第五節(jié)空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示

【考試要求】

1.會(huì)進(jìn)行空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算.

2.理解共線(xiàn)向量定理與共面向量定理，并能解決相關(guān)問(wèn)題.

3.會(huì)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，能利用向量的數(shù)量積解決向量的夾角、模以及兩向量的垂直問(wèn)

題.

【高考考情】

考點(diǎn)考法：高考命題常與直線(xiàn)、平面的平行與垂直以及空間角結(jié)合在一起考查，主要考查如

何建立空間直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及運(yùn)用公式求解問(wèn)題.

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象

Q一知謂梳理二＞1&/爰一o

歸納?知識(shí)必備

1.空間向量有關(guān)概念

(1)共線(xiàn)向量：如果表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合,則這些向量叫

做共線(xiàn)向量或平行向量.

⑵共面向量川：平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.

＞注解1空間中任意兩個(gè)向量是共面向量，任意三個(gè)向量不一定是共面向量.

2.空間向量有關(guān)定理

(1)共線(xiàn)向量定理：兩個(gè)空間向量a,6(8W0),a〃6的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)x,使0

=xb.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,力不共線(xiàn)，則向量c與向量a,6共面的充要條件是存在

唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，力，使c=xa+yb.

⑶空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在唯二的

有序?qū)崝?shù)組(x，z),使〃=xa+yb+zc.

3.空間向量有關(guān)運(yùn)算

(1)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(M,M，Z),b=y2,z),

則a+b=(x,+x2,yt+y2,zt+z2)；

a—b—區(qū)一電，乂-z2)；

4a=(Axpkyv2z.).

(2)數(shù)量積運(yùn)算：a。6=為也+必%+ziZ2=|a||b|cos〈a,b).

4.空間向量有關(guān)公式

(1)空間兩點(diǎn)間距離公式：

Z(Xi，71，z),8(為，必，z),

則&B=AB=J(%2-X|)2+d-y)2+仁2-Z|)2.

⑵空間兩點(diǎn)的中點(diǎn)公式：

：_一+%2

2，

設(shè)點(diǎn)〃(x,y,力為P、(X\,y},z),P2{x2,y2,z?)的中點(diǎn)，則《y=/十必,

2

ZZ1+Z2

、2

⑶空間向量共線(xiàn)與垂直公式：

若a=(&,%，?),8=(如y2＞z?)為非零向量，則

a±ZK=＞a,6=0=Xir+%%+ziZ2=0.

a//b^a=zl枚=＞荀=兒蒞，乂=兒(，Zi=兒處.

(4)空間向量模與夾角公式：

設(shè)a=(x”乂，z),8=(用，y2,&)

a/=-\/a?a=yj￡；+片+z；；

/a?b____________XIX；+M-+ZIZ2__________

cos=WW=5；+/+了?1：＞+Z；,

5.空間向量有關(guān)結(jié)論

⑴對(duì)空間任一點(diǎn)。，若三點(diǎn)RA,8滿(mǎn)足禽=APB^OP=xOA+yOB(X+K=1)QP,4

6三點(diǎn)共線(xiàn).

(2)證明空間四點(diǎn)共面的方法

對(duì)空間任一點(diǎn)0,若四點(diǎn)P,M,A,B滿(mǎn)足而=niMA+rM3=＞辦=xOM+yOA+zOB(x+y

+z=1)0P,M,48四點(diǎn)共面.

智學(xué)?變式探源

1.選擇性必修一P5練習(xí)T42.選擇性必修一P48T5

1.（改變條件）如圖，在四面體力比'中，G是△46。的重心，〃是0G的中點(diǎn)，則（）

f1f+4應(yīng)+:充

A.OD=~OA

o66

B.OD=\dA+\oB^OC

066

一1一

C.OD=~OA

0O

一1一+\oB+\dC

D.OD=~OA

ooo

【解析】選B.如圖

記點(diǎn)E為此的中點(diǎn)，連接AE,0E,所以龐=|(OB+0C),

222

又G是△/回的重心，則AG=~AE,所以赤=-AE=-(0E-0A).

