2年3卷新高考命題統(tǒng)計分析

說明：2年3卷是指2020年新高考全國卷Ⅰ(山東省使用.2020年海南使用的全國卷Ⅱ與全國卷Ⅰ僅有個別題目有區(qū)分，故不做重復統(tǒng)計)，2021年新高考全國卷Ⅰ、全國卷Ⅱ.知識模塊(3卷平均分值)2020全國卷Ⅰ2021全國卷Ⅰ2021全國卷Ⅱ題號，考查點題型，分值題號，考查點題型，分值題號，考查點題型，分值集合、常用邏輯用語、不等式、復數(shù)、計數(shù)原理(13.3分)T1集合的運算T2復數(shù)的運算T3排列組合T11不等式的綜合問題單選5分單選5分單選5分多選5分T1集合的運算T2復數(shù)的運算單選5分單選5分T1復數(shù)的運算與幾何意義T2集合的運算單選5分單選5分三角函數(shù)與解三角形及平面向量(23分)T7平面向量的數(shù)量積T10三角函數(shù)圖象及解析式T15解三角形及其綜合應用T17解三角形(結構不良)單選5分多選5分填空5分解答10分T4正弦函數(shù)的單調性T6三角恒等變換T10三角函數(shù)與平面向量T19解三角形單選5分單選5分多選5分解答12分T15平面向量的數(shù)量積T18解三角形填空5分解答12分續(xù)表數(shù)列(15.7分)T14等差數(shù)列的前n項和T18等比數(shù)列的基本量運算填空5分解答12分T16數(shù)列求和T17等差數(shù)列的性質及應用填空5分解答10分T12數(shù)列求和、新定義問題T17等差數(shù)列的基本運算多選5分解答10分續(xù)表立體幾何(23.7分)T4線面角(數(shù)學文化)T16空間幾何體的結構特征T20空間向量的應用單選5分填空5分解答12分T3空間幾何體的結構特征T12空間向量及其應用T20線面垂直的判定與性質、二面角單選5分多選5分解答12分T4圓的性質與球的表面積公式T5棱臺的體積T10線線垂直T19面面垂直、二面角、空間向量的應用單選5分單選5分多選5分解答12分續(xù)表概率與統(tǒng)計(22分)T5隨機事件的概率T12隨機變量及其分布列T19統(tǒng)計案例單選5分多選5分解答12分T8相互獨立事件的概率T9樣本的數(shù)字特征T18隨機變量的分布列與期望單選5分多選5分解答12分T6正態(tài)分布的概率T9樣本的數(shù)字特征T21隨機變量的期望及其實際意義單選5分多選5分解答12分續(xù)表解析幾何(25.3分)T9橢圓、雙曲線的定義及標準方程T13直線與圓錐曲線的位置關系T22圓錐曲線的綜合問題多選5分填空5分解答12分T5橢圓的定義T11直線與圓、圓與圓的位置關系T14拋物線的定義及準線方程T21雙曲線及其性質單選5分多選5分填空5分解答12分T3拋物線的定義T11直線與圓的位置關系T13雙曲線的性質T20橢圓的方程、直線與圓的位置關系單選5分多選5分填空5分解答12分續(xù)表函數(shù)與導數(shù)(27分)T6函數(shù)模型及應用T8函數(shù)的奇偶性與單調性T21函數(shù)與導數(shù)綜合問題單選5分單選5分解答12分T7曲線的切線T13函數(shù)的奇偶性T15函數(shù)的最值T22導數(shù)與函數(shù)的單調性、不等式的證明單選5分填空5分填空5分解答12分T7比較對數(shù)值的大小T8函數(shù)的奇偶性與T14函數(shù)的性質(開放性問題)周期性T16導數(shù)的幾何意義T22函數(shù)的單調性、零點單選5分單選5分填空5分填空5分解答12分續(xù)表1．選擇填空題，從主干知識(三角函數(shù)與解三角形及平面向量、數(shù)列、立體幾何、概率與統(tǒng)計、解析幾何、解析幾何函數(shù)與導數(shù))所占比重來看，新高考數(shù)學試卷與原來保持一致，主干知識的考查有60分左右，占整個選填題的75%，這也啟示我們高中數(shù)學主干知識的穩(wěn)定性與重要性，在今后的備考中要引起高度的重視．2．解答題與以前相比，新高考數(shù)學試卷刪除了選考題(坐標系與參數(shù)方程與不等式選講)的題目，數(shù)列與三角函數(shù)由原來的每年二選一考試，變成了均為必考題，凸顯了對主干知識的重視．解答題中出現(xiàn)了新題型，從三個條件中選一個條件作答，體現(xiàn)了高考試卷的靈活性，同時也給考生以選擇的余地，有利于考生選擇一個自己擅長的條件參與作答，在一定程度上有利于增加得分率．

