2023屆高三數學圓錐曲線高考大題的類型與解法

圓錐曲線問題是近幾年高考的熱點問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數學高考試卷，都必有一個

圓錐曲線問題的12分大題。從題型上看是20（或21）題的12分大題，難度為中，高檔題型，一般的考生

都只能拿到4到10分?？v觀近幾年高考試卷，歸結起來圓錐曲線大題問題主要包括：①已知過定點的直線

與圓錐曲線相交于不同兩點，求直線方程（或直線的斜率）；②已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩

點，求多邊形的面積（或多邊形面積的最值）；③已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求某個式

子的值（或取值范圍）和證明某個式子的值為定值；④已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求

點的坐標（或點的軌跡方程）；⑤已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，證明直線過定點（或點在

定直線上）等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實

際解答圓錐曲線大題問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地予以解答呢？下面通過典

型例題的詳細解析來回答這個問題。

【典例1］解答下列問題：

1、設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F,點D（p,0）,過點F的直線交C于M,N兩點，當直線MD

垂直于X軸時，|MF|=3。

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線AB,MN的傾斜角分別為a,/7,當a-4

取得最大值時，求直線AB的方程（2022全國高考甲卷）

22

2、已知橢圓C：=+二=1（a>b>0）的四個頂點圍成的四邊形的面積為2石，右焦點居到直線x-y+2=0

ab

的距離為2后（2021成都市高三三診）。

（1）求橢圓C的方程；

（2）（理）過點M（-3.0）的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，過點工作直線1的垂線，垂足為N（點

A,B在點M,N之間），若與AB^N面積相等，求直線1的方程。

（文）過點M（-3,0）的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，過點工作直線1的垂線，垂足為N（點A,

B在點M,N之間），若MA|=|BN|,求直線1的方程。

3、在平面直角坐標系XOY中，已知點耳（-加，0）,￡（J萬，0）,點M滿足|M耳HM工|=2,

記M的軌跡為C。

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=；上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，且|TA|.|TB|

=|TP|.|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和（2021全國高考新高考I卷）。

4、拋物線C的頂點為坐標原點O,焦點在X軸上，直線1：x=l交C于P,Q兩點，且OPLOQ,已知點

M（2,0）,OM與1相切。

（1）求C,0M的方程；

⑵設4，A2,A3是C上的三個點，直線4A2，AA3均與。M相切，判斷&4與。M的位置關系，

并說明理由(2021全國高考甲卷)。

22

5、(理)已知橢圓C：5+==1(a>b>0)的右頂點為A,上頂點為B(0,1),右焦點為F,連接BF

ab~

并延長與橢圓C相交于點C,且|CF|=y|BF|o

(1)求橢圓C的方程；

(2)設經過點(1,0)的直線1與橢圓C相交于不同的兩點M,N,直線AM,AN分別與直線x=3相交

于點P,點Q,若AAPQ的面積是AAMN的面積的2倍。求直線1的方程。

(文)已知橢圓C：\+==1(a>b>0)的離心率為無，且經過點(血,當。

a-b-22

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在經過點(0,2)的直線與橢圓C相交于不同的兩點M,N,使得M,N與Y軸上的一點P

連線后組成以P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出直線1的方程；若不存在，請說明理由(2019

成都市高三零診)

6、(理)已知長度為4的線段AB的兩個端點A,B分別在X軸和Y軸上運動，動點P滿足萬戶=3而，

記動點P的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程；

(2)設不經過點H(0,1)的直線y=2x+t,與曲線C相交于兩點M,N,若直線HM與HN的斜率之和為

1,求實數t的值。

(文)已知點A(m,0)和B(0,n),且療+*二⑹動點P滿足麗=3而，記動點P的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程；

(2)設不經過點H(0,I)的直線y=2x+t,與曲線C相交于兩點M,N,若直線HM與HN的斜率之和為

1,求實數t的值(2019成都市高三一診)

7、已知橢圓C：=+占=1(a>b>0)的短軸長為4啦，離心率為!。

a2b23

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)(理)設橢圓C的左右焦點分別為「，F2,左右頂點分別為A,B,點M,N為橢圓

C設位于X軸上方的兩點，且KM〃工N,記直線AM,BN的斜率分別為a,k2,若3K

+2^=0,求直線GM/的方程。(文)設橢圓C的左右焦點分別為耳，F2,左右頂點分別為A,B,點M,

N為橢圓C設位于X軸上方的兩點，且KM//鳥N,直線耳M的斜率為2V6，記直線AM,BN的斜率

分別為&2，求3k?+2&2的值(2019成都市高三二診)

