第三講第19頁─共19頁第三講主干考點集合與常用邏輯用語【名師高考導航】集合部分一般考查集合之間的關系和集合的運算，其中，以集合語言為背景的新定義試題是高考中的熱點，且易于以集合為載體考查函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)等有關知識，常用邏輯用語部分一般考查命題的真假判斷、命題的否定和充要條件的判斷，其中，充要條件是考查的重點，且易于以常用邏輯用語為工具考查函數(shù)、不等式、立體幾何、解析幾何中的基本概念及性質的理解和判斷．【考點思維腦圖】【重要考點串講】一、集合1．集合中元素的性質注意：求解含參數(shù)的集合問題時要根據(jù)互異性進行檢驗2．集合之間的關系(1)子集：對任意的，都有，則（或）．(2)真子集：若，但存在元素，且，則（或）．(3)集合相等：若，且，則．【注意】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．若集合含有個元素，則其子集有個，真子集有個，非空真子集有個．【提醒】集合的真子集一定是其子集，而集合的子集不一定是其真子集．3．集合的運算及性質交集并集補集圖形符號性質二、常用邏輯用語1．四種命題及其關系在同一個命題四種形式的命題中，真命題的個數(shù)只能是0或2或4．2．復合命題真假判斷的方法（即真值表）真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口訣記憶：一真則真；一假則假；與真假相反．3．命題的否定命題形式否定形式4．全稱命題與特稱命題全稱命題：，其否定是特稱命題：．特稱命題：，其否定是全稱命題：．【點撥】一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱命題還是特稱命題，并找到其量詞的位置及相應結論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞或存在量詞改成全稱量詞，同時否定結論．5．充分條件與必要條件(1)若，則是的充分條件，是的必要條件．(2)若，則，互為充要條件．若命題對應集合A，命題對應集合B，則等價于，等價于．【提醒】判斷充分條件與必要條件時需要注意以下幾點：①確定條件是什么，結論是什么；②嘗試從條件推結論，結論推條件；③確定條件是結論的什么條件．【方法技巧突破】必考點1元素、集合與集合之間的關系【典例1】已知集合={}，若集合中至少有3個元素，則的取值范圍為A．(8，+∞)B．[8，+∞)C．(16，+∞)D．[16，+∞)【解析】通解∵集合={}，集合中至少有3個元素，∴，解得>16．故選C．優(yōu)解取=16，則集合={}={}={2，3}，所以排除A、B、D，故選C．【方法探究】要注意集合是一個自然數(shù)集，從而確定的取值范圍．【典例2】設，，已知且，則的取值集合為．【解析】因為，即，所以或．若，則或；若，即，，則或．(分類討論)由與互異，得．(運用元素的互異性進行檢驗)故或．又，即，所以，解得且．綜上所述，的取值集合為{4}．【方法探究】該題結合方程與不等式的求解考查了元素與集合的關系、集合中元素的互異性以及分類討論的數(shù)學思想．【典例3】已知集合，，則下列集合與的關系中正確的是A． B． C． D．【解析】因為，所以，又集合是集合中的元素，所以．【方法探究】此題易錯選B．題中所給的兩個集合比較特殊，集合中的元素就是集合，當集合是集合中的元素時，與是屬于關系．解題時要特別注意兩個集合中元素之間的關系是什么．【典例4】已知集合，．若有且只有3個真子集，則實數(shù)的取值范圍是A．(0,1)

B．(0,3)

C．(0,1)∪(1,3)

D．(–∞,1)∪(3,+∞)【解析】由題意知,集合為不等式的解集，所以．因為有且只有3個真子集，所以中有2個元素，根據(jù)題意，且，故答案為C．【典例5】已知集合，則集合中元素的個數(shù)是A．1B．3C．5D．9【解析】因為，所以可對，賦值，從而求出集合中元素的個數(shù)．賦值法：因為，所以，或，或，或，或，或，所以，所以集合中有5個元素，選C．【方法探究】求解集合中的元素個數(shù)題目的關鍵，一是要準確判斷元素是否屬于該集合，判斷的依據(jù)就是能否將該元素化成集合中的代表元素的形式．對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．【典例6】已知集合，，則下列選項不可能成立的是A．B．C．D．【解析】由，得=[–1，2)∪(2，+∞)，=(，+∞)，=(–∞，]，選項A，B，C都有可能成立，對于選項D，不可能有．故選D．【典例7】已知集合，，則A．B．C．D．【解析】先通過解一元二次不等式求出集合，再借助數(shù)軸求解集合的運算．集合或，所以或=，選B．【方法探究】判斷集合間關系的方法1．一一列舉觀察．2．集合元素特征法：首先確定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判斷集合間的關系．3．