總之，新高考由于刪除了選考題和之前的一些考點(如三視圖，程序框圖，線性規(guī)劃等等)，主干知識在全卷所占的比重超過了88%，約為132分～140分．因此，在新高考當中，三角函數(shù)與解三角形，數(shù)列，立體幾何，概率與統(tǒng)計，解析幾何，函數(shù)與導數(shù)的地位變得更加重要．新高考印象(一)多項選擇題—讓不同層次的考生都有展示自己的舞臺多項選擇題與單項選擇題相比主要有兩點不同：其一，增加了正確支(減少了誘誤支)；其二，見錯歸零.2021年全國新高考卷將這兩點表述為“在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分”，這樣就提高了單憑“猜測”得該題滿分的難度，增加了滿分的思維量和準確性．多項選擇題中“有多項符合題目要求”實際上是“恰有兩項或三項正確”(即恰有一項或兩項錯誤)，這樣一來，多項選擇題在提高“胡猜得滿分”難度的同時，又把“胡猜一項得2分”的成功率提高了．高考試卷中設計多選題的初衷，是讓不同層次的考生都有展示自己的舞臺，縮小差距，增加區(qū)分度，讓基礎薄弱的學生更容易得分，同時也讓真正的高手脫穎而出．多項選擇題的命制方式與解法類型(一)等價型選擇支就是正確支之間互為充要條件．在單項選擇題中，選擇支“若A?B”，則A，B均假，但在多項選擇題中，選擇支A和B可以同真或同假．例1中，選擇支B與C等價，均為正確支．[題型技法](1)根據(jù)多選題的題目設置特征，排除AD，自然選BC，只要排除兩個即可得答案．(2)此類問題的答案只有一個，只是表達形式不同，故只要確定一個正確的，再找到另一個和它相等的式子即可．法一：特征排除法由多選題的特征，且A、C錯誤，B正確，所以D也正確，故選B、D.法二：求解對照法對于選項D，易知四邊形ABB1A1為正方形，所以A1B⊥AB1.設AB1與A1B交于點K，連接PK，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以點P只能是棱CC1的中點，故選項D正確．綜上，選B、D.[題型技法]此類問題從內容上看各選擇支之間沒有關系，需要逐個判斷選項的正誤，熟練、準確地掌握涉及的每個知識點和思想方法才能得以解決，靠的是硬實力．但在解題過程中為了節(jié)省時間，若已得出A、C錯，B正確，不用驗證D，直接選BD即可，若時間有限，可利用這個特征節(jié)省時間．[應用體驗]2．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋x3－ax，則下列結論正確的是

(

)A．f(x)是奇函數(shù)B．若f(x)是增函數(shù)，則a≤1C．當a＝－3時，函數(shù)f(x)恰有兩個零點D．當a＝3時，函數(shù)f(x)恰有兩個極值點類型(三)混合型選擇支這是上述兩種類型的混合，亦即正確支之間既有“等價型”又有“并列型”．[例3]

(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是

(

)A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切[題型技法](1)假定多選題有三項正確，那么在不選錯項的情況下，選對一項與選對兩項的結果是一樣的．考慮時間成本，可以選一項就結束．如果有一項選對的可能性比較高，而另一項拿不準，更是只選有把握的一項．(2)對于有三個正確選項的多選題，這是尖子生與其他人拉開分差的“絕佳時機”．全選對，至少與他人拉開3分，一旦錯選一項，就會痛失5分．所以，針對此類題目，既要全部驗證正確選項，又要有充分的把握排除錯誤選項．如果沒有確切的把握，建議考生采用第(1)條的答題策略．[應用體驗]3．(多選)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC，點P是棱AC的中點，則