『思考問題U

(1)【典例1】中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，②所求問題是直線

的方程或直線斜率的值(或取值范圍)；

(2)解答這類問題的基本思路是：①設出兩點的坐標和直線的斜率k(注意考慮斜率不存在的情況，為了

避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方程為：x=my+n,meR),然后運

用點斜式，寫出直線的方程；②聯立直線方程與曲線方程，消去一個未知數化為關于x(或y)的一元二次

方程；③運用韋達定理得到兩根的和與積關于參數k(或m)的式子，并根據直線方程求出問題中需要的其

他量關于參數k(或m)的式子；④結合問題條件得到關于參數k(或m)的方程(或不等式)(注意相交

于不同兩點的條件)；⑤求解方程(或不等式)求出參數k(或m)的值；⑥得出問題的結果。

【典例2]解答下列問題:

2

X~y

1、已知橢圓E：~+=1(a>b>0)的右焦點為鳥，上頂點為H,0為坐標原點,NOHK=30,點（1,

3

-)在橢圓,E上。

(1)求橢圓E的方程；

(2)設經過點弱且斜率不為0的直線1與橢圓E相交于A,B兩點，點P(-2,0),Q(2,0),若M,N

s

分別為直線AP,BQ與Y軸的交點，AMPQ,ANPQ的面積分別為S^PQ,求渣也的值(成都市2020

、ANPQ

級高三零診)

22

2、已知點A(2,1)在雙曲線C：二-二一=1(a>l)上，直線1交C于P,Q兩點，直線AP,AQ的斜

a~a

率之和為0o

(1)求直線1的斜率；

(2)若tan/PAQ=2后，求APAQ的面積(2022全國高考新高考I卷)

3、(理)已知橢圓C：(a>b>0)的左，右焦點分別為耳，鳥，點P在橢圓C上，呷=3,

711

且橢圓C的離心率為5。

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線1：y=kx+m(m#0)與橢圓C相交于A,B兩點，0為坐標原點，求AOAB面積的最大值。

22

(文)已知橢圓C：=+[=1(a>b>0)的左,右焦點分別為￡,居，點P在橢圓C上,|P昂=2,N耳PF,=￡,

ab3

且橢圓c的離心率為1(成都市2019級高三零診)

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設過點M(3.0)直線I與桶圓C相交于A,B兩點，求AABF2面積的最大值。

4、(理)已知橢圓C：二2+《2=1(a>b>0)經過點(百，|!)，其右頂點為A(2,0)。

a2b22

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點P,Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為求AAPQ面積的最大值。

v2-1

(文)已知橢圓C：—+4^=1(a>b>0)經過點(J3,-),其右頂點為A(2,0)o

a~b~2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點P,Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為(，證明直線PQ經過定點，并求AAPQ

面積的最大值(成都市2019級高三二診)

5、(理)已知拋物線C：f=2py(p>o)的焦點為F,且F與圓M：f+(>+4)2=1上點的距離的最小值為

4(2021全國高考乙卷)。

(1)求P；

(2)若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求APAB面積的最大值。

(文)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F到準線的距離為2。

(1)求C的方程；

(2)已知。為坐標原點，點P在C上，點Q滿足PQ=90R,求直線OQ斜率的最大值。

6、已知橢圓C：5+占=1(a>b>0)經過點A(1,￡),其長半軸長為2。

a'h22

(1)求橢圓C的方程；

(2)(理)設經過點B(-1,0)的直線I與橢圓C相交于D,E兩點，點E關于X軸的對稱點為F,直線

DF與X軸相交于點G,求ADEG的面積S的取值范圍。(文)設經過點B(-1,0)的直線I與橢圓C相交

于D,E兩點，點E關于X軸的對稱點為F,直線DF與X軸相交于點G,記ABEG與ABDG的面積分別

為S2,求|I的最大值(2021成都市高三二診)。

22

7、已知橢圓C：,卓=1(a>b>0)的左，右焦點分別為"(-后0),F2(百，0),

且經過點A(百，；)(2020成都市高三零診)。

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)(理)過點B(4,0)作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點，記點P