OOO

1

-

20G((24+AG)

11

1

-

-游+!應(yīng)=4澇+J(OB+0C)

263o6

=7OA+JVB+J0C.

666

2.(改變形式)已知向量3=(1,0,—1),/?=(0,1,—1),若向量〃滿(mǎn)足〃_La,n±b,

且n=小,則向量n=.

【解析】設(shè)A=（X，y>z）,因?yàn)閦??a=O,n,b=Q,

所以x=y=z,又因?yàn)?+了+z?=3,

所以x=l,y=l,z=l,或x=-1,y=—1,z=—1.

答案：（1,1,1）或（-1,—1,—1）

慧考?四基自測(cè)

3.基礎(chǔ)知識(shí)4.基本方法5.基本應(yīng)用6.基本能力

3.(線(xiàn)性運(yùn)算)如圖，在空間四邊形如比'中，OA=a,OB=b,OC=c.點(diǎn)."在物上，且0M

=2MA,N是寬的中點(diǎn)，則訪V=()

A.-a—~b+~cB.--a+~b+~c

1,1,22,21

C.-a+-b—~cD.-a+~b~~c

【解析】選B.由題知，在空間四邊形如寬中，OA=a,OB=b,OC=c.點(diǎn)M在如上，且

22I1

。仁2場(chǎng)，牙是a'的中點(diǎn)，則礪=~A0=--a,ON=-c+-b,所以痂=M0+0N=-

oo乙乙

Ia+|b+\c.

4.（共線(xiàn)、共面）在下列條件中，使，"與4B,C一定共面的是（）

A.OM=0A-OB-OC

B.我=《灑+［應(yīng)+］左

532

C.MA+訪+MC=0

D.0M+游+0B+0C=0

【解析】選C."與4B,。一定共面的充要條件是

O\f=xOA+yOB-\-zOC,x+y+z=l,對(duì)A選項(xiàng)，

因?yàn)?一1一1=一171,不能得出圈A,B,C共面.

對(duì)B選項(xiàng)，因?yàn)?+:W1,不能得出〃，A,B,C共面.

532

對(duì)C選項(xiàng)，由于法I=一礪-MC,

則而…礪，該為共面向量，所以亂A,B,。共面.

對(duì)D選項(xiàng)，由9+灑+乃+應(yīng)1=0,

得畫(huà)=-OA-OB-OC,而一1一1一1=一3/1,

所以不能得出機(jī)A,B,。共面.

5.(數(shù)量積的應(yīng)用)已知向量a=(l,-3,2),方=(-2,m,-4),若a〃4則實(shí)數(shù)加的值

是；若則實(shí)數(shù)加的值是.

【解析】a=(1,—3,2),6=(—2,m,一4),若a〃方，

則(1,—3,2)=4(—2,m,-4),解得j2.

〔"=6

若a_L6,則w?6=-2—3R—8=0,解得勿=一日.

O

答案：6-￥

6.(數(shù)量積的應(yīng)用)在正方體/aD48a〃中，M,N分別為棱北和的的中點(diǎn)，則sin(CM,

*b的值為.

【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。燈z,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則易得場(chǎng)=(2,-2,1),D.N

=(2,2,-1),

CM.fiN1

所以cos(CM

D,N)9

|CM||D,N|

答案:呼

O一—點(diǎn)探究?悟法培坦-O

，考點(diǎn)一空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算自主練透

1.已知空間四邊形如6G其對(duì)角線(xiàn)為防，4G機(jī)/V分別是如，8。的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線(xiàn)段初V

上，且旃=2GN,現(xiàn)用基底｛而，0B,沅｝表示向量而，有龍=xOA+yOB+zOC,則

x,y,z的值分別為.

【解析】如圖，

）212

因?yàn)榛?=0M+MG=-04+-W=-04+-（畫(huà)-0M）

乙3乙3

0A+|（；7）B+10C—；灑）="0A+；OB+10C,

所以x=[,y=2，z=g.