(

)A．AB1∥PC1B．AB1∥平面PBC1C．PB⊥平面AA1C1CD．平面PBC1⊥平面AA1C1C解析：如圖，連接B1C，與BC1交于點O，連接OP.對于A、B選項，由于點P是棱AC的中點，且O為B1C的中點，所以OP為△ACB1的中位線，所以AB1∥OP.若AB1∥PC1，則OP∥PC1，矛盾，故A選項錯誤．又因為OP?平面PBC1，所以AB1∥平面PBC1，B選項正確．對于C、D選項，在直三棱柱中，有CC1⊥平面ABC.又因為BP?平面ABC，所以CC1⊥BP.由于∠ABC＝90°，AB＝BC，點P是棱AC的中點，又等腰三角形三線合一，可得BP⊥AC.又AC∩CC1＝C，所以PB⊥平面AA1C1C.又PB?平面PBC1，所以平面PBC1⊥平面AA1C1C，所以C、D選項正確．答案：BCD

面對多選題，要堅持寧缺毋濫，既要大膽選出一個，又要慎重選多項．做多選題時，謹慎選擇的意識要更加明確，一般先選出最有把握的2個選項，在有足夠把握確定還有其他正確選項時才繼續(xù)選擇，否則不選，以免選出錯誤選項．綜上所述，多選題中僅會出現(xiàn)2個或3個正確的情況．這樣，隨便選一個都有50%、甚至75%的可能性得3分．實踐表明，基礎薄弱的學生多選題的得分率要比單選題還高．解答多選題選一個正確答案并不困難，拿不準的不要冒險，一定要慎重一點、仔細一點．多選題對于尖子生是把雙刃劍，稍有不慎到手的5分可能就變成0分．新高考印象(二)雙空填空題—擴考查“寬度”，增得分“容易度”新高考在填空題中引入一題雙空題，其考查初衷一是增加試題考查的覆蓋面，從一定程度上防猜題押題；二是兩個空的總分值仍是5分，考生答對其中一空得部分分數(shù)的概率明顯提高，這有利于提高一般考生的得分，也有利于區(qū)分選拔高水平考生．2．(2019·北京高考)設函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是________．3．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn的最小值為________．4．四面體ABCD的每個頂點都在球O的球面上，AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，則四面體ABCD的體積為________，球O的表面積為________．[題型技法]此種類型雙空題的特點是：兩空的設問相當于一個題目背景下的兩道小填空題，兩問之間沒什么具體聯(lián)系，各自成題，是對于多個知識點或某知識點的多個角度的考查；兩問之間互不干擾，不會其中一問，照樣可以答出另一問．類型(二)相關型相關型雙空填空題，即兩空所填內容之間存在邏輯關系，一空填錯會影響另一空的對錯．[題型技法]此種類型雙空題的特點是：兩空之間有著一定聯(lián)系，一般是第二空需要借助第一空的結果再進行作答，第一空是解題的關鍵也是難點，只要第一空會做并且做對，第二空便可順勢解答．

二、解答填空題常用的四種方法方法(一)直接法就是直接從題目的條件出發(fā)，利用概念、定理、公式、法則等數(shù)學基礎知識得出答案，然后按照要求將最后結果填入空位處．填空題的直接法更像做解答題，但由于填空題不需要過程，因而可以跳過一些步驟，大跨度前進．為了節(jié)省時間還可手寫與心算相結合，力求快速，避免“小題大做”．從這一意義上說，填空題的直接法又像是選擇題的求解對照法．方法(二)特例法當填空題暗示答案是一個“定值”或具“定性”特征時，我們可以取特殊數(shù)值、特殊圖形、特殊位置或特殊結構來確定這個“定值”“定性”，以節(jié)省推理論證的過程．我們把這些解填空題的方法統(tǒng)稱為特例法．對于解答題，特例常常只是提供論證的方向，而對填空題來說，往往不需要過程，就成為答案了．當題目的條件是從一般性的角度給出時，特例法尤為有效．[例2]設(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝________；a1＋a3＋a5＝________.方法(三)圖解法這是一種數(shù)形結合的解題方法．由于填空題不用寫出論證過程，因而畫出輔助圖示進行直觀分析便可填上最后答案．數(shù)學上的數(shù)軸、韋恩圖、函數(shù)的圖象、方程的曲線、三角函數(shù)、復數(shù)、向量等，本身就具有數(shù)形結合的特征．使用圖解法特別要用好坐標系，要善于進行幾何結構的分析，還要學會構造圖形．[例3]