關于X軸對稱的點為尸，若直線P'Q與X軸相較于點D,求ADPQ面積的最大值。

(文)過點B(4,0)作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點，記點P關于X軸對稱的點

為產，證明直線P'Q經過X軸上一定點D,并求出定點D的坐標。

A,B分別為C的左，右頂點。

(1)求C的方程；

(2)若點P在C上，點Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|,BP1BQ,求AAPQ的面積(2020全國高考新課

標in)0

X人2y2過點點為其左頂點，且的斜率為;(全國

9、已知橢圓C：/+6=1(a>b>0)M(2,3),AAM2020

高考新高考H)。

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)N為橢圓上任意一點，求AAMN面積的最大值。

「思考問題2J

(1)【典例2】中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，②所求問題是多邊

形面積的值(或取值范圍或最值)；

(2)解答這類問題的基本思路是：：①設出兩點的坐標和直線的斜率k(注意考慮斜率不存在的情況，為了

避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方程為：x=my+n,meR),運用點

斜式，寫出直線的方程；②聯立直線方程與曲線方程消去一個未知數化為關于x(或y)的一元二次方程；

③運用韋達定理得到兩根的和與積關于參數k(或m)的式子，并根據直線方程求出問題中需要的其他量關

于參數k(或m)的式子；④運用多邊形面積的相關知識把多邊形的面積表示成關于參數的函數；⑤求出關

于參數的函數值(或值域或最值)；⑥得出問題的結果。

【典例3］解答下列問題：

22

1、設雙曲線C：0-2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(2,0),漸近線方程為y=±百x。

a~b'

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別相交于A,B兩點，點P(芭，弘)，Q(%,%)，在C上，且演>%>0，

>>,>0,過點P且斜率為的直線與過點Q且斜率為也的直線相交于點M,請從下面①②③中選取兩個

作為條件，證明另一個條件成立。①M在AB上；②PQ//AB,③|MA|=|MB|。注：若選擇不同的組合分別解

答，則按第一個解答計分(2022全國高考新高考H卷)

2、已知拋物線C：V=2px(p>0,p^4),過點A(2,0)且斜率為k的直線與拋物線C相交于P,Q兩

o

(1)設點B在x軸上，分別記直線PB,QB的斜率為占，k2,若勺+&=0,求點B的坐標；

IMNI

(2)過拋物線C的焦點F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M,N兩點，求，、，二的值(成都

\AP\.\AQ\

市2019級高三一診)

22

3、(理)已知橢圓E：=+==1(a>b>0)的左，右焦點分別為片(10),F2(1,0),點P在橢圓

ab~

E上,PF21FtF2,且|P昂=3|Pg

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設直線1：x=my+l(mwR)與橢圓E相較于A,B兩點，與圓/+)，?=〃相較于c,D兩點，求|AB|.|CD「

的取值范圍。

(文)已知橢圓E：1+與=1(a>b>0)的左，右焦點分別為巴(-1,0),F2(I,0),點P(1,—)

a~b~2

在橢圓E上。

(1)求桶圓E的標準方程；

(2)設直線1：*=01丫+1(01€陽與橢圓￡相較于人，B兩點，與圓了2+)，2=〃相較于c,D兩點，當|AB|.|CD『

的值為8貶時，求直線I的方程(2020成都市高三二診)。

4、已知橢圓C：=+「=1(a>b>0)的左焦點為6(-60),點Q(1,—)在橢圓C上(2020

a2b~2

成都市高三三診)O

(1)求橢圓c的標準方程;

