線性代數(shù)幾何背景及應用第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、方程及方程組的幾何意義二元一次方程在幾何上表示的是一根直線，則兩個二元一次方程組在幾何上則表示兩根直線的位置關(guān)系：

相交====〉有惟一解平行====〉無解重合====〉無窮多解

例1

求解下列三個線性方程組

（a）

（b）（c）第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日用ezplot(s1),holdon,ezplot(s2),命令可以解出結(jié)果如下圖其中s1和s2分別為方程的字符串表達式第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日

若有三個二元一次方程或更多個數(shù)的二元一次方程，代數(shù)上稱之為“超定方程”，一般是不相容的和無解的，幾何中平面上三根或更多根直線很難交于一點。

例2求解方程組用圖解法解例2

第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日

三元一次方程在幾何上表示平面，從而兩個三元一次方程構(gòu)成的方程組表示兩個平面的交線，三個三元一次方程構(gòu)成的方程組兩兩聯(lián)立求交線，得到兩個二元一次方程，對于求得兩根交線在xoy面上的投影。求得兩根交線的交點即為方程組的解。若三個平面不重合且沒有交線或交點，則表示該方程組無解。如下例。

第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日例3求解下列線性方程組，并畫出三維圖形來表示解的情況。（1）；（2）；（3）；（4）第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日利用MATLAB的M文件編輯器繪圖可得：

圖3三元非齊次線性方程組解的幾何意義第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日

從圖3中可以看出：方程組（1）的解為三個平面的交點，故該方程組有唯一解；方程組（2）的三個平面剛好相交于同一條直線，這個齊次線性方程組有無窮多解，即解空間是一維的。方程組（3）的三個平面沒有共同的交點。即方程組無解。方程組（4）也無解。

第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日

推廣之后，更多元的線性代數(shù)方程組，則表示更高維空間內(nèi)的方程組，雖然很難想象直觀的幾何圖形，但關(guān)于方程的基本概念是一脈相承的，涉及到計算就是從幾何概念過渡到代數(shù)概念。如：階數(shù)、維數(shù)等概念。第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、行列式的幾何意義二維已知向量由向量和所構(gòu)成的平行四邊形的面積為行列式的絕對值第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日三維已知三個向量

由這三個向量所構(gòu)成的平行六面體的體積即為

三階行列式的絕對值

如圖

第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日三、平面上線性變換的幾何意義例3

已知向量，

矩陣，，，

，。請分析經(jīng)過線性變換后，向量與原向量的幾何關(guān)系。第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日繪制圖形如下圖所示：

圖4線性變換的幾何意義第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日

從圖4中可以看出：矩陣對進行線性變換的結(jié)果為向量的豎直軸對稱向量；矩陣對進行線性變換的結(jié)果為向量的水平軸對稱向量；矩陣對進行線性變換的結(jié)果為把向量的橫坐標乘以0.5，把的縱坐標乘以2得到的向量；矩陣對進行線性變換的結(jié)果為把向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)所得到的向量。第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日

例4：設(shè)x為二維平面上第一象限中的一個單位方塊，其四個頂點的數(shù)據(jù)可寫成把不同的A矩陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結(jié)果yi=Ai*x。用程序ag911進行變換計算，并畫出x及yi圖形：

x[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1),

fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r') A1[1,0;0,1],y1A1*x subplot(2,3,2),

fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g')第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日繪制幾何圖形可得：第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日

使用MATLAB時，行列式用Di=det(Ai)求得，特征值和特征向量則用[pi,lamdai]=eig(Ai)計算，算得的結(jié)果如下：第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日關(guān)于筆算與機算的結(jié)合

