（完整）工程力學教案緒論0.1工程力學的課程內(nèi)容及其工程意義工程力學是一門關于力學學科在工程上的基本應用的課程，它通過研究物體機械運動的一般規(guī)律來對工程構件進行相關的力學分析和設計，其包含的內(nèi)容極其廣泛。本書僅包括工程靜力學和材料力學兩部分。機械運動是人們在日常生活和生產(chǎn)實踐中最常見的一種運動形式，是物體的空間位置隨時間的變化規(guī)律。工程靜力學研究的是機械運動的特殊情況，即物體在外力作用下的平衡問題，包括對工程物體的受力分析，對作用在工程物體上的復雜力系進行簡化，總結力系的平衡條件和平衡方程，從而找出平衡物體上所受的力與力之間的關系。構件，是工程上的機械、設備、結構的組成元素。材料力學是研究工程構件在外力作用下，其內(nèi)部產(chǎn)生的力，這些力的分布，以及將要發(fā)生的變形，這些變形中有些在外力解除后是可以恢復的，稱為彈性變形；而另一些不可恢復的變形，則稱為塑性變形。為保證工程機械和結構的正常工作，其構件必須有足夠的承載能力，即必須具有足夠的強度、剛度和穩(wěn)定性。足夠的強度，是保證工程構件在外力作用下不發(fā)生斷裂和過大的塑性變形。足夠的剛度，是保證工程構件在外力作用下不發(fā)生過大的彈性變形。足夠的穩(wěn)定性，是保證工程構件在外力作用下不失穩(wěn)，即不改變其本來的平衡狀態(tài).在工程實際中，廣泛地應用著工程力學的知識.例如圖0—1所示的簡易吊車，為了保證它能正常工作，首先需要用靜力學知識分析和計算各構件所受的力，然后再應用材料力學知識，在安全、經(jīng)濟的前提下合理地確定各構件的材料和尺寸。因此，工程力學是一門技術基礎課程，1（完整）工程力學教案它為后繼專業(yè)課程和工程設計提供了必要的理論基礎。圖0。2工程力學的研究模型在工程力學中，由于工程靜力學和材料力學所研究的問題不同，其工程模型也是各不相同的。工程靜力學的研究模型為剛體，即受力后理想不變形的物體。因為大多數(shù)情形下，工程構件受力后產(chǎn)生的變形很小，忽略不計也不會對構件的受力分析產(chǎn)生影響。而材料力學的研究模型是變形體。因為材料力學是通過研究物體的變形規(guī)律來對工程構件進行安全性設計，所以構件的變形是不可忽略的。特別需要注意的是，由于工程靜力學和材料力學的研究模型不同，在工程靜力學中所采用的某些受力分析方法，在材料力學中是不適用的。如前圖0—1簡易吊車中的斜桿，如果將其兩端所受的力沿作用線任意移動，不會改變斜桿的平衡狀態(tài)，但是斜桿的變形卻發(fā)生了明顯的改變，如圖0—2。這就說明力可以沿其作用線在剛體內(nèi)任意移動，但在變形體上則不可以.（完整）工程力學教案圖0-2第一篇 工程靜力學工程靜力學研究作用在平衡物體上的力及其相互關系，其包括以下三方面的問題：.各種力系的平衡條件及其應用；.力系的等效替換或簡化；.物體的受力分析。第1章工程靜力學基礎本章主要介紹工程靜力學的基本概念，包括力和力矩的概念、力系和力偶的概念、約束和約束力的概念以及力偶系的合成與平衡.1.1力力的概念及其效應（完整）工程力學教案力是物體間相互的機械作用，這種作用使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生變化，或者使物體發(fā)生變形。力使物體的運動狀態(tài)發(fā)生變化的作用效應，叫做力的外效應；而使物體發(fā)生變形的效應，則叫做力的內(nèi)效應。而力對物體的作用效應，取決于力的大小、方向和作用點，通常被稱為力的三要素.力系的概念工程中把作用于物體上的一群力稱為力系。根據(jù)力系中力的作用線是否在同一平面，力系可分為：平面力系和空間力系；根據(jù)力系中力的作用線是否匯交，力系可分為：匯交力系、平行力系和任意力系。