(2)經過圓O：?+/=5上一動點P作橢圓C的兩條切線，切點分別記為A,B,直線PA,PB分別與圓

O相較于異于點P的M,N兩點。

(理)①求證：OM+ON=0；②求AOAB的面積的取值范圍。(文)①當直線PA,PB的斜率都存在時,

記直線PA,PB斜率分別為勺，klt求證：k-k,=-l；②求;^竺的取值范圍。

|MN|

5、已知橢圓C：,+京口（a>b>0）的離心率為孝，且過點A（2,l）o

（1）求桶圓C的標準方程；

（2）點M,N在C上，且AMIAN,AD1MN,D為垂足，證明：存在定點Q使得|DQ|為定值（2020

全國高考新高考I）。

『思考問題3J

（1）【典例3】中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，②所求問題是某一

式子的值（或取值范圍或最值）或證明某一式子為定值；

（2）解答這類問題的基本方法是：：①設出兩點的坐標和直線的斜率k（注意考慮斜率不存在的情況，為了

避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方程為：x=my+n,meR）,運用點

斜式，寫出直線的方程；②聯立直線方程與曲線方程消去一個未知數得到關于x（或y）的一元二次方程；

③運用韋達定理得到兩根的和與積關于參數k（或m）的式子，并根據直線方程求出問題中需要的其他量關

于參數k（或m）的式子；④運用相關知識把問題中的式子表示成關于參數的函數；⑤求出關于參數的函數

的值（或值域或最值）或證明該式子的值與參數無關（為定值）；⑥得出問題的結果。

【典例4］解答下列問題：

1、在同一平面直角坐標系XOY中，圓f+y2=4經過伸縮變換°：f/=x,后得到曲線

（1）求曲線C的方程；

（2）（理）設直線I與曲線C相較于A,B兩點，連接BO并延長與曲線C相較于點D,且

|AD|=2,求△ABD面積的最大值；（文）設曲線C與X軸和Y軸的正半軸分別相交于A,B兩點，P是曲

線C位于第二象限上的一點,且直線PA與Y軸相交于點M,直線PB與X軸相交于點N,求△ABM與△BMN

的面積之和（2021成都市高三零診）。

2、已知橢圓C：—v+（a>b>0）的離心率為且直線二+；=1與圓X?+y?=2相切。

2ab

（1）求橢圓C的方程；

（2）（理）設直線1與橢圓C相交于不同的兩點A,B,M為線段AB的中點，O為坐標原點，射線OM與

S

橢圓C相交于點P,且O點在以AB為直徑的圓上，記AAOM,ABOP的面積分別為S1,S2,求”的取

值范圍。（文）設直線1與橢圓C相交于不同的兩點A,B,

M為線段AB的中點，O為坐標原點，射線OM與橢圓C相交于點P,且|OP|=V15|OM|,

求△ABO的面積（2021成都市高三一診）

x2y2

3、已知橢圓C：(a>b>0)的左，右焦點分別為耳(-V3,0),F2(百，0),且經過點A

(百，1)(2020成都市高三零診)。

2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)(理)過點B(4,0)作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點，及點P關于X軸對稱

的點為若直線P'Q與X軸相較于點D,求ADPQ面積的最大值。(文)過點B(4,0)作一條斜率不

為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點，記點P關于X軸對稱的點為P,證明直線P'Q經過X軸上一定

點D,并求出定點D的坐標。

4、已知橢圓=+二=1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C,的焦點重合，G的中心與C,的頂點重合,

a-b

過F且與X軸垂直的直線交C于A,B兩點，交G于C,D兩點，且|CD|

4

=-|AB|(2020全國高考新課標II)。

3

(1)求G的離心率；

(2)(理)設M是G與G的公共點，若|MF|=5,求G與G的標準方程。(文)若G的四個頂點到的

準線距離之和為12,求G與的標準方程。

5、(理)已知拋物線C：y2=2px過點P(1,1),過點(0,1)的直線1與拋物線C交于不同的兩點M,

N,過點M作X軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點。

(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

(2)求證：A為線段BM的中點。

(文)已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在X軸上，離心率為

(1)求橢圓C的方程；

(2)點D為X軸上一點，過D作X軸的垂線交橢圓C于不同兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點

E,求證：ABDE與ABDN的面積之比為4：5(2017全國高考北京卷)

「思考問題4J

（1）【典例4】中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，②所求問題是某點

的坐標（或點的軌跡方程）；

（2）解答這類問題的基本方法是：①設出兩點的坐標和直線的斜率k（注意考慮斜率不存在的情況，為了

避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方程為：x=my+n,meR）,運用點

斜式，寫出直線的方程；②聯立直線方程與曲線方程得到方程組，消去一個未知數化為關于x（或y）的一

元二次方程；③運用韋達定理得到兩根的和與積關于參數k（或m）的式子，并根據直線方程求出問題中需

要的其他量關于參數k（或m）的式子；④運用相關知識結合問題的條件把點的坐標表示成關于參數k（或

m）的式子；⑤求出參數的值得到點的坐標（或消去參數得到點的軌跡方程）；⑥得出問題的結果。

【典例5］解答下列問題：

3

1、已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為X軸，Y軸，且過點A（0,-2）,B（萬，-1）兩點。

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過點P（1,-2）的直線交E于M,N兩點，過M且平行于X軸的直線與線段AB交于點T,點H