①矩陣的賦值和其加、減、乘、除（求逆）命令；②矩陣化為最簡行階梯型的計算命令；[U0,ip]=rref(A)③多元線性方程組MATLAB求解的幾種方法；x=inv(A)*b,U=rref(A)④行列式的幾種計算機求解方法；D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(U))⑤n個m維向量組的相關(guān)性及其秩的計算方法和命令;r=rank(A),U=rref(A)⑥求線性方程組的基礎(chǔ)解系及方程解的MATLAB命令；xb=null(A)⑦矩陣的特征方程、特征根和特征向量的計算命令；f=poly(A);[P,D]=eig(A)⑧化二次型為標準型的MATLAB命令；yTDy=xTAx;其中y=P-1x,第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日解高階線性方程組的方法解右列方程組AX=b可有多種方法,如(1)X=A\b(2)化為行最簡型A=[3,-4,2,2,-1;0,-6,0,-3,-3;4,-3,4,3,-2;1,2,1,0,-5;-2,6,-2,1,3]b=[2;-3;2;-2;1];X=inv(A)*b,pauseC=[A,b],[Uc,ip]=rref(C)第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日應用一：線性方程組與矩陣1.1插值多項式例1給定t-y平面上的三個點(1,2),(2,3)和(3,6)，求過這三點的二次多項式函數(shù)：解：本題歸結(jié)為求a,b,c三個系數(shù)，使它們滿足下列各方程第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日

這是典型的三元線性方程組，用Matlab時，鍵入：>>B=[1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6];x=rref(B)得到x=1003010-2 0011第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日

x矩陣的最后一列即為a，b，c的值，則待求二次多項式為：例2下表給出函數(shù)上4個點的值，試求三次插值多項式 ，并求的近似值。ti0123f(ti)30-16第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：令三次多項式函數(shù)過表中已知的4點，可以得到四元線性方程組：應該用計算機求解，鍵入：>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],s=rref([A,b])第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日得到x=100030100-20010-200011得到，三次多項函數(shù)為,故近似等于第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日1.2平板穩(wěn)態(tài)溫度的計算

在鋼板熱傳導的研究中，常常用節(jié)點溫度來描述鋼板溫度的分布。例3

假設(shè)圖1中鋼板已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)溫度分布，上下、左右四個邊界的溫度值如圖所示，而表示鋼板內(nèi)部四個節(jié)點的溫度。若忽略垂直于該截面方向的熱交換，那么內(nèi)部某節(jié)點的溫度值可以近似地等于與它相鄰四個節(jié)點溫度的算術(shù)平均值，如。請計算該鋼板的溫度分布。第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日圖1平板的溫度分布解：根據(jù)已知條件可以得到以下線性方程組：化簡為標準的矩陣形式如下：第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日

在MATLAB命令窗口輸入：

A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4];b=[30;50;60;80];U=rref([A,b])第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日結(jié)果為：U=1.000000021.250001.00000026.2500001.0000028.75000001.000033.7500得到方程組的解為：℃，℃，℃，℃。在例3中，把鋼板內(nèi)部分成了2×2個節(jié)點，本例把鋼板內(nèi)部分為5×5個節(jié)點，如圖2所示。求鋼板的穩(wěn)態(tài)溫度分布，并繪制溫度分布圖形。第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日

鋼板的溫度分布如圖3所示。其中x、y坐標分別表示鋼板橫、縱方向的節(jié)點數(shù)，高度表示節(jié)點的溫度值，該三維圖形形象地反映了鋼板的溫度分布。圖3鋼板的溫度分布第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日

1.3交通流量的分析例4某城市有兩組單行道，構(gòu)成了一個包含四個節(jié)點A,B,C,D的十字路口，如圖2所示。汽車進出十字路口的流量（每小時的車流數(shù)）標于圖上?，F(xiàn)要求計算每兩個節(jié)點之間路段上的交通流量。（假設(shè)，針對每個節(jié)點，進入和離開的車數(shù)相等）圖2單行道4節(jié)點交通流圖第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：根據(jù)已知條件可以得到，四個節(jié)點的流通方程為節(jié)點A：節(jié)點B：節(jié)點C：節(jié)點D：將以上方程組進行整理，得第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日Matlab程序ea110為>>A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1]>>b=[160;-40;210;-330]>>U0=rref([A,b])