對力系研究的內(nèi)容為：各力系的合成結果和平衡條件。1。1.3力的性質(zhì)★加減平衡力系原理在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用?！锪Φ目蓚餍栽碜饔糜趧傮w上的力可沿其作用線移到剛體內(nèi)的任一點，而不改變對剛體的作用。所以作用在剛體上的力是滑動矢量，力的三要素為大小、方向和作用線.★平行四邊形法規(guī)作用在物體的同一點上的兩個力的合力仍作用在該點上，其大小和方向由兩個力組成的平行四邊形的對角線表示。44（完整）工程力學教案合力（合力的大小與方向）：FR=F1+F2（矢量的和）亦可用力三角形求得合力矢.1.2約束和約束力1.2。1約束和約束力的概念能在空間有任意位移的物體稱為自由體.阻礙非自由體運動的限制條件稱為對非自由體的約束.而約束對物體的作用力稱為約束力。工程中約束的種類很多，根據(jù)其所具有的特性，可以歸納成以下幾種基本類型。1.2。2柔性約束（繩索、皮帶、鏈條）由柔軟的繩索、膠帶或鏈條等構成的約束。柔性體只能受拉力，又稱張力，用ft表示.1。2.3光滑面的約束

（完整）工程力學教案具有光滑接觸面（線、點）的約束（光滑接觸約束）光滑支承接觸對非自由體的約束力，作用在接觸處；方向沿接觸處的公法線并指向受力物體,故稱為法向約束力，用Fn表示。1。2.4光滑鉸鏈的約束（徑向軸承、圓柱鉸鏈、固定鉸鏈支座等）（1）徑向軸承（向心軸承）約束特點：當不計摩擦時，軸與孔在接觸處為光滑接觸約束—一法向約束約束力：當外界載荷不同時，接觸點會變，則約束力的大小與方向均有改變.可用二個通過軸心的正交分力Fx,Fy表示。

(完整)工程力學教案(完整)工程力學教案1。2.5滑動軸承與推力軸承(1)滾動支座約束力：構件受到垂直于光滑面的約束力.約束力：構件受到垂直于光滑面的約束力.約束特點：止推軸承比徑向軸承多一個軸向的位移限制.約束力：比徑向軸承多一個軸向的約束力，亦有三個正交分力。1。3平衡的概念（完整）工程力學教案二力平衡與二力構件作用在剛體上的兩個力，使剛體保持平衡的必要和充分條件是：這兩個力的大小相等，方向相反，且作用在同一直線上。使剛體平衡的充分必要條件：fi=F2.不平衡的三力平衡條件作用于剛體上三個相互平衡的力，若其中兩個力的作用線匯交于一點，則此三力必在同一平面內(nèi)，且第三個力的作用線通過匯交點。1.4受力圖1。4。1隔離體和受力分析步驟在受力圖上應畫出所有力，主動力和約束力（被動力）畫受力圖步驟：1、取所要研究物體為研究對象（分離體），畫出其簡圖2、畫出所有主動力

（完整）工程力學教案（完整）工程力學教案3、按約束性質(zhì)畫出所有約束（被動）力1.5力矩1.5.1力對點之矩力對點之矩用Mo（F）=rXF表示，它是一個矢量。其中F為，0為矩心，r為F到O的矢徑.大小：|M(F)|=|rXF|=J(yF-zF)2+(zX—xZ)2+(xY+yX)2關，是個定位矢量。（F）=±Fh方向：±A0AB,按右手法則確定關，是個定位矢量。（F）=±Fh力對點之矩的矢量與矩心位置有平面內(nèi)的力對點之矩為代數(shù)量M0逆時針方向為十，順時針方向為1.5.2力對軸之矩力對剛體所產(chǎn)生的繞某軸轉(zhuǎn)動的效應即為力對軸之矩。大小等于力在垂直于該軸的平面力對剛體所產(chǎn)生的繞某軸轉(zhuǎn)動的效應即為力對軸之矩。大小等于力在垂直于該軸的平面上的投影對軸和平面的交點之矩。同樣逆時針方向為十，順時針方向為一。mz（F）=0的情況：力mz（F）=0的情況：力F平行于力F通過z力F與z軸共面1.5.3合力矩定理合力矩定理：若力系可合成為一合力（R=EF）,則其合力對點（軸）之矩等于力系的各個力對同點（軸）之矩的矢量（代數(shù)）和。