第27講衛(wèi)星(天體)追及相遇模型

I真題示例

一(全國高考)太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿

同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線

的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為“行星沖日”。據(jù)報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月

9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地

外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是

地球火星木星土星天王星海王星

軌道半徑1.01.55.29.51930

(AU)

A.各地外行星每年都會出現(xiàn)沖日現(xiàn)象

B.在2015年內(nèi)一定會出現(xiàn)木星沖日

C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半

D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短

一.知識回顧

如果有兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)兩個不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運動，a衛(wèi)星的角速

度為3a，b衛(wèi)星的角速度為(Ob，某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲

所示，則當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差△。=兀，即滿足(OaAt-3bAt=7t時，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)，如圖乙

所示。兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的條件是(OaAt-3b。=(211+1)兀(11=0,123...),相距最近的條件是(OaAt-CObAt

=2n7t(n:=0,1,2,3...)o

1..r

/'\/

/.?...、、、'、:

:/\\;

\/\

、*

、*\a/

一-.…一.一一……J

甲乙

二.例題精析例1.如圖是在同一平面

不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛(wèi)星。設(shè)它們運行的周期分別是T|、T2(T1VT2),且某時

刻兩衛(wèi)星相距最近。問：

(1)兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是多少？

(2)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是多少？

(多選)例2.2020年6月23日，“北斗三號”最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星

發(fā)射中心點火升空，中國終于有了自己的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，未來將向全世界開放，也會成為70多億

人生活的一部分。北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)有55顆衛(wèi)星，若其中在同一平面不同軌道上同向運行的兩

顆人造地球衛(wèi)星甲和乙，它們運行的周期分別是2小時、16小時，且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。則

下列說法中正確的是()

A.兩顆衛(wèi)星再次相距最近的時間是絲小時

7

B.兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是(16k+4)(k=0,1,2,...)小時

C.乙衛(wèi)星點火加速可以與甲衛(wèi)星對接

D.甲、乙兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為1：4

三.舉一反三，鞏固練習(xí)

1.(多選)如圖是在同一平面不同軌道上運行的兩顆人造地球衛(wèi)星.設(shè)它們運行的周期分別是T］、

T2,(TI<T2),且某時刻兩衛(wèi)星相距最近.()

A.兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是t=

12一/1

B.兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是1=聲與1

C.兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是￡=亓?%

4/2T1)

D.兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是1=竽?用~(其中k=0.1.2…)

如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞同顆質(zhì)量未知，半徑為R的行星做勻速圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相

同，其中A為近地軌道衛(wèi)星，周期為T”B為靜止軌道衛(wèi)星，周期為T2,在某一時刻兩衛(wèi)星相

距最近，試用已知量求解下列問題：(引力常量G為已知)

(1)經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近？

(2)同步衛(wèi)星離地面的高度h=?

（3）該行星的平均密度p=?

2.1-二A、B兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運動。地球半徑為R,A衛(wèi)

星離地面的高度為R,周期為T,B衛(wèi)星離地面高度為3R,則：（結(jié)果可用根式表示）

（1）A、B兩衛(wèi)星周期之比是多少？

（2）若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星再次相距最近？

（3）若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？

3.如圖所示，A、B是地球的兩顆衛(wèi)星，衛(wèi)星A、B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，運行方向與地球

自轉(zhuǎn)方向相同。衛(wèi)星A離地面高度為7R,衛(wèi)星B離地面高度為R,R為地球半

徑，地球表面的重力加速度為g,O為地球中心。

（1）求衛(wèi)星A、B的運行周期之比。

（2）若某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（0、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們再

一次相距最近？

“嫦娥一號”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準(zhǔn)確進入預(yù)定軌道。隨后,

“嫦娥一號”經(jīng)過變軌和制動成功進入環(huán)月軌道。如圖所示，陰影部分表示月球，設(shè)想衛(wèi)星在

圓形軌道I上做勻速圓周運動，在圓軌道I上飛行n圈所用時間為3到達A點時經(jīng)過短暫的

點火變速，進入橢圓軌道n,在到達軌道n近月B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道m(xù)（軌

