數(shù)值分析課件第二章第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

2.1引言

2.2拉格朗日插值多項(xiàng)式

2.3逐次線性插值

2.5差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式

2.6埃爾米特插值公式

2.7分段低次插值

2.4均差與牛頓插值多項(xiàng)式

2.8三次樣條插值第二章插值法第二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日用簡(jiǎn)單的函數(shù)(如多項(xiàng)式函數(shù))作為一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的近似,最簡(jiǎn)單實(shí)用的方法就是插值。本章主要介紹有關(guān)插值法的一些基本概念,及多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)理論和幾個(gè)常用的插值法:Lagrange插值、分段線性插值、Newton插值、Hermite插值和三次樣條插值。第一節(jié)引言第三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x)，滿足條件g(xi)=

f(xi)

(i=0,…n)。這里的g(x)

稱為f(x)

的插值函數(shù)。當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn)x0…xn

處測(cè)得函數(shù)值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)最常用的插值函數(shù)是…?多項(xiàng)式插值節(jié)點(diǎn)插值條件第四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日二、代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞為了使插值函數(shù)更方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項(xiàng)式和有理函數(shù)本章討論的就是代數(shù)插值多項(xiàng)式且滿足--------(2)--------(3)第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日--------(4)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日定理1.由Cramer法則,線性方程組(4)有唯一解--------(2)--------(3)則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式存在且唯一.雖然線性方程組(4)推出的插值多項(xiàng)式存在且唯一但通過(guò)解線性方程組(4)求插值多項(xiàng)式卻不是好方法第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

拉格朗日多項(xiàng)式/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項(xiàng)式使得條件：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即n=1使得111001已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求)(,)(yxPyxP==可見(jiàn)P1(x)是過(guò)(x0

,y0

)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl稱為拉氏基函數(shù)

/*LagrangeBasis*/，滿足條件li(xj)=ij

/*KroneckerDelta*/第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

ThemathematicianS.hadtomovetoanewplace.Hiswifedidn'ttrusthimverymuch,sowhentheystooddownonthestreetwithalltheirthings,sheaskedhimtowatchtheirtentrunks,whileshegotataxi.Someminuteslatershereturned.Saidthehusband:"Ithoughtyousaidthereweretentrunks,butI'veonlycountedtonine!"Thewifesaid:"No,they'reTEN!""ButIhavecountedthem:0,1,2,..."n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij

；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每個(gè)li有n

個(gè)根x0…

xi…xn0=nj-=---=jijiniiixxCxxxxxxCxl0)())...()...(()(x==1-jijiiiixxCl)(1)(LagrangePolynomial與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)節(jié)點(diǎn)f第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日n+1次多項(xiàng)式第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日且從而第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日其中第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例1:解:第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日且在例1中,如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)169和225,也可以作插值多項(xiàng)式,即1次Lagrange插值多項(xiàng)式,有兩個(gè)插值基函數(shù),這種插值方法稱為L(zhǎng)agrange線性插值,也可以在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)中取相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)作線性插值第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日Lagrange線性插值基函數(shù)為L(zhǎng)agrange線性插值多項(xiàng)式為參見(jiàn)圖第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例2.解:Lagrange插值基函數(shù)為L(zhǎng)agrange線性插值多項(xiàng)式為第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日所以請(qǐng)編寫出Lagrange插值的Matlab程序程序：lagrangen.m第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

插值余項(xiàng)/*Remainder*/設(shè)節(jié)點(diǎn)在(a,b)內(nèi)存在,考察截?cái)嗾`差，且f

滿足條件,其中，且依賴于x。應(yīng)當(dāng)指出，余項(xiàng)表達(dá)式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用。在(a,b)內(nèi)的具體位置通常不可能給出。如果可以求出，那么插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差限是第十九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例題：已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用線性插值及拋物插值計(jì)算sin0.3367的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。解：由題意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,

y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。用線性插值及拋物插值計(jì)算，取x0=0.32及x1=0.34,又由公式得

y1-y0sin0.3367L1(0.3367)=y0+————(0.3367-x0)

x1-x0 0.01892=0.314567+———(0.0167)=0.330365. 0.02第二十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日其截?cái)嗾`差得其中 ，因f(x)=sinx，f//(x)=-sinx，可取 ，于是

R1(0.3367)=sin0.3367–L1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.9210–5， 若取x1=0.34，x2=0.36為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為第二十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日其截?cái)嗾`差為 ，其中于是用拋物插值計(jì)算sin0.3367時(shí)，可得第二十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說(shuō)明查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了。其截?cái)嗾`差得其中于是第二十三頁(yè)，共