小山111

答案：R，W，不

633

2.如圖，在長(zhǎng)方體4a24AG〃中，。為/C的中點(diǎn).

a

----IfIf

①化簡(jiǎn)A.O—萬(wàn)ABAD=

乙乙

②用宓，Ab,AA1表示OC；,則OC；=.

【解析】①AQ—：AB—JAD=(AA+A0)一：AB—J~AD

乙乙乙1乙

=A.A+-{AB+AD)一；ABAb=A,A.

②OC；=^+CC；=:而+CC1

乙

=:(AB-\-~AD)+AAt=；~AB+J~AD+AA,.

11

鬲

前

±通

①L十-+A

22A,

，規(guī)律方法

空間向量線(xiàn)性運(yùn)算的策略

（1）先選基底，再用法則.

⑵法則有：三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則.

3考點(diǎn)二共線(xiàn)、共面向量定理及應(yīng)用I講練互動(dòng)

[典例1]（1）（金榜原創(chuàng)?易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰）

17

①對(duì)空間中四點(diǎn)4B,C,P,若9拔+d衣，則只B,。三點(diǎn)（）

OO

A.不共面B.共面C.共線(xiàn)D.不共線(xiàn)

11

GR貝?R4

--JH

②對(duì)空間中四點(diǎn)48oB,。四點(diǎn)（）

A.不共面B.共面

C.共線(xiàn)D.不共線(xiàn)

③對(duì)空間中四點(diǎn)B,C,P,若空間任意一點(diǎn)。都有澇5=~0A+~0B+~0C,則P,A,

4oo

B,。四點(diǎn)（）

A.不共面B.共面

C.共線(xiàn)D.不共線(xiàn)

17

【解析】①選C.因?yàn)橄蛄科瘘c(diǎn)相同，-+-=1,所以只B,。三點(diǎn)共線(xiàn).

OO

②選B.由共面向量基本定理可得.

③選B.由己知可得那-OA=-7OA+^0B+

4o

10C,即9-OA=-1OAOBOC0A,

OOOOO

得蘇=-1(湯-0B)4-1(OC-0A)

OO

1一J一1一Jf

=-oBA+0AC=-AB+-AC，

oooo

所以9，AC,法共面，故尸，A,B,。四點(diǎn)共面.

⑵已知a=⑵—1,3),6=(—1,4,—2),c=(7,5,4)，若a,b,c三向量共面，則

實(shí)數(shù)幾等于()

【解析】選D.由a,b,c三向量共面，設(shè)a=mb+nc,

則(2,-1,3)=勿(一1,4,一2)+〃(7,5,4),

65

即J—1=4勿+5〃,解得兒=學(xué).

，規(guī)律方法

共線(xiàn)、共面向量的應(yīng)用

(1)向量共線(xiàn)可以用來(lái)判斷直線(xiàn)平行、三點(diǎn)共線(xiàn)；

(2)向量共面可以用來(lái)判斷直線(xiàn)與平面平行，四點(diǎn)共面；

(3)根據(jù)向量共線(xiàn)和向量共面求參數(shù)取值.

,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

如圖，己知0,A,B,C,D,E,F,G,，為空間的9個(gè)點(diǎn)，且龍=在而，OF=kOB,OH=

kOD,AC=AD+niAB,EG=EH+mEF,k#0,*0,

求證：(1)/，B,C,〃四點(diǎn)共面，E,F,G,，四點(diǎn)共面；

⑵衣//EG；

⑶流=kOC.

【證明】(1)因?yàn)橐?~M)-\-mAB,胖0,所以4B,C,〃四點(diǎn)共面，因?yàn)橘|(zhì)=EH+/nEF,

加WO,所以￡,F,G,，四點(diǎn)共面.

⑵擊=EH+niEF=OH-OE+m{OF一應(yīng)')=4(應(yīng)~OA)+癡(龍-OA)=磁+kniAB

=k(AD+niAB)=kAC,所以衣//EG.

(3)宓=OE-\-EG=kOA+kAC=k(0A+AC)=kOC.

中【加練備選】

如圖所示，已知斜三棱柱4跖486點(diǎn)MN分別在“；和式'上，且滿(mǎn)足血=詡。，BN=

kBC(OWAW1),判斷向量痂是否與向量能，力4共面.