道半徑近似為月球半徑），而后衛(wèi)星在軌道III上繞月球做勻速圓周運動，在圓軌道HI上飛行n圈

所用時間為，不考慮其他星體對衛(wèi)星的影響。

（1）求月球的平均密度。

（2）求衛(wèi)星從軌道H上遠(yuǎn)月點A運動至近月點B所用的時間。

（3）如果在I、川軌道上有兩顆衛(wèi)星，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩衛(wèi)星相距最近（兩衛(wèi)

星在月球球心的同側(cè)，且兩衛(wèi)星與月球球心在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們又會相距

最近？

II

in\A

2014年3月8日馬航客機MH370失聯(lián)，多國衛(wèi)星在搜尋中發(fā)揮了重

要作用.如圖所示為某兩顆搜尋衛(wèi)星的運行示意圖，A是地球的同步衛(wèi)星.另一衛(wèi)星B的圓形

軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h,已知地球半徑為R,地球自轉(zhuǎn)周期為T.地球表面的重

力加速度為q，O為地球中心.

（1）求衛(wèi)星B的運行角速度3；

（2）若衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（0、B、A在同一直

線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近?

第27講衛(wèi)星（天體）追及相遇模型

I真題示例

一（全國高考）太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿

同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線

的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為“行星沖日據(jù)報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月

9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地

外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是

地球火星木星土星天王星海王星

軌道半徑1.01.55.29.51930

（AU）

A.各地外行星每年都會出現(xiàn)沖日現(xiàn)象

B.在2015年內(nèi)一定會出現(xiàn)木星沖日

C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半

D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短

答案：BD

解析：考察角追及和萬有引力定律。

由引力提供向心力可知

6審=加rft?相鄰兩次沖日的時間間隔

———其中。。表示的是地球的公轉(zhuǎn)角速度，Ox表示的是行星的公轉(zhuǎn)角速度。將第一式中

%-%

的結(jié)果代入到第二式中有

設(shè)行星的半徑是地球半徑的k倍，則上式可化為

977

上式中y=-^=,也就是地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期，即一年的時間。

GM

/Ir3

對于火星k=1.5,t=-n=-Y

TTF-i

/r~~23

d2X2.,3

對于木星k=5.2,t=-7==-Yr=L09y

757F-I5.2x2.3-1

至此可知，后面的行星沖日時間間隔大約都是1年，但又大于I年，因為只有4-8時才恰恰為

一年。

一.知識回顧

如果有兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)兩個不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運動，a衛(wèi)星的角速

度為6衛(wèi)星的角速度為孫”某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲

所示，則當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差△〃=n,即滿足34t—3bxt=Jt時，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)，

如圖乙所示。兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的條件是以At-3mt=(2/7+1)H(〃=o,1,2,3-),相距最近的條

件是3t—3bxt=2n「(n=0,1,2,3…)。

乙

二.例題精析

例1.如圖是在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛(wèi)星。設(shè)它們運行的周期分別是Ti、

T2(TI<T2),且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。問：(1)兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是多少？

(2)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是多少？

aJ

【解答】解：(1)依題意，T|<T2,根據(jù)開普勒第三定律可知，—=k,周期大

的軌道半徑大，故在外層軌道的衛(wèi)星運行一周所需的時間長。

設(shè)經(jīng)過At兩衛(wèi)星再次相距最近，則它們運行的角度之差△0=2m

2n2n.

—t-y^-t=2TT

解得t=

T2~T1

(2)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時，它們運行的角度之差

△0=(2k+l)n(k=0,1,2,…)

即爭一言=(2k+l)n(k=0,1,2,―)

解得t=(第*<2(k=0,1,2…)。

4/2~l1)

答：(1)兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是手-。

T2-T!