滿足而話，證明直線HN過定點（2022全國高考乙卷）

y21

2、已知橢圓C：^+―=1（a>b>0）的離心率為二，且經過點（J6,2）,橢圓C的右頂點到拋物線E：

a2b12

/=2px（p>0）的準線的距離為4。

（1）求橢圓C和拋物線E的方程；

（2）設與兩坐標軸都不垂直的直線1與拋物線E相交于A,B兩點，與橢圓C相交于M,N兩點，。為坐

標原點，若況.而=-4,則在x軸上是否存在點H,使得x軸平分NMHN,若存在，求出點H的坐標；

若不存在，請說明理由（成都市2019級高三三珍）

3、已知橢圓C的方程為］+，=1（a>b>0）,右焦點為F（V2,0）,且離心率為全。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線/+y2=〃相切，證明乂，N,F三點共線的充分必要

條件是|MN|=（2021全國高考新高考II卷）。

2

4、（理）已知橢圓C：土+>2=1的右焦點為F,過點F的直線（不與X軸重合）與橢圓C相交于A,B

2

兩點，直線1：x=2與X軸相較于點H,過點A作ADL1,垂足為D。

（1）求四邊形OAHB（O為坐標原點）面積的取值范圍；

（2）證明：直線BD過定點E,并求出點E的坐標。

2

（文）已知橢圓C：L+>2=1的右焦點為F,過點F的直線（不與X軸重合）與橢圓C相交于A,B兩

2

點，直線1：x=2與X軸相較于點H,E為線段FH的中點，直線BE與直線1的交點為D。

（1）求四邊形OAHB（O為坐標原點）面積的取值范圍；

（2）證明：直線AD與X軸平行（2020成都市高三一診）。

5、已知A,B分別為橢圓E：二+V=1（a>l）的左，右頂點，G為E上頂點，AG.GB=S,P為直線x=6

a

上的動點，PA與E的另一個交點為C,PB與E的另一個交點為D。

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點（2020全國高考新課標I）。

6、（理）已知拋物線C：f=2py經過點（2,-1）。

（1）求拋物線C的方程及其準線方程；

（2）設0為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線1交拋物線C于兩點M,N,直線y=-l分別交

直線OM,ON于點A和點B,求證：以AB為直徑的圓經過Y軸上的兩個定點。

22

（文）已知橢圓C：=+[=1（a>b>0）的右焦點為（1,0）,且經過點A（0,l）o

a~b

（1）求橢圓C的方程；

（2）設O為原點，直線1：y=kx+t（2±1）與橢圓C相較于不同兩點P,Q,直線AP與x軸相較于點M,

直線AQ與x軸相較于點N,若|OM|.|ON|=2,求證：直線I經過定點（2019全國高考北京）

『思考問題5J

（1）【典例5】中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，②所求問題是直線

過定點（或點在定直線上）；

（2）解答這類問題的基本方法是：：①設出兩點的坐標和直線的斜率k（注意考慮斜率不存在的情況，為了

避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方程為：x=my+n,meR）,運用點

斜式，寫出直線的方程；②聯立直線方程與曲線方程消去一個未知數化為關于x（或y）的一元二次方程；

③運用韋達定理得到兩根的和與積關于參數k（或m）的式子，并根據直線方程求出問題中需要的其他量關

于參數k（或m）的式子；④運用相關知識結合問題的條件把直線方程（或某點的坐標）表示成關于參數k

（或m）的式子；⑤確定直線存在與參數k（或m）無關的點（定點）（或把某點的坐標代入給定的直線方

程驗證）；⑥得出問題的結果。

圓錐曲線高考大題的類型與解法

圓錐曲線問題是近幾年高考的熱點問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數學高考試卷，都必有一個

圓錐曲線問題的12分大題。從題型上看是20（或21）題的12分大題，難度為中，高檔題型，一般的考生

都只能拿到4到10分?？v觀近幾年高考試卷，歸結起來圓錐曲線大題問題主要包括：①已知過定點的直線

與圓錐曲線相交于不同兩點，求直線方程（或直線的斜率）；②已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩

點，求多邊形的面積（或多邊形面積的最值）；③已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求某個式

子的值（或取值范圍）和證明某個式子的值為定值；④已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求

點的坐標（或點的軌跡方程）；⑤已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，證明直線過定點（或點在