(1)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，給出下列四個結論：①若k＝0，則f(x)有兩個零點；②?k＜0，使得f(x)有一個零點；③?k＜0，使得f(x)有三個零點；④?k＞0，使得f(x)有三個零點．以上正確結論的序號是__________．(2)設直線l：y＝kx＋b(k＞0)，圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝______；b＝________.[解題觀摩]

(1)零點個數(shù)問題，轉化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)來分析．令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，可轉化成兩個函數(shù)y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的圖象的交點個數(shù)問題．對于①，當k＝0時，y1＝|lgx|，y2＝2，如圖1所示，兩圖象有兩個交點，①正確；對于②，如圖2所示，存在k＜0，使得y1＝|lgx|與y2＝kx＋2相切，故②正確；對于③，如圖2所示，若k＜0，y1＝|lgx|與y2＝kx＋2的圖象最多有兩個交點，故③錯誤；對于④，當k＞0時，過點(0,2)存在函數(shù)g(x)＝lgx(x＞1)圖象的切線，此時共有兩個交點，當直線斜率稍微小于相切的斜率時，就會有3個交點，如圖3所示，故④正確．方法(四)猜想法猜想是根據(jù)部分理由而得出結論的合情推理，一個完整的數(shù)學解題過程常常要經歷“先猜后證”的兩個階段，猜想也是一種能力．解填空題除了要重點掌握好直接法、特例法、圖解法外，也可輔以猜想法．新高考出現(xiàn)了開放性填空題，意味著考生在掌握基礎知識的前提下，能先猜后證．[題型技法]答案不唯一的填空題可以大致分為兩種：(1)舉例子；(2)求題目中參數(shù)滿足的關系式，并取其中一個特殊參數(shù)作為答案．對于第(1)種，要求學生掌握基礎知識，聯(lián)想題目中的條件可以對應自己學過的哪些內容；對于第(2)種，需要把題目條件轉化得到關系式，取滿足條件的其中一個結果即可．總之，和解答選擇題一樣，解填空題的一個基本原則是：小題不大做．由于填空題追求“簡”而“準”，解答填空題時，只要求結果(必須是最簡結果，且要準確)，故對正確性的要求比解答題更高，更嚴格．因此，在解答填空題時要做到：快——運算要快，力戒小題大做；簡——答案是最簡結果；全——答案要全，力避殘缺不齊．新高考印象(三)結構不良題—引導學生多角度、開放式地思考問題開放題又稱結構不良題，是指條件或結論開放、解題方法多樣的試題．高考要考查創(chuàng)新能力必須改革命題方式，要通過提供多種材料，設計條件或結論開放、解題方法多樣的試題，增強試題的開放性和探究性，引導學生打破常規(guī)進行思考，自主發(fā)現(xiàn)問題，提出解決方案，做出獨立的判斷和解答，創(chuàng)造性地解決問題．由于受各種條件的限制，高考中的開放題更像是選做題，例如有的題目有三個備選條件，選擇其中一個(或兩個)解答，一旦選取之后，又與傳統(tǒng)意義上的封閉題是一致的；再比如，有的題目有三個條件，選其中兩個作為條件，另一個作為結論，若正確則給出證明，若不正確舉出反例等．開放題的開放方式有很多，開放題也并不神秘，只是一種試題的呈現(xiàn)形式．此類題型的設置一定程度上讓學生參與了命題，由原來的思維固化轉向開放多元，有利于引導學生多角度、開放式地思考問題．針對結構不良類試題的解答，可靈活采取以下策略．[題后悟法]本題中，“定”的條件有兩個，由此可以解決問題(1)，解決問題(2)時需從三個條件中選出一個進行解答，利用(1)的結論即可發(fā)現(xiàn)條件①不可選，對于②③，其解題難度都差不多，此時，應根據(jù)自己的知識優(yōu)勢和擅長之處選擇更合適自己的條件進行解答，即選擇“動”的條件的原則是自己熟悉且擅長．先動后定[例3]

