6盒是放不進去的。

生3：只能放5個茶盒。我是用畫圖的辦法，6盒放不下。

師：同學們的意見不相同嗎？用計算的辦法可以知道放6盒還有殘余的空間，但是有的同學用畫圖的辦法，好似又放不進去。究竟能放幾個茶盒？有人說放5個茶盒，可大紙箱27000立方厘米，5個茶盒共20000立方厘米，余下7000立方厘米，難道真的放不下一個4000立方厘米的茶盒了嗎？

眾生：爭執(zhí)不休。

可以說，此時的學生正在自己已有的數(shù)學現(xiàn)實里思考，即便是對通過計算得出的答案也開始了疑心。當空間想象式的思考不能解決面臨的問題時，我們需要把學生的思維引入另外一個視界，即實踐視界。

師：學生們，對于這道題，大家的意見不能統(tǒng)一，那我們就去動手研究。今天回家的作業(yè)就是每人做一個與題目中相同尺寸的紙箱和茶盒，然后親手擺一擺，看一看能放幾個這樣的茶盒。

第二天的數(shù)學課上，教師讓學生們交流大家的發(fā)現(xiàn)。學生們通過實踐操作，得到了“紙箱最多可放6個茶盒〞的結(jié)論。如圖：

[10][10][20][10][20][10][20][20][10][20][20][20][10][20][10][10][①][⑥][④][③][②][空][空]

當兒童的數(shù)學思考遭遇