數(shù)值計算方法正交多項式第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日(1),則稱函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上正交.(2),則稱函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上帶權(x)正交.(3)代數(shù)多項式序列(下標k為多項式的次數(shù),gk(x)表示k次多項式),在區(qū)間[a,b]上滿足一、正交多項式定義1當m≠n當m=n則稱多項式序列為區(qū)間[a,b]上帶權(x)的正交多項式序列第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日若n次多項式gn(x)中含xn項的系數(shù)為dn,則稱dn為gn(x)的首次系數(shù);dn≠0時,稱為首次系數(shù)為1的n次多項式.定義2第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日

若是區(qū)間[a,b]上帶權(x)的正交多項式序列,則它們線性無關.對任意的x[a,b]若兩邊同乘(x)gl(x)(l=0,1,..n),并從a到b積分,由的正交性定義中的(3)可知必有cl=0故正交多項式序列線性無關.性質1證明二、正交多項式性質第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日若為[a,b]上帶權(x)的正交多項式序列,且,則(1)k=n+1,n+2,…(2)i=0,1,…,n-1記[a,b]上帶權函數(shù)(x)的正交多項式序列相鄰三項的遞推關系為i=1,2,…其中性質2性質3第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日[a,b]上帶權函數(shù)的正交多項式序列中任意相鄰兩個正交多項式gn(x)和gn+1(x)的根相間.為的首項系數(shù)若記gn(x),gn+1(x)的根分別為,則所謂與的根相間,即是指這兩個正交多項式的根有如下的關系.i=1,…,n-1性質4第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日常見的正交多項式有Legendre(勒讓德)多項式、Hermite多項式、Chebyshev多項式以及Jacobi多項式。

(1)區(qū)間[a,b]上帶權函數(shù)(x)的正交多項式序列與對應元素之間只相差一個比例常數(shù).(2)區(qū)間[a,b]上帶權函數(shù)(x)首項系數(shù)為1的正交多項式序列唯一.性質5第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日施密特正交化公式線性無關…第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日三、Legendre多項式Pn(x)[-1,1]上由{1,x,…,xn,…}帶權ρ(x)≡1正交化得到的多項式序列.(1)多項式定義定義3隱式表達式顯式表達式其中當n為偶數(shù)時當n為奇數(shù)時第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日在[-1,1]上帶權ρ(x)≡1正交化{1,x,…,xn,…}例解…第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日(2)多項式的主要性質①

n次Legendre多項式Pn(x)的首項系數(shù)當x=-1②當x=1,當mn當m=n③④Legendre多項式相鄰三項的遞推關系為n=1,2,…第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日⑤

在所有最高項系數(shù)為1的n次多項式中,最高項系數(shù)為1的Legendre多項式Pn(x)在[-1,1]上與零的平方誤差最小.第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日(1)多項式定義定義4四、Chebyshev多項式Tn(x)[-1,1]上由{1,x,…,xn,…}帶權

正交化得到的多項式序列.顯式表達為:Tn(x)=cos(narccosx),|x|≤1第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日Chebyshev多項式序列在[-1,1]上滿足性質6n次Chebyshev多項式Tn(x)的首項系數(shù)為2n-1性質7n次Chebyshev多項式相鄰三項有遞推關系：

T0(x)=1,T1(x)=x,

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,….性質8(2)Chebyshev多項式的性質第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日當時，即{x1,…,xn}為Tn(x)的n個零點。當時，交錯取到極大值1和極小值1，即記顯然是首項系數(shù)為1的n次Chebyshev多項式性質9性質10第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日記為一切定義在[－1,1]上首項系數(shù)為1的n次多項式的集合在中，的無窮模最小即這個性質，稱為Chebyshev多項式最小模性質.性質11第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日——多項式降次(

reducethedegreeofpolynomialwithaminimallossofaccuracy)設f(x)Pn(x)。在降低Pn(x)次數(shù)的同時,使因此增加的誤差盡可能小,也叫economiza-tionofpowerseries。從Pn中去掉一個含有其最高次項的,結果降次為,則：Pn~Pn1|)(|max|)()(|max|)()(|max]1,1[]1,1[1]1,1[xPxPxfxPxfnnn----+--~因降次而增的誤差設Pn的首項系數(shù)為an，則取可使精度盡可能少損失。12)()(-=nnnnxTaxP(3)Chebyshev多項式的應用第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日f(x)=ex

在[1,1]上的4階Taylor展開為，此時誤差請將其降為2階多項式。?。ú楸碇┤。ú楸碇┤艉唵稳?，則誤差注：對一般區(qū)間[a,b]，先將x

換為t

，考慮f(t)在[1,1]上的逼近Pn(t)，再將t

換回x，最后得到Pn(x)。例1解第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日定義6(1)第二類Chebyshev多項式Un(x)相鄰三項的遞推關系為五、其它正交多項式(-1,+1)上權函數(shù)的正交多項式序列顯式表達:U0(x)=1,U1(x)=2xn=1,2,…第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日定義7(2)拉蓋爾Laguerre多項式Ln(x)相鄰三項的遞推關系為[0,+∞)上權函數(shù)的正交多項式序列顯式表達:L0(x)=1,L1(x)=1-xn=1,2,…第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日定義8(3)Hermite多項式Hn(x)相鄰三項的遞推關系為H0(x)=1,H1(x