定直線上）等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實

際解答圓錐曲線大題問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地予以解答呢？下面通過典

型例題的詳細解析來回答這個問題。

【典例1］解答下列問題：

1、設拋物線C：：/=2px（p>0）的焦點為F,點D（p,0）,過點F的直線交C于M,N兩點，當直線MD

垂直于X軸時，|MF|=3。

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線AB,MN的傾斜角分別為a,夕，當a-/3

取得最大值時，求直線AB的方程（2022全國高考甲卷）

【解析】

【考點】①拋物線定義與性質；②求拋物線方程的基本方法；③已知直線上兩點的坐標，求直線斜率的基

本方法；④求直線方程的基本方法；⑤正切三角函數差角公式及運用。

【解題思路】（1）根據拋物線的性質，運用求拋物線方程的基本方法，結合問題條件就可求出拋物線C的

方程；（2）如圖，設M（乎，必），N（號，為），根據已知直線兩點的坐標，求直線斜率的基本方法,

結合問題條件分別表示出原附，原8A%A3均與。M相切，得到關于%,%，%的等式，運用判

斷直線與圓位置關系的基本方法就可判斷4A與。M的位置關系。

【詳細解答】(1)如圖，?.?當直線MD垂直于X軸時，點M為(p,V2p),在RtAMDF中，|FD|=|p,

|DM|=V2p,|FM|=3,|FD|2+|DM|2=|FM|2,：.-p2+2p2=9,=>p=2,.?.拋物線C的方程為:/=4x；

4

⑵如圖，設M（^-,%）,N（亍，乃），

F（1,0）,D（2,0）,直線MN過點F,.?.直

線MN的方程為：x=my+l,聯立直線MN和拋物

線C的方程得：y2-4my-4=0,-.-y,+=4m,

=tan左,⑴二㈤一

=-4.kMN

（M+%）（＞/以）

14v,

=一①，?.?點A,D,M在直線AM上，k=k,=>-----------尸蟲------尸

mADDM(y+20)(y「2衣

4))_________88

y=---,同理由點B,D,N在直線BN上可得為二----

(%+20)(%-2后A

y必

4二4y.y2=一4二1tana-tan^3-m

kAB=tana=tan(a-J3)=

力+為8(y+%)8m2m1+tantan02m2+1

-1???當且僅當2m即m=.軍時，tan（a為最大值，此時a取得最大值,

=zr

m24

2mA--

m

=_

^AB~7—~~1二+%=8()]+%)=8m=~4>/^,yA.yB=——=-16,.二直線AB的方程為:

2加2y.%外當

y-yA=-—(X--),即x+JIy-4=0。

24

22

xy=1（a>b>0）的四個頂點圍成的四邊形的面積為2石，右焦點6到直線x-y+2=0

2、已知橢圓C：靛+5

的距離為272（2021成都市高三三診）。

（1）求橢圓C的方程；

（2）（理）過點M（-3,0）的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，過點鳥作直線1的垂線，垂足為N（點

A,B在點M,N之間），若AAgM與AB6N面積相等，求直線1的方程。

（文）過點M（-3,0）的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，過點工作直線1的垂線，垂足為N（點A,