(對同點（軸）之矩的矢量（代數(shù)）和。(M(R)=Em(F))（矢量和）平面力系的情況下：MJR）平面力系的情況下：MJR）=Em。（F）（代數(shù)和）（完整）工程力學教案1.6力偶及其性質(zhì)1。6。1力偶的概念力偶：由兩個等值、反向、不共線的（平行）力組成的力系稱為力偶，記作（F,F,）1。6。2力偶的性質(zhì)1。力偶在任意坐標軸上的投影等于零.2.力偶對任意點取矩都等于力偶矩本身，不因矩心的改變而改變。3。只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時改變力偶中力的大小與力臂的長短，對剛體的作用效果不變.4。力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡。空間力偶的力偶矩是個矢量，以也表示。矢量的線段表示力偶作用面的方位，矢量的長短代表力偶矩的大小，矢量的箭頭以右手法則表示力偶的轉(zhuǎn)向。這就是力偶的三要素。兩力偶的等效條件是：它們的力偶矩矢量相等。力偶矩矢是個自由矢量。10（完整）工程力學教案1。6。3力偶系的合成及其平衡力偶系合成的結果得到一個合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各力偶偶矩矢矢量和。M=M1+M2+……+M=EM.第2章力系的簡化本章主要研究各種力系的簡化。對于力系分類，我們可以按：力系中各力的作用線是否在同一平面內(nèi)力系可分：平面力系和空間力系按力系中各力的作用線是否匯交一點力系可分：匯交力系、力偶系和任意力系力在坐標軸上的投影1力在坐標軸上的投影力的矢量表示式f f f fF=Xi+Yj+Zk.直接投影法已知：力的大小F,力與坐標軸的夾角aByX=Fcosa Y=FcosP Z=Fcosy2。二次投影法已知：f,仰角e,方位角4先投影到xoy平面上 Fxy=Fsine再投到軸上X=Fcos?=Fsinecos?Y=Fsin?=Fsinesin?xy11

（完整）工程力學教案（完整）工程力學教案Z=Fcos02。1。2合力投影定理合力在某軸上的投影等于力系中各力在同一軸上投影的代數(shù)和。R二EFR二EFR二EF2。2力線平移定理力線的平移定理若要將一個力平行移到剛體內(nèi)的任一點，而不改變它對剛體的作用，則必須在該力和新的作用點所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩等于原來的力對新的作用點之矩。逆定理：可以將一個作用在B點的力和一個作用在同平面內(nèi)的力偶合成為一個作用在A點的力。3平面任意力系的簡化2。3.1平面任意力系向已知點的簡化 主矢與主矩12。3。2固定端約束

12。3。2固定端約束(完整)工程力學教案(完整)工程力學教案固定端約束的作用為一個大小方向待定的約束力RA和一個約束力偶mA,用三個未知量Xa,Ya,mA表示。3簡化結果的討論1。簡化的三種最后結果力偶「R’=0Mo10合力合力Mo10 平衡R'=0 Mo=02。合力矩定理若平面任意力系合成為一合力時，其合力對平面內(nèi)任一點之矩，等于力系的各力對同一點之矩的代數(shù)和。表示為：若R=WF,貝UMo(R)=2m0(F)13（完整）工程力學教案2。4其他力系的簡化2。4.1平面匯交力系的合成結果平面匯交力系的合成結果 合力R=EF;用幾何表示為力的多邊形的最后一邊。2。4.2空間任意力系的簡化對于空間任意力系的簡化，我們同樣應用力線的平移定理，得到的結果為 合力和一合力偶.R=WF, Mo（R）=Wmo（F）既合力等于力系中各力的矢量和，合力偶等于力系中各力對簡化中心取矩的矢量和。