(2021·煙臺一模)在①a3＋a5＝14；②S4＝28；③a8是a5與a13的等比中項，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答．問題：已知{an}為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}為等比數(shù)列，其前n項和Tn＝2n＋λ，λ為常數(shù)，a1＝b1，________.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)令cn＝[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值．[題后悟法]本題中，若先分析“定”的條件“Tn＝2n＋λ，λ為常數(shù)，a1＝b1”，則無法求解，反之，若先從“動”的條件入手，選擇其一，則可求出{an}，{bn}的通項公式，利用(1)的結論來求解問題(2)．由此可知，先“動”后“定”，還是先“定”后“動”要依據(jù)具體的題目條件來確定．邏輯推理[例4]已知{an}為等差數(shù)列，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列.請從①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3這三個條件中選一個填入上表，使?jié)M足以上條件的數(shù)列{an}存在，并在此存在的數(shù)列{an}中，試解答下列兩個問題：(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設數(shù)列{bn}滿足bn＝(－1)n＋1a，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

第一列第二列第三列第一行

第二行469第三行1287[解題觀摩]

(1)由題意知，a1，a2，a3的所有可能情況如下表：由上表可知a1＝1放在第一行第二列時滿足條件，此時a1＝1，a2＝4，a3＝7，∴an＝3n－2.

a2a3a1在第一行第一列時6798a1在第一行第二列時47912a1在第一行第三列時48612[題后悟法]本題先根據(jù)題意，通過邏輯推理將a1，a2，a3的所有可能情況列出來，再結合“動”的條件推理判斷哪個條件下存在滿足題意的等差數(shù)列{an}，進而求出{an}的通項公式及{bn}的前n項和．由此可見，在解決某些結構不良試題時，需要利用邏輯推理的方法對“定”與“動”的條件進行綜合分析推斷，從而高效解決問題．新高考印象(四)情景應用題—引導學生由“解題”向“解決問題”方向轉變數(shù)學應用就是在實際問題情境中，發(fā)現(xiàn)問題并轉化為數(shù)學問題，繼而選擇合適的數(shù)學模型表達所要解決的數(shù)學問題．數(shù)學應用范圍廣泛，在歷年高考中以不同的題型和形式進行考查，?？汲Ｐ?，極具創(chuàng)新性，特別是近年高考數(shù)學試題不斷貫徹落實新課標對數(shù)學應用的要求，貼近生活實際、關注社會熱點，考查學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng)，引導學生由“解題”向“解決問題”方向轉變．數(shù)學應用問題情景新、信息量大，難就難在對情景問題的抽象建模上．數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程．主要包括：在實際情況中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構建模型、求解結論、驗證結果并改進模型，最終解決實際問題．數(shù)學建模是中學生必備的數(shù)學核心素養(yǎng)之一．反過來，有些問題的解決也需要找出它的原始出處的原形，讓數(shù)學建模為解決數(shù)學問題服務．本講通過對下面高考真題進行分析，幫助同學們了解試題背景，歸納數(shù)學模型，從而提高解答數(shù)學應用題方面的能力．[數(shù)學建模](1)模型準備(數(shù)學表征)：題中元素有圓弧、扇形、三角值、平行、長度、距離、半徑；(2)模型假設(數(shù)學對應)：聯(lián)想到三角函數(shù)．因為與角度有關的問題，考慮到角度與旋轉有關，可以通過構造三角形進行建模，分割后的圖形由扇形、直角三角形兩部分構成；(3)模型建立(數(shù)學模型)：以立體幾何為載體的數(shù)學建模[例3]

(2020·新高考全國卷Ⅰ)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面．在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為