【解析】因?yàn)樘K，=AB+BN=AB+kBC=AB+k(AC-AB)=(1—A)焉+kAC,AM=

A雞=—AA+而)，所以訪V=加一應(yīng)=(1一后焉一女人瓦，所以由共面向量定理知

向量痂與向量森，AA；共面.

?‘考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用多維探究

高考考情：空間向量的運(yùn)算是立體幾何在高考中必備考點(diǎn)之一，求向量的模、夾角和建立空

間直角坐標(biāo)系求點(diǎn)的坐標(biāo)是本部分考查的重點(diǎn).

?角度1求空間向量數(shù)量積

［典例2］正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F分別為棱BC,AD的中點(diǎn)，則前-BA的值為（)

A.4B.-4C,-2D.2

11

-+

【解析】選〃因?yàn)樾?AF-AE2-Ab2(ABAc

(AD-AB-AC),

所以昨?BA=1(AD-AB-AC)?BA

(AD?BA-AB-BA-AC?BA)

=|[(2X2X(-j)+4-2X2X(-1)]=j(-2+4+2)=2.

?角度2用空間向量數(shù)量積求長(zhǎng)度

［典例3］⑴如圖，在大小為45°的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE,CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正

方形，則B,D兩點(diǎn)間的距離是（）

A.^3B.y[2C.1D.^3-^2

【解析】選〃因?yàn)榍?BF+FE+ED,

所以|前|2=|BF|2+|FE|2+|ED|2+2BF-FE+2FE?ED+2BF-ED

=1+1+1—\/2=3—\y2.

故廊|73f.

(2)正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AG上且前=-MC',N為BJ3的中點(diǎn)，則|浦

1為()

迪近遮巫

A.「aB.力-a6.0a1).a

6663n

【解析】選4以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0),C.(0,a,

、/a、

a),N(a,a,").

乙

設(shè)M(x,y,z).

一1-------

因?yàn)辄c(diǎn)M在AG上且AM=-

乙MC,,

所以(x—a,y,z)=5(-x,a—y,a—z),

乙

??2aa亡片./2aaa、

所以x=wa,丫=鼻,z=w,所以M(k,鼻，鼻),

oooJJJ

所以際|=AI(a—1a)1+(a—1)2+a.

\l33236

?角度3用空間向量數(shù)量積求夾角

［典例4］⑴已知a+，+c=0,|a1=2,\b\=3,\c\=4,則a與力的夾角〈a,b)=()

A.30°B.45°

C.60°D.以上都不對(duì)

【解析】選D.因?yàn)閍+b+c=0,所以a+b=-c,兩邊平方得(a+力)?=(―c尸，即

113

+Z>J=c'=?a,b=~(c2—a2—Z>')=~(4J—2"—32)=-,

所以cos〈a,玲=:：［引=1,選項(xiàng)A,B,C都不滿(mǎn)足，D符合要求.

(2)已知a=(3,-2,-3),8=(—1,x—1,1),且a與力的夾角為鈍角，則x的取值范圍

是()

A.(—2,+°°)B.1—2,IjU(|,+°0

C.(-8,—2)D.+°°j

a?b-3一2(x—1)—3

［解析］選B.cos

~\a?\b\~y/22?.2+(x—1)?

5

解得X>—2,因?yàn)閍與Z>不能反向，所以才工司.

o

?角度4空間向量的平行與垂直問(wèn)題

［典例5］(1)向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(一4,-6,2),下列結(jié)論正確的是

__________.(填序號(hào))

①a"b,a//c；

②a"b,a_Lc；

③a〃c,al.b.

【解析】因?yàn)閏=(—4,—6,2)=2(—2,—3,l)=2a,所以a〃c.又a?Z>=(-2)X2+(一

3)XO+1X4=O,所以a±b.

答案：③

(2)已知點(diǎn)4B,。的坐標(biāo)分別為(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(無(wú)

0,y),若PALAB,PALAC,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.

【解析】PA=(—x,1,一力，AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1).