(2)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是華也半(k=0,1,2…)。

2(72-71)

(多選)例2.2020年6月23日，“北斗三號”最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火升

空，中國終于有了自己的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，未來將向全世界開放，也會成為70多億人生活的一部

分。北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)有55顆衛(wèi)星，若其中在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛(wèi)

星甲和乙，它們運行的周期分別是2小時、16小時?，且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。則下列說法中正

確的是()

16

A.兩顆衛(wèi)星再次相距最近的時間是亍小時

B.兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是(16k+4)(k=0,1,2,??-)小時

C.乙衛(wèi)星點火加速可以與甲衛(wèi)星對接

D.甲、乙兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為1：4【解答】解：A、設(shè)兩顆衛(wèi)星運行的周期分別為「、

27r27rAt

T2,設(shè)經(jīng)過時間兩衛(wèi)星再次相距最近，則它們運行的角度之差△0=2m即——-——=2m

Ti0

解得△t=￥小時，故A正確：

27r27TAt

B、兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時?，它們運行的角度之差46=(2k+l)iT(k=0、1、2……)，即——-——=

TiT2

(2k+l)n(k=0、1、2...),解得△[=16；+8(k=0、1、2...)小時，故B錯誤;

GMmv2

C、乙衛(wèi)星點火加速，v突然增大，乙衛(wèi)星將做離心運動，不可能與甲衛(wèi)星對接,

rzr

故C錯誤;

D、根據(jù)開普勒第三定律可知，鳥=鳥,解得3=±故D正確。

TiT/r24

故選：ADo

三.舉一反三，鞏固練習(xí)

1.（多選）如圖是在同一平面不同軌道上運行的兩顆人造地球衛(wèi)星.設(shè)它們運行的周期分別是Ti、

T2,（TI<T2）,且某時刻兩衛(wèi)星相距最近.（）

頒

三二^7A.兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是《="白

12T1

B.兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是t=Ji?、

C.兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是1=卡%

2-/1）

D.兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是1=綽上《甲（其中k=0.1.2…）

【解答】解：AC、兩衛(wèi)星再次相距最近時，轉(zhuǎn)動的角度相差2m即:

2冗27r汽

-t-7p-t=2lT

T1T2

解得小春分故C錯誤，A正確。

BD、兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時，轉(zhuǎn)動的角度相差（2k+l）n（其中k=0.1.2…），即:

(2k+l)IT,(k=0.1.2…)解得：t=2好'1.7(k=0.1.2…)。故B錯誤，D正確。

2I2-11

故選：AD。

2.如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞同顆質(zhì)量未知，半徑為R的行星做勻速圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相

同，其中A為近地軌道衛(wèi)星，周期為T”B為靜止軌道衛(wèi)星，周期為T2,在某一時刻兩衛(wèi)星相

距最近，試用已知量求解下列問題：（引力常量G為已知）

（1）經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近？

（2）同步衛(wèi)星離地面的高度h=?

（3）該行星的平均密度p=?

【解答】解：（1）衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力有:

GMm47r2r

=m-

r2T2

周期T=2nJ法,

某時刻兩衛(wèi)星相距最近，則可知經(jīng)過時間t兩衛(wèi)星再次相距最近時，AR星比B衛(wèi)星多轉(zhuǎn)過2ir

弧度,

r.27T27r

即有：（———）t=2n

TiT2

得1=

12T1

（2）衛(wèi)星做勻速圓周運動萬有引力提供向心力有:

GMm47r2r

二m-r

r2T2

A為近地軌道衛(wèi)星，周期為Ti，

3

4/2R

所以行星質(zhì)量M=

同步衛(wèi)星周期為T2,

GMT2岑=R+h

A2

、47r

3|?r2R3

所以同步衛(wèi)星離地面的高度h=J符—R。（3）根據(jù)密度的定義得:

行星的平均密度p=*=當(dāng)。

vGT\

答：（1）經(jīng)過二鳥，兩行星再次相距最近。

T2f

3

3T2?

