直線與平面的夾角第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日3．2.3直線與平面的夾角第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日如圖在正方體ABCD—A1B1C1D1中．問題1：AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影嗎？提示：因為AA1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影．第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日問題3：由問題2你能得到什么結(jié)論？提示：斜線與射影的夾角小于斜線與平面內(nèi)其他直線的夾角．

提示：當θ為銳角時α＋θ＝90°，當θ為鈍角時，θ＝90°＋α.問題2：你能比較∠A1CA與∠A1CB的大小嗎？第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

1．直線與平面的夾角(1)如果一條直線與一個平面垂直，這條直線與平面的夾角為

；(2)如果一條直線與一個平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與平面的夾角為

；(3)斜線和它在平面內(nèi)的

所成的角叫做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角)；(4)直線與平面的夾角的范圍是

．0射影第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日2．最小角定理(1)線線角、線面角的關(guān)系式：如圖，OB是OA在平面α內(nèi)的射影，OM?α，θ是OA與OM所成的角，θ1是OA與OB所成的角，θ2是OB與OM所成的角，則cosθ＝

．cosθ1cosθ2第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日它在平面內(nèi)的射影第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日1．斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是銳角．2．cosθ＝cosθ1·cosθ2中，θ1，θ2，θ分別是斜線與射影，射影與平面內(nèi)的直線，斜線與平面內(nèi)的直線所成的角，θ>θ1，θ>θ2.第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日[例1]

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，試求B1D1與面A1BCD1所成角的正弦值．[思路點撥]作出B1點在平面A1BCD1內(nèi)的射影，從而得到B1D1在平面A1BCD1內(nèi)的射影．第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日[精解詳析]

作B1E⊥A1B，垂足為E，又因為A1D1⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E.由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得B1E⊥面A1BCD1，

所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1內(nèi)的射影，從而∠B1D1E就是D1B1與面A1BCD1所成的角．第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日[一點通]作直線與平面夾角的一般方法：在直線上找一點，通過這個點作平面的垂線，從而確定射影，找到要求的角．其中關(guān)鍵是作平面的垂線，此方法簡稱為“一作，二證，三計算”．第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點．(1)求證：PB⊥DM；(2)求BD與平面ADMN所成的角．第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日解：(1)證明：∵N是PB的中點，PA＝AB，∴AN⊥PB.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，又∵∠BAD＝90°，∴AD⊥面PAB，∴AD⊥PB.∴PB⊥平面ADMN.∵DM?平面ADMN，∴PB⊥DM.第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日2．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AA1、AB的中點，求EF和平面ACC1A1夾角的大?。谑隧?，共三十九頁，2022年，8月28日第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日[例2]

∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA與平面α所成的角．[思路點撥]根據(jù)定義或cosθ＝cosθ1·cosθ2求解．第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

[一點通]

求線面角關(guān)鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉(zhuǎn)化為平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，進而證明AH⊥平面α，從而證明H是點A在平面α內(nèi)的射影．解法二則靈活應(yīng)用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求線面角，也是常用的方法．第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日答案：C第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日4.如圖所示，四棱錐P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直線PB與平面ABCD所成的角θ.第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中(如圖)，M、N分別是棱B1C1、AD的中點，求直線AD與平面BMD1N所成角的余弦值．第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日6.如圖，在棱長為1的正方體ABCD—

A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，

CP＝m，試確定m，使直線AP與平面

BDD1B1所成角的正切值為3.第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日求直線與平面所成角的方法：(1)定義法：找(或作)出直線在平面內(nèi)的射影，得到線面角，通過解三角形進行計算．(