第3章工程中的靜力平衡問題分析本章主要研究工程中各力系的平衡條件和平衡方程，包括簡單的剛體系統(tǒng)的平衡問題。此外，本章還介紹了工程中的靜定與靜不定問題的概念。3。1平面力系的平衡條件與平衡方程3.1.1平面任意力系的平衡條件與平衡方程平面任意力系向一點簡化，得到一主矢和一主矩，那么平面任意力系平衡的充要條件是：力系的主矢和對任意點的主矩都等于零14（完整）工程力學教案F'=0M=0平衡方程:oOoO===。FxFyM上式稱為平面任意力系平衡方程一般形式。3。1.2平面任意力系平衡方程的其他形式平面任意力系作用下剛體平衡方程的二矩式如下：WFx=0,WmA（F）=0,ZmB（F）=0條件為A、B兩個取矩點連線，不得與投影軸x垂直。平面任意力系作用下剛體平衡方程的三矩式如下：2mA（F）=0, ZmB（F）=0, EmC（F）=0,條件為A、B、C三個取矩點不得共線。3。1.3平面匯交力系和平面平行力系的平衡（配重）平面匯交力系可以合成為一合力，因此，力系平衡的必要與充分條件是力系的和力為零。平面匯交力系平衡條件可以用幾何形式和解析形式來表示，幾何條件就是力的多邊形自行封閉；解析條件就是2F=0?？杀硎緸?Fx=0, 2Fy=0.3.2簡單的剛體系統(tǒng)平衡問題3。2。1剛體系統(tǒng)靜定與靜不定的概念在求解單個剛體的平衡問題時，對于每一種力系，都有其獨立的平衡方程數(shù)目.當未知量的數(shù)目少于或等于平衡方程數(shù)目時，應用剛體的平衡條件，就可以求出全部未知量，這種問題稱15(完整)工程力學教案為靜定問題。反之，若未知量的數(shù)目大于力系的平衡方程數(shù)目，則僅應用剛體的平衡條件是不能求出全部未知量的，這種問題稱為靜不定問題。3.2.2剛體系統(tǒng)平衡問題的求解求解剛體系統(tǒng)平衡問題與求解單一剛體平衡問題的步驟基本相同，即選擇適當?shù)难芯繉ο?畫出其分離圖和受力圖，然后列出平衡方程求解.不同之處是，單一剛體平衡問題研究對象的選擇是唯一的，而剛體系則不同，可以選擇剛體系統(tǒng)整體或其某個部分作為研究對象，并寫出相應的平衡方程。這樣，在求解剛體系統(tǒng)的平衡問題時，研究對象的選擇存在多樣性和靈活性，問題的解法也往往不止一種。3.4空間力系平衡問題本章將研究作用于剛體上的空間任意力系的簡化結果與平衡條件。3.4。1空間力系的平衡條件與平衡方程設剛體上作用有空間任意力系(FjF”…F?,在剛體上任選一點。為簡化中心，將力系力系中每個力平移至0點，則可得一空間匯交力系(F/F”…F?和由所有附加力偶組成的空間力偶系(MjM”…M??？臻g匯交力系可合成一通過簡化中心0的合力Fr，空間力偶系可合成一合力偶M。在空間任意力系作用下剛體平衡的必要與充分條件是合力Fr為零及合力偶M為零。即ZFx=0 ZFy =0 ZFz=0 Wmx (F) =0 Zmy (F) =0 Wmz (F)=0此式稱為空間任意力系作用下剛體平衡方程，可解六個未知量。對于空間平行力系，可以看成空間任意力系的特殊情況，上面六個方程有三個成為恒等式，WFx三0,EFy三0,Wmz(F)三0,所以只有三個有效方程，即EFz=0Wmx(F)=0 Zmy(F)=0上式稱為空間平行力系作用下剛體的平衡方程，可解三個未知量。16（完整）工程力學教案第二篇材料力學前一篇主要討論了剛體在載荷作用下的平衡規(guī)律，本篇將討論變形體在載荷作用下的力學性能。工程中常見的機器和結構.例如機床、內(nèi)燃機、起重機等,都是由構件組成的。為了保證機器和結構在載荷作用下能正常地工作，必須要求這些構件具有足夠的承受載荷的能力（簡稱承載能力）。