用放縮法證明數(shù)列中的不等式第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)就太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)又太小”，這就讓同學(xué)們找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺(jué)得高不可攀！

高考命題專家說(shuō)：“放縮是一種能力.”

如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在！

其實(shí)，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，放縮法也是“有法可依”的，本節(jié)課我們一起來(lái)研究數(shù)列問(wèn)題中一些常見(jiàn)的放縮類型及方法，破解其思維過(guò)程，揭開(kāi)其神秘的面紗，領(lǐng)略和感受放縮法的無(wú)限魅力！第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日放縮目標(biāo)模型可求和可求積等差模型等比模型錯(cuò)位相減模型裂項(xiàng)相消模型第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日幾種常見(jiàn)的放縮方法平方型：立方型：第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日根式型：指數(shù)型：奇偶型：平方型、立方型、根式型都可放縮為裂項(xiàng)相消模型指數(shù)型可放縮為等比模型奇偶型放縮為可求積第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日一.放縮目標(biāo)模型——可求和第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日不等式左邊可用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和.分析左邊表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日不等式左邊可用“錯(cuò)位相減法”求和.分析由錯(cuò)位相減法得表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日左邊不能直接求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，如何放縮？分析將通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列注意到左邊第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日左邊不能直接求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，如何放縮？分析注意到將通項(xiàng)放縮為錯(cuò)位相減模型第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日【方法總結(jié)之一】第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日左邊可用裂項(xiàng)相消法求和，先求和再放縮.分析表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日左邊不能求和，應(yīng)先將通項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)相消模型后求和.分析保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然也成立.第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日變式2的結(jié)論比變式1強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式1放縮的“度”進(jìn)行修正，如何修正？分析保留前兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮思路一左邊將變式1的通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開(kāi)始放縮.當(dāng)n=1,2時(shí)，不等式顯然也成立.第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日變式2的結(jié)論比變式1強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式1放縮的“度”進(jìn)行修正，如何修正？分析保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮思路二左邊將通項(xiàng)放得比變式1更小一點(diǎn).當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然也成立.第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日變式3的結(jié)論比變式2更強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式2放縮的“度”進(jìn)一步修正，如何修正？分析保留前兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮思路一左邊將變式2思路二中通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開(kāi)始放縮.當(dāng)n=1,2時(shí)，不等式顯然也成立.第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日變式3的結(jié)論比變式2更強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式2放縮的“度”進(jìn)一步修正，如何修正？分析保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮思路二左邊將通項(xiàng)放得比變式2思路二更小一點(diǎn).當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然也成立.第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日評(píng)注第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日【方法總結(jié)之二】

放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的過(guò)程中，很多時(shí)候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留數(shù)列的第一項(xiàng)或前兩項(xiàng)，從數(shù)列的第二項(xiàng)或第三項(xiàng)開(kāi)始放縮，這樣才不致使結(jié)果放得過(guò)大或縮得過(guò)小.第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日牛刀小試（變式練習(xí)1）證明當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然也成立.第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日右邊保留第一項(xiàng)思路為了確定S的整數(shù)部分，必須將S的值放縮在相鄰的兩個(gè)整數(shù)之間.第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日右邊保留第一項(xiàng)思路為了確定S的整數(shù)部分，必須將S的值放縮在相鄰的兩個(gè)整數(shù)之間.第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日分析思路左邊利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型∵∴第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日分析左邊∵∴保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項(xiàng)也放縮為等比模型后求和？

當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然也成立.第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日【方法總結(jié)之三】第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日思路第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日證明∵∴評(píng)注用分析法尋找證明思路顯得一氣呵成！第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日【方法總結(jié)之四】第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二.放縮目標(biāo)模型——可求積第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日思路第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日證明∵∴第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日【方法總結(jié)之五】第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日牛刀小試（變式練習(xí)2）(1998全國(guó)理25第(2)問(wèn))證明第三十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日放縮目標(biāo)模型可求和可求積等差模型等比模型錯(cuò)位相減模型裂項(xiàng)相消模型第三十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日又如：我們可以這樣總結(jié)