(

)A．20°

B．40°C．50° D．90°[數(shù)學建模](1)模型準備(數(shù)學表征)：題中元素涉及直線、平面、球、角度、截面；需要對條件進行數(shù)學抽象，將晷面抽象為平面，晷針抽象成直線，地球抽象成球，并進一步畫出反映三者圍著的截面圖(球心和晷針所確定的平面、晷面)；(2)模型假設(數(shù)學對應)：聯(lián)想到立體幾何，考查球體中的線、面、體三者位置關系，計算直線與平面所成角度；(3)模型建立(數(shù)學模型)：該模型由立體圖形、平面化后的平面幾何圖形構成；(4)模型求解：根據(jù)面面平行的性質定理和線面垂直的定義判定有關截線的關系，根據(jù)點A處的緯度，計算出晷針與點A處的水平面所成角．如圖，CD是赤道所在平面的截線；l是點A處的水平面的截線，依題意可知OA⊥l；AB是晷針所在直線．m是晷面的截線，依題意知，晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質定理可知m∥CD，根據(jù)線面垂直的定義可得AB⊥m.由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，也即晷針與點A處的水平面所成角為∠BAE＝40°.以統(tǒng)計案例為載體的數(shù)學建模[例4]

(2020·新高考全國卷Ⅰ)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：(Ⅰ)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；

SO2PM2.5

[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(Ⅱ)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)中的列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關聯(lián)(本小問也可這樣設問：判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關)?

SO2PM2.5

[0,150](150,475][0,75]

(75,115]

P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

[數(shù)學建模](1)模型準備(數(shù)學表征)：本題統(tǒng)計類型特征明顯，研究兩個分類變量間的關聯(lián)把握度問題；(2)模型假設(數(shù)學對應)：完成數(shù)據(jù)處理，填寫2×2列聯(lián)表，理解表中各項數(shù)據(jù)的意義；(3)模型建立(數(shù)學模型)：運用χ2值進行判斷；SO2PM2.5

[0,150](150,475]合計[0,75]641680(75,115]101020合計7426100以數(shù)學期望為載體的數(shù)學建模[例5]

(2021·新高考Ⅰ卷)某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．(Ⅰ)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列．(Ⅱ)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？說明理由．所以X的分布列為以現(xiàn)實熱點為背景的數(shù)學建模[例6]

(2020·新高考全國卷Ⅰ)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) (

)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天[歸納升華]優(yōu)化數(shù)學建模流程，探尋數(shù)學建模本質如圖是數(shù)學建?；顒拥囊话氵^程：上述流程注重完整性，從如何產生問題，到建模解模驗模全流程，面面俱到．但對于高中生來說，數(shù)學建模的重點是在確定問題的前提下，如何建立合理的數(shù)學模型，并解決模型．所以高中數(shù)學建模的流程還可以進一步優(yōu)化．如圖的流程關注學生從現(xiàn)實問題到數(shù)學模型的生成，即提煉現(xiàn)實問題中的元素數(shù)量關系、位置關系，結合所學數(shù)學知識，建立數(shù)學模型，求解數(shù)學模型，將數(shù)學的解與現(xiàn)實問題的解進行對應，并對現(xiàn)實問題給予合理解釋．四個環(huán)節(jié)的本質是四個對應過程：現(xiàn)實問題與數(shù)學模型的對應，數(shù)學模型與數(shù)學求解的對應，數(shù)學解答與現(xiàn)實問題解答的對應，現(xiàn)實解答與現(xiàn)實問題的對應．其中現(xiàn)實與數(shù)學的對應是數(shù)學學習的靈魂，也是數(shù)學的魅力所在，兩者是雙向的，即現(xiàn)實可以對應數(shù)學，數(shù)學也應可以對應現(xiàn)實．前者比較容易，后者則很難，高中數(shù)學學習可以設置兩個層級，一是數(shù)學問題對應數(shù)學模型，二是現(xiàn)實問題對應數(shù)學問題，再對應為數(shù)學模型．所以數(shù)學建模不能狹義地理解為只解決數(shù)學應用題，而應理解為是一切用數(shù)學工具解決問題的過程．新高考印象(五)考查思維品質—贏戰(zhàn)新高考應關注命題蘊含的幾類“點”新高考命題重在引導