（2）同步衛(wèi)星離地面的高度卜=

⑶該行星的平均密度p=良。

3.A、B兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運動。地球半徑為R,A衛(wèi)星離地面的高度

為R，周期為T,B衛(wèi)星離地面高度為3R,則：（結(jié)果可用根式表示）

（1）A、B兩衛(wèi)星周期之比是多少？

（2）若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星再次相距最近？

（3）若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)?

【解答】解：（1）地球半徑為R,A衛(wèi)星離地面的高度等于R,B衛(wèi)星離地面高度為3R,

所以RA=2R,RB=4R

由開普勒第三定律可知，獸=粵

TA畤

解得：TA：TB=1：2VL

(2)設(shè)經(jīng)過t時間，兩衛(wèi)星再次相距最近

27r27r

此時A比B多轉(zhuǎn)一圈，即(―--)1=2TT

TATB

解得：t=界＞

其中：TA=T

則t=8+嚴(yán)T。

(3)設(shè)經(jīng)過t'時間，兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)

此時A比B多轉(zhuǎn)(n+0.5)圈，n=0、1、2

2n2n

(———)t'=(n+0.5)2n,n=0、1、2

TATB

解得：t'=生弊(2n+l)T,n=0、1、2--

答：(1)A、B兩衛(wèi)星周期之比是I：2V2?

8+2V2

(2)若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過一二T兩衛(wèi)星再次相距最近。(3)

7

4+V2

若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則經(jīng)過一工(2n+l)T,n=0、1、2……，兩衛(wèi)

7

星相距最遠(yuǎn)。

4.如圖所示，A、B是地球的兩顆衛(wèi)星，衛(wèi)星A、B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，運行方向與地球

自轉(zhuǎn)方向相同。衛(wèi)星A離地面高度為7R,衛(wèi)星B離地面高度為R,R為地球半

徑，地球表面的重力加速度為g,0為地球中心。

(1)求衛(wèi)星A、B的運行周期之比。

(2)若某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(0、B、A在同一直線上)，則至少經(jīng)過多長時間,它們再

一次相距最近？

【解答】解：由萬有引力提供向心力：岑苧

=m=m3gm2r解

得它們再一次相距最近時，一定是B比A多轉(zhuǎn)了一圈，有:

（U）B-（A）A）t=2n

由以上各式可得：t=孥楞

答：⑴求衛(wèi)星A、B的運行周期之比為8：1。

（2）若某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（0、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過它們再

一次相距最近。

“嫦娥一號”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準(zhǔn)確進入預(yù)定軌道。隨后，“嫦娥一號”經(jīng)過變軌

和制動成功進入環(huán)月軌道。如圖所示，陰影部分表示月球，設(shè)想衛(wèi)星在圓形軌道I上做勻速圓

周運動，在圓軌道I上飛行n圈所用時間為t,到達A點時經(jīng)過短暫的點火變速，進入橢圓軌

道H,在到達軌道H近月B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道HI（軌道半徑近似為月球半

徑），而后衛(wèi)星在軌道HI上繞月球做勻速圓周運動，在圓軌道HI上飛行n圈所用時間為:，不考

慮其他星體對衛(wèi)星的影響。

（1）求月球的平均密度。

（2）求衛(wèi)星從軌道II上遠(yuǎn)月點A運動至近月點B所用的時間。

（3）如果在I、III軌道上有兩顆衛(wèi)星，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩衛(wèi)星相距最近（兩衛(wèi)

星在月球球心的同側(cè)，且兩衛(wèi)星與月球球心在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們又會相距

最近？

II

【解答】解：(1)設(shè)月球的質(zhì)量為M,半徑為R,“嫦娥一號”的質(zhì)量為

衛(wèi)星在圓軌道in上的運動周期為：丁3=壺

由萬有引力提供向心力有：G竽=mR,

又根據(jù)：M=p?^7T/?3

聯(lián)立解得：好言=雷

(2)設(shè)衛(wèi)星在軌道I上的運動周期為T