數(shù)形結合法：利用數(shù)軸或Venn圖或平面圖形把兩個集合表示出來，再判斷它們之間的關系（如本題）．必考點2集合的運算【典例1】已知全集是實數(shù)集，，，則=A．[0，+∞)B．(–∞，–2)C．[–2，+∞)D．(–∞，–2)∪[0，+∞)【解析】通解因為，所以=[–2，2]，所以=(–∞，–2)∪(2，+∞)．因為，所以=[0，+∞)，所以=(–∞，–2)∪[0，+∞)．故選D．優(yōu)解因為–3，所以–3，所以–3∈[]，故排除A、C；因為0∈B，所以0∈[]，故排除B．故選D．【方法探究】、兩個集合分別是函數(shù)、的值域．【典例2】(2017全國卷Ⅱ)設集合，，若，則A．B．C．D．【解析】∵，∴，∴，即，方程，解得或，∴．選C．【方法探究】關于集合及其運算，首先要從本質上認識集合，即集合中的元素是什么(如數(shù)、點、圖形等)，有什么樣的特征，進而決定采取什么樣的策略解決問題．【典例3】已知，均為集合的子集，且，，則A． B． C． D．【解析】因為，所以，又，所以．若，則(否則，從而，則，與題中條件矛盾,故．同理，，，故．選D．【典例4】已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，則=A．[?2,?1]B．[?1,1]C．[?1,2）D．[1,2）【解析】，故=[?2,?1]．【方法探究】破解集合的運算問題需掌握雙招：第一招，化簡各個集合，即明確集合中元素的性質，化簡集合；第二招，借形解題，一般規(guī)律如下．再根據(jù)集合的交集、并集、補集的定義進行基本運算．【典例5】已知集合={4，}，={}，若，則實數(shù)的值為A．2B．3C．2或4D．2或3【解析】因為={}，所以={2，3}，又集合={4，}，若，則2或3，故選D．【典例6】已知集合，，定義集合，則中元素的個數(shù)為A．77B．49C．45D．30【解析】因為集合，所以集合中有5個元素（即5個點），即圖中圓內及圓上的整點，集合中有25個元素（即25個點）：即圖中正方形內及正方形上的整點．集合的元素可看作下圖中正方形內及正方形上的整點（除去四個頂點），即個．【方法總結】解集合的運算問題應注意如下三點：①注意觀察集合中元素的特點，元素是數(shù)還是有序數(shù)對，是函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域，還是函數(shù)的圖象等；②進行集合基本運算時要注意對應不等式端點值的處理，尤其是求解集合補集的運算，一定要搞清端點值的取舍，不能遺漏；③求解集合的補集運算要注意，既要關注全集是什么，又要注意求補集的程序，一般先求出原來的集合，然后求其補集，不要直接轉化條件而導致漏解．必考點3命題的四種形式及其相互關系【典例1】(2017全國卷Ⅰ)設有下面四個命題：若復數(shù)滿足QUOTE，則QUOTE；：若復數(shù)QUOTE滿足，則QUOTE；：若復數(shù)，滿足，則QUOTE；：若復數(shù)QUOTE，則QUOTE．其中的真命題為A．，B．，C．，D．，【解析】設（），則，得，所以，正確；，則，即或，不能確定，不正確；若，則，此時，正確．選B．

【方法探究】在判斷四個命題之間的關系時，首先要分清命題的條件與結論，再比較每個命題的條件與結論之間的關系，要注意四種命題關系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應地有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；其中原命題與逆否命題真假性相同，否命題與逆命題真假性相同，對涉及數(shù)學概念的命題的判定要從概念本身入手，如本題要從共軛復數(shù)的概念入手判斷原命題的真假．【典例2】下列命題中為真命題的是A．命題“若，則”的逆命題B．命題“若，則”的否命題C．命題“若，則”的否命題D．命題“若，則”的逆否命題【解析】對于A，逆命題是“若，則”，是真命題；對于B，否命題是“若，則”，是假命題，因為或；對于C，否命題是“若，則”，是假命題，因為當時，；對于D，逆否命題是“若，則”，是假命題，如，．故選A．【方法探究】原命題、逆命題、否命題、逆否命題的等價關系．【典例3】設，命題“若，則方程有實根”的逆否命題是A．若方程有實根，則B．若方程有實根，則C．若方程沒有實根，則D．若方程沒有實根，則【解析】一個命題的逆否命題，要將原命題的條件、結論加以否定，并且加以互換，故選D．【思路點撥】解題時要注意原命題與其他三種命題之間的關系．原命題為“若則”，則其逆否命題為“若則”．【方法總結】解決命題及其相互關系類試題，需要注意兩個方面：一是明確命題的否定與否命題的區(qū)別及其格式，命題的否定只否定結論，而否命題是條件與結論都否定；二是要正確對條件和結論進行“否定”，尤其是含有不等號的問題，容易誤以為“≥”的否定是“≤”而導致錯解．