可以得出其最簡行階梯形矩陣

由于U0的最后一行為全零，也就是說，四個方程中實際上只有三個獨立方程，所以該方程組為欠定方程，存在無窮多組解。第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日若以

為自由變量，方程組的解可以表示為：

如果有一些車圍繞十字路的矩形區(qū)反時針繞行，流量。都會增加，但并不影響出入十字路的流量。這就是方程組有無窮多解的原因。第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日人口遷徙問題例5假設(shè)一個城市的總?cè)丝跀?shù)是固定不變，但人口的分布情況變化如下：每年都有5％的市區(qū)居民搬到郊區(qū)；而有15％的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。若開始有700000人口居住在市區(qū)，300000人口居住在郊區(qū)。請利用分析：（1）10年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（2）30年后、50年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（3）分析（2）中數(shù)據(jù)相似的原因。第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：這個問題可以用矩陣乘法來描述。令人口變量其中為市區(qū)人口所占比例，為郊區(qū)人口所占比例。在n+1年的人口分布狀態(tài)為：用矩陣乘法可寫成：

第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日開始市區(qū)和郊區(qū)的人口數(shù)為

可以得到n年后市區(qū)和郊區(qū)的人口分布：因此10年后的人口可用程序計算如下：A=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];X10=A^10*X0程序運行的結(jié)果為：市區(qū)和郊區(qū)人口數(shù)約為：744630和255370。第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日無限增加時間n，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。為了弄清為什么它趨向于一個穩(wěn)態(tài)值，可以將A對角化。令，其中Λ為對角矩陣，則有對角矩陣的冪次可以化為元素的冪次

所以，它就很容易計算。

第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日程序la24%分析n年后城市人口分布A=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];[P,lamda]=eig(A);symsn%定義符號變量nXn=P*lamda.^n*inv(P)*X0%.^n對矩陣lamda中所有元素進行冪運算計算結(jié)果為：隨n增大后一項(4/5)^n趨近于零。第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日多項式插值與擬合例6下表給出了平面坐標系中五個點的坐標。（1）請過這五個點作一個四次多項式函數(shù)，并求x=5時的函數(shù)值。用MATLAB繪制多項式函數(shù)曲線、通過已知點及插值點。（2）請根據(jù)這五個點，擬合一個二次多項式函數(shù)，并用MATLAB繪制多項式函數(shù)曲線及已知的五個點。x01234y-270210-75第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：（1）根據(jù)已知條件，把五個點的坐標值分別代入四次多項式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：其中矩陣：第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日系數(shù)矩陣A的行列式為范德蒙(Vandermonde)行列式，且五個坐標點的橫坐標各不相同，則該行列式不等于零，所以方程組有唯一解。寫出程序：x=[0;1;2;3;4];%輸入已知點坐標y=[-27;0;21;0;-75];%構(gòu)造范德蒙矩陣，也可用內(nèi)置的vander函數(shù)A=[x.^0,x.^1,x.^2,x.^3,x.^4];a=A\y;%得到適定方程組的唯一解a，運行程序，得到a(1)=-27,a(2)=12,a(3)=26,a(4)=-12,a(5)=1第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日多項式擬合要解一個超定方程把五個點的坐標值分別代入二次多項式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：其中，第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日該方程組有三個未知數(shù)，但有五個方程，進一步分析可以得到該方程組無解，即不存在一個二次多項式曲線剛好能過已知的五個點。MATLAB軟件提供了一個利用最小二乘法解決超定方程組解的方法。求系數(shù)的公式也是a=A\y，以找到一條二次曲線來近似地描述已知5點的變化情況。對比插值和擬合的曲線如下圖第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日剛體的平面運動例7用平面坐標系中的一個閉合圖形來描述剛體，用一個矩陣X來表示它。X的一列表示剛體一個頂點的坐標。為了使圖形閉合，X的最后一列和第一列相同；為了實現(xiàn)剛體的平移運算，給矩陣X添加元素值都為1