《自動控制理論基礎(chǔ)》第十一講1九、根之和系統(tǒng)閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和為一常數(shù):將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母展開，得2若系統(tǒng)滿足，則系統(tǒng)的特征方程為由代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系知，n階代數(shù)方程n個根的和等于第（n-1）次項的系數(shù)乘-1。即

--閉環(huán)特征根；--開環(huán)極點3通常：稱為閉環(huán)極點重心。當(dāng)K1值變化時，極點重心不變。利用該性質(zhì)可估計根軌跡曲線的變化趨勢，有助于確定極點位置及相應(yīng)的K1值。例：巳知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示4閉環(huán)極點之和為-3，極點重心為-1，也即漸進(jìn)線與實軸的交點，由此可估計根軌跡曲線的變化趨勢，如下所示：5十、根之積：當(dāng)控制系統(tǒng)所有開環(huán)零、極點都位于s平面的左半部,則稱為最小相位系統(tǒng);否則為非最小相位系統(tǒng)。若以表示閉環(huán)特征根，且系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，則閉環(huán)極點之積為：6若系統(tǒng)無開環(huán)零點時，則閉環(huán)極點之積為：該關(guān)系式是根據(jù)代數(shù)方程根之積與常數(shù)項系數(shù)的關(guān)系得到的。若系統(tǒng)既有開環(huán)零極點，又無開環(huán)零點時，則閉環(huán)極點之積為：7例：巳知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示巳知根軌跡與虛軸的交點為：，求第三個閉環(huán)極點，并求根軌跡與虛軸交點處的臨界K1值。又因開環(huán)系統(tǒng)有零極點，又無零點，故8故利用根之積規(guī)則，可以求出巳知閉環(huán)極點處的K1值。例1：巳知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。典型例題91、確定開環(huán)零、極點：極點：0，-0.5，無有限零點.2、根軌跡起點、終點、分支數(shù)：起點：開環(huán)極點；終點：；分支數(shù)：43、對稱性、連續(xù)性：（檢驗）4、實軸上的根軌跡：105、漸近線：因，故存在漸近線：116、分離點：故是高階代數(shù)方程，一般采用‘試探法’求根。由，解出：12高次代數(shù)方程近似求根方法：設(shè)1、若n為偶數(shù)，則其中：比A(s)低二階。第一次近似：13分別將P(s)、Q(s)作為除式,對A(s)按綜合除法相除。若余次不為零，P(s)、Q(s)修正，再作綜合除法，直到余項近似為零。2、若n為奇數(shù)，則其中：比A(s)低一階。第一次近似：14分別將P(s)、Q(s)作為除式,對A(s)按綜合除法相除。若余次不為零,P(s)、Q(s)修正,再作綜合除法，直到余項近似為零。對本例：設(shè)有因子：15作綜合除法，得余項為：-0.03，基本除盡，故其根為：位于實軸根軌跡上，故是分離點。解出K1<0，故不是分離點。綜合前幾項求解，可畫出在s平面的示意圖，如下所示：(注意畫根軌跡圖時，實軸與虛軸的坐標(biāo)比例應(yīng)一致)16177、出射角：即188、根軌跡與虛軸的交點：將代入特征方程中，解出：欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，K1<26.157?？僧嫵鱿到y(tǒng)的根軌跡圖如下所示：1920根軌跡的繪制不必太準(zhǔn)確，主要是一些關(guān)鍵點需要準(zhǔn)確，例如：實軸上的根軌跡、分離點、與虛軸的交點等，這樣才能很好確定根軌跡的大致走向。在根據(jù)開環(huán)零、極點的分布初步確定出根軌跡的圖形后，特別要認(rèn)真檢查和計算，是否存在分離點，否則可能導(dǎo)極完全錯誤的