必考點4充分條件與必要條件的判斷【典例1】(2019年浙江卷)若，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】因為，，所以，由可得，解得，所以充分性成立；當時，取，，滿足，但，所以必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要條件．故選A．【方法探究】∵，，利用基本不等式進行充分性和必要性推導．【典例2】(2017北京)設,為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】因為為非零向量，所以的充要條件是．因為，則由可知的方向相反，，所以，所以“存在負數(shù)，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，從而不一定推得“存在負數(shù)，使得”，所以“存在負數(shù)，使得”是“”的充分而不必要條件．【典例3】函數(shù)在處導數(shù)存在，若：；：是的極值點，則A．是的充分必要條件B．是的充分條件，但不是的必要條件C．是的必要條件，但不是的充分條件D．既不是的充分條件，也不是的必要條件【解析】定義法：設，，但是是單調遞增函數(shù)，在處不存在極值，故“若則”是一個假命題，由極值的定義可得“若則”是一個真命題．故選C．【方法總結】定義法：正反方向推理，若，是的充分條件，或是的必要條件；若且，則是的充分非必要條件（或是的必要非充分條件）．此法適用于定義、定理判斷性問題，如本題．【典例4】給定兩個命題，．若是的必要而不充分條件，則是的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】等價法：因為是的必要不充分條件，則，但，其逆否命題為，但，所以是的充分而不必要條件．選A．【方法探究】利用與，與的等價關系，此法適用于條件和結論帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來判斷，如本題．【典例5】若：，：關于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零，則是的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由，得；而方程的一根大于零，另一根小于零的充要條件是，即，解得．解法一(定義法)因為，，所以是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件．解法二(集合法)滿足條件的參數(shù)的取值集合為，滿足條件的參數(shù)的取值集合為，顯然，所以是的充分不必要條件．【方法探究】利用集合間的包含關系，若，則是的充分條件或是的必要條件；若=，則是的充要條件．此法多適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題．如本題．【方法總結】判斷充分條件與必要條件時應關注三點(1)要弄清先后順序：“的充分不必要條是”是指且；而“是的充分不必要條件”則是指且．(2)要善于舉出反例：當從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時，可以通過本出恰當?shù)姆蠢齺碚f明．(3)要注意轉化：是的必要不充分條件是的充分不必要條件；是的充要條件是的充要條件．必考點5含有邏輯聯(lián)結詞命題的真假判斷【典例1】(2017山東)已知命題：，；命題：若，則，下列命題為真命題的是A．B．C．D．【解析】，，所以，所以為真命題；若，則，若，則，所以，所以為假命題．所以為真命題．選B．【典例2】已知命題：若，則；命題：若，則．在命題①；②；③；④中，真命題是A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】由不等式的性質可知，命題是真命題，命題為假命題，故①為假命題；②為真命題；③為真命題，則為真命題；④為假命題，則為假命題．所以選C．【方法探究】判斷含有邏輯聯(lián)結詞的命題真假的關鍵是既要弄清構成它的命題，的真假，又要弄清其結構形式，如本題中要先判斷命題，的真假，再看新命題的結構形式，最后根據(jù)真值表判斷構成的新命題的真假．【典例3】已知命題：方程有兩個不相等的正實數(shù)根，命題：方程無實數(shù)根．若“或”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是．【解析】由“或”為真命題，得為真命題或為真命題．當為真命題時，設方程的兩根分別為，，則有，解得；當q為真命題時，有，解得．綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．（求并集）【方法探究】此類題目一般會出現(xiàn)“或”為真，“或”為假，“且”為真，“且”為假等條件，解題時應先將這些條件轉化為，的真假．，的真假有時是不確定的，需要討論．但無論哪種情況，一般都是先假設，為真,求出參數(shù)的取值范圍，當它們?yōu)榧贂r取補集即可．【典例4】已知：，：，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是A．