因?yàn)闉開(kāi)L/6,PALAC,所以百LAB,PALAC,

即9?AB=x+y~l=0,PA-AC=~2x~y=Q,

所以*=-1,y=2,故點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(一1,0,2).

答案：(一1,0,2)

，規(guī)律方法

空間向量的數(shù)量積應(yīng)用

(1)數(shù)量積的運(yùn)算有兩種方式：一是用基底進(jìn)行運(yùn)算；二是用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.

(2)數(shù)量積的應(yīng)用解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題.

⑶注意向量模|a+力+c|等求解公式的記憶.

.多維訓(xùn)練

f1f------

1.（2021?威海模擬）在正三棱柱/跖45G中/8==2,點(diǎn)。滿(mǎn)足助=5+AA］）,

則CD=?

【解析】因?yàn)榱δ?5G是正三棱柱，所以加」平面力比；且△/灰為等邊三角形，

如圖，以4為原點(diǎn)，4C所在的直線(xiàn)為y軸，過(guò)點(diǎn)力垂直于4C的直線(xiàn)為x軸，44所在的直線(xiàn)

為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）,B（&1,0）,4（0，0,2）,C（0,2,0）,

AB=1,0）,AA（=（0，0，2）,

所以9（AB+AA］）=：（m，1,2）J，1

B1

即2

2-

答案：2

2.（2021?福州模擬）已知四棱柱ABCD-ABCD為正方體.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AD,＞（BBi+BC）

B.卡?（可瓦-^^）=0

c.向量AD；與向量A/的夾角是60。

_________^2

D.（A|A+AR+A3|尸=3A1BJ

【解析】選C不妨設(shè)正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為1,以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸,

DD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則A（l,0,0）,B（l,1,0）,C（0,1,0）,D（0,0,0）,

A,（l,0,1）,B,（l,1,1）,C,（0,1,1）,Di（0,0,1）.

z

/方7c,

B

X

選項(xiàng)4AD；=(—1,0,1),

BB^+BC=(0,0,1)+(-1,0,0)=(-1,0,1),

因?yàn)殡?萬(wàn)瓦十流,所以阻〃(函+反)，

故選項(xiàng)/正確；

選項(xiàng)6：A]C=(—1，1，—1),

A1B1'-A1A=(0,1,0)-(0,0,-1)=(0,1,1),

有^^?(瓦118；-&^)=0+1*1+(-0*1=0,

故選項(xiàng)6正確；

選項(xiàng)C：AD*=(-b0,1),A,B=(0,1,-1),

有IAD；尸蛆,A/=y[2,

AD1?A(B=0+0—1=—1,

記向量入可與向量Am的夾角為0,0e[o,,

.AD.?A.B—11

貝Ucosa=?||?-r-京=-T，

|班?卜同^2X722

又oe[o，刈，所以。=一丁=120。，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D-.因?yàn)锳1A+AQ[+AB=A1A+A￡=AQ,

又AIC=(-1,1,-1),

所以(珞+A^+XX)2=“)2=(—1)2+l2+(-l)2=3,

又A|B；=(。，1，0)，所以A|B「=1，

有(A.A+A,D'+A.B,')2=3A,B'2,故選項(xiàng)〃正確.

3.★（命題?新視角）正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為1,M,N分別在線(xiàn)段A￡與BD上，MN的

最小值為.

【解析】方法一（定義轉(zhuǎn)化法）：因?yàn)橹本€(xiàn)AC與BD是異面直線(xiàn)，所以當(dāng)MN是兩直線(xiàn)的公垂

線(xiàn)段時(shí)，MN取得最小值.取人￡的中點(diǎn)P,BD的中點(diǎn)Q.則線(xiàn)段PQ就是兩異面直線(xiàn)AC與BD

的公垂線(xiàn)段.

證明如下.

在矩形BDDB中，PQ為中位線(xiàn)，所以PQ〃BB”

又因?yàn)锽B」平面ABCD,所以PQ_L平面ABCD,

又因?yàn)锽Du平面ABCD,

所以PQ±BD.同理可證PQLAC,

而PQCBD=Q,