B在點M,N之間），若|MA|=|BN|,求直線1的方程。

【解析】

【考點】①橢圓的定義與性質；②求橢圓方程的基本方法；③設而不求，整體代入數學思想及運用；④兩

點之間的距離公式及運用；⑤點到直線的距離公式及運用；⑥求直線方程的基本方法。

【解題思路】（1）根據橢圓的性質和求橢圓方程的基本方法，結合問題條件得到關于a,b,c的方程組，求

解方程組求出a,b的值就可求出橢圓C的方程；（2）（理）設A（3，y,）,B（x2,%），根據求直線

方程的基本方法求出直線gN的方程，從而得到點N的坐標，運用設而不求，整體代入的數學思想和兩點

之間的距離公式，得到|MN|關于參數m的表示式，利用點到直線的距離公式和三角形面積公式得到關于m

的方程，求解方程求出m的值就可求出直線1的方程。（文）設A（須，%）,B（%,%），根據求直線

方程的基本方法求出直線EN的方程，從而得到點N的坐標，運用設而不求，整體代入的數學思想和兩點

之間的距離公式，得到|MA|,|BN|關于參數m的表示式，從而得到關于m的方程，求解方程求出m的值就

可求出直線1的方程。

22

【詳細解答】（1）?.?橢圓C：=+2=1（a>b>0）的四個頂點圍成的四邊形的面積為2君，右焦點只到

ab

|c-0+2||c+2|5合

直線x-y+2=0的距離為2夜，.?.2ab=2石①,a2=b2+c2@,聯立

①②③解得：...橢圓的方程為?+(理)設(占，

/=5,6=1,cy2=i；⑵Ay1),B(x2,),V

直線1過點M(-3,0),.?.直線1的方程為*=01丫-3,

.今67274

聯立直線1和橢圓C的方程得：(療+5)?-6my+4=0,???x+%=一=，%.%=十不，

m-+5m~+5

l5、e、，，2m2-35m、I5m2,5m

直線E.N的萬程為丫=-1?+2111,.?.N(—j~,——-),=>|MN|=J(—z~-)x-2+(-^~-)-

m-+1加"+1vw+1nr+\

5\m\\jm2+1|2-0+3匚5

S眸N=S…-S呼M=S,：.-|MN|

m2+1y/m2+1+1MF2M

,115I/MIV/w2+l5,、30177?I,2、

.d--IM/sl.ly!|=—|ME,|.|y|,=--------;------------r———=(2+3)1弘+為仁~^r,，5(m'+5)

F222

22m+1dm+im~+5

=6(m2+l),=>m=±V19,，直線1的方程為x=JT^y-3或x=-JI?y-3。

（文）設A（七，yj,B（x2,%），：直線?過點M（-3,0）,.?.直線1的方程為x=my-3,

co6/274

聯立直線1和橢圓c的方程得：（nr+5）y--6my+4=0,?.?y+K=—；~,y,.y2=~―,

m-+5m~+5

2〃?~—35m

直線居N的方程為y=-mx+2m,，N（--~—~~-）,v|MA|=|BN|,-

m-+1m~+\m~+1

..、_5/7?6m5mrrr一

-%1，：點A,B在點M,NN.間，.,.%+%=—5~,=>——-=——,m=±A/19,即直線1的

m~+1m~+5m-+\

方程為x=My-3或x="V19y-3O

3、在平面直角坐標系XOY中，已知點±（-JF7,0）,鳥（JT7,0）,點M滿足IMFJ-IM瑞|=2,

記M的軌跡為Co

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=1上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，且|TA|.|TB|

=|TP|.|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和（2021全國高考新高考I卷）。

【解析】

【考點】①雙曲線的定義與性質；②求雙曲線方程的基本方法；③設而不求，整體代入數學思想及運用；

④求圓方程的基本方法；⑤已知直線上兩點的坐標，求直線方程的基本方法；⑥判斷直線與圓位置關系的

基本方法。

【解題思路】（1）根據雙曲線的性質和求雙曲線方程的基本方法，結合問題條件就可求出C的方程；（2）

如圖，設A（再，/）,B（x2r%），T（；,m）,直線AB的斜率為占，直線PQ的斜率為&2,根據直

線點斜式方程求出直線AB的方程，聯立直線AB和雙曲線C的方程消去y得到關于x的一元二次方程，

運用設而不求，整體代入的數學思想，得到|TA|.|TB|關于勺，m的表示式，同理可得ITPIJTQI關于融,m的

表示式，聯立兩個表示式得到關于左，質的等式，求出K，42之間的關系就可求出直線AB的斜率與直線

PQ的斜率之和。

【詳細解答】（1）?.?點片（-如，0）,F2（Vi7,0）,點M滿足IM^HM6|=2,.?.a=l,c=V17,

一i=i6,;.C的方程為f一±=i（x>l）；（2）如圖，設A（西，

M）,B（x2,y2）,T（1,m）,直線AB的斜率為《，直線PQ的斜率為攵2，：直線

AB過點T（g,m）,斜率為《，.?.直線AB的方程為丫=匕*；匕+m,聯立直線AB和雙曲線C的方程

2

消去y得：（16-k：）x+（%：-2klm）x-；攵:+占m-M-16=0,,,,x,+x2

_2kM_k；4k.m-k：-4m2-64,11

X|?*2=—!---------；------A|TA|.|TB|=（1+1）（占/）（x--）

--16-44（16-打）2

4/c.m—k：—4m2—644k,m-2k?16-奸m2+12

=（1+#）[―----!——--------------+---------1+懺----2----------（1+形）

4（16-A^2）4（16—公）4（16—后）116—k；r

/曾21O,刀~+]2+]2

不~同理可得|TP|.|TQ|=（1+《