[–1，+∞)B．[3，+∞)C．(–∞，–1]∪[3，+∞)D．[–1，3]【解析】由：，解得或，要使得是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件，即，．所以，解得或，故選C．【方法探究】是的充分不必要條件，等價于是的充分不必要條件．必考點6全稱命題、特稱命題的真假判斷【典例1】(2016浙江)命題“，使得”的否定形式是A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故選D．【典例2】已知命題：；命題：，則下列命題中為真命題的是A．B．C．D．【解析】先判斷命題，的真假，再根據(jù)真值表求解，當時，有，不滿足，所以是假命題．如圖，函數(shù)與的圖象有交點，即方程有解，所以是真命題．所以為假命題，排除A．因為p為真命題，所以是真命題．C、D明顯均為假命題，故選B．【方法探究】1．全稱命題的真假判斷方法：(1)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合中的每一個元素，證明成立．(2)要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合中的一個特殊值，使不成立即可，本題中的命題就是全稱命題．2．特稱命題的真假判斷方法：要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合中，找到一個，使成立即可，否則這一特稱命題就是假命題，本題中的命題就是特稱命題．【典例3】已知命題：，使得為假命題，則實數(shù)的取值范圍是．

【解析】命題是一個特稱命題，故是一個全稱命題．：，使得，即恒成立．設，則．令，即，解得．所以當時，，函數(shù)單調遞減;當時，，函數(shù)單調遞增．所以當時，函數(shù)取得最小值．由不等式恒成立可得，所以．所以的取值范圍是．【方法探究】將命題的真假轉化為不等式恒成立或不等式有解、方程有解或無解、函數(shù)最值等問題，從而根據(jù)函數(shù)性質、不等式等內容解決．必考點7有關參數(shù)取值范圍問題的求解【典例1】給定兩個命題，命題：對任意實數(shù)都有都有恒成立，命題：關于的方程有實數(shù)根，若“”為真命題，“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為．【思路點撥】若為真命題，求出參數(shù)的取值范圍；若為真命題，求出參數(shù)的取值范圍．由“”為真命題，“”為假命題，得，中有且僅有一個為真命題，從而可列出關于的不等式組，即可得結論．【解析】若為真命題，則或．即；若為真命題，則，即．因為“”為真命題，“”為假命題，所以，中有且僅有一個為真命題．若真假，則；若假真，則．綜上，實數(shù)的取值范圍為．【方法探究】根據(jù)命題的真假求解參數(shù)的取值范圍的關鍵是先求出相關命題為真時所對應的參數(shù)的取值范圍，如本題中，先分別求出命題，均為真命題時參數(shù)a的取值范圍；再根據(jù)真值表判斷兩個命題的真假；最后根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補集的運算，求解參數(shù)的取值范圍，如本題中，列出關于的不等式組．【誤區(qū)警示】此類題目的易錯點是：由若“”為真，“”為假，常誤得出“真假”這個結論，如本題中，當“”為真，“”為假，得到的結論是“，中有且僅有一個為真”，此時應分類討論：第一種情形，真假；第二種情形，假真，破解的關鍵是正確運用真值表．【典例2】函數(shù)，有且只有一個零點的充分不必要條件是A．B．C．D．或【思路點撥】把函數(shù)的零點問題轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，從而求出有一個零點的充分必要條件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正確選項．【解析】因為函數(shù)的圖象過點，所以函數(shù)有且只有一個零點函數(shù)沒有零點函數(shù)的圖象與直線無公共點．由數(shù)形結合，可得或，所以函數(shù)有且只有一個零點的充分必要條件是或，應排除D；當時，函數(shù)有一個零點，即函數(shù)有兩個零點，此時是函數(shù)有且只有一個零點的既不充分也不必要條件，應排除B；同理，可排除C．應選A．【方法探究】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關鍵是合理轉化條件，常通過有關性質、定理、圖象等將原問題轉化為最值問題、有解問題等，得到關于參數(shù)的方程或不等式（組），然后通過解方程或不等式（組）求出參數(shù)的值或取值范圍．如本題就是通過圖象先求出函數(shù)有一個零點的充分必要條件，然后求出此時參數(shù)的取值范圍，再利用“以小推大”的技巧，即可判斷