構件的承載能力文要由以下三方面來衡量：.強度構件在工作時首先要保證不破壞。例如，起重用的鋼絲繩，在起吊額定的重力時不能被拉斷，傳動軸在正常工作時不能被扭斷等.可見，所渭的強度是指構件抵抗破壞的能力。構件能正常工作必須具有足夠的強度。.剛度在有些場合，構件受載后雖不會斷裂.但由于變形過大，也會影響機器或結構的正常工作。例如傳動中的齒輪軸，如果變形過大，會使齒輪嚙合不良，引起振動和噪聲，影響傳動的精確性.所謂的剛度是指構件抵抗變形的能力。構件能正常工作必須具有足夠的剛度。.穩(wěn)定性工程中，某些受軸向壓縮的細長桿，如千斤頂中的螺桿，當壓力較小時.螺桿保持直線的平衡形式。當壓力達到某一數(shù)值時，螺桿就會由直線的平衡形式突然彎曲。這種突然改變原有平衡形式的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定（簡稱失穩(wěn)）?？梢姺€(wěn)定性是指構件保持其原有平衡形式的能力。這類桿件能正常工作，必須具有足夠的穩(wěn)定性.17（完整）工程力學教案綜上所述，為了保證構件能安全、正常地工作，構件必須具有足夠的強度、剛度和穩(wěn)定性。但是，如果只強調(diào)安全，構件尺寸可能選得過大或不恰當?shù)剡x用優(yōu)質(zhì)材料，這將使構件的承載能力得不到充分發(fā)揮.結構笨重、成本增加，造成浪費。材料力學的任務就是在保證構件既安全又經(jīng)濟的前提下.為構件選用臺適的材料，確定合理的截面形狀和尺寸，提供必要的基礎知識。第4章材料力學的基本概念材料力學的基本假設材料力學研究的對象均為變形固體。它們在載荷作用下要發(fā)生變形。變形固體的變形可分18（完整）工程力學教案為彈性變形和塑性變形。載荷卸除后能消失的變形稱為彈性變形；載荷卸除后不能消失的變形稱為塑性交形。為便于材料力學問題的理論分析，對變形固體作如下假設：連續(xù)性假設即假設組成固體的物質(zhì)不留空隙地充滿了固體的體積.實際上，組成固體的粒子之間存在著空隙并不連續(xù)，但這種空隙與構件的尺寸相比極其微小，可以不計.于是就認為固體在其整個體積內(nèi)是連續(xù)的。這樣，在對某些力學量進行數(shù)學分析時，就可將其用連續(xù)性函數(shù)表示，并可進行坐標增量為無限小的極限分析。均勻性假設即假設固體內(nèi)到處具有相同的力學性能。就使用最多的金屬來說，組成金屬的各晶粒的力學性能并不完全相同。但因構件或構件的任一部分中都包含為數(shù)極多的晶粒，而且無規(guī)則地排列，固體的力學性能是各晶粒的力學性能的統(tǒng)計平均值，所以可以認為各部分的力學性能是均句.這樣，如從固體中取出一部分，不論大小，也不論從何處取出，力學性能總是相同的。4。1.3各向同性假設即假設無論沿任何方向，固體的力學性能都是相同的.就金屬的單一晶粒來說，沿不同的方向，力學性能并不一樣.但金屬構件包含數(shù)量極多的晶粒，且又雜亂無章地排列，這樣沿各個方向的力學性能就接近相同了。具有這種屬性的材料稱為各向同性材料，如鑄鋼、鑄銅、玻璃等.沿不同方向力學性能不同的材料稱為各向異性材料，如木材、膠合板和某些人工合成材料等。4。1。4小變形假設在工程實際中，構件受力后的變形一般都很小，材料力學只研究這種小變形問題。小變形是19（完整）工程力學教案指構件的變形量遠小于其原始尺寸的變形.由于變形小，故在分析構件受力的平衡關系時，變形的影響可以忽略不計，仍按構件原有尺寸進行計算，如圖4。1所示.圖4。1小變形假設4。2彈性桿件的外力和內(nèi)力4。2.1外力當研究其一構件時，可以設想把這一構件從周圍物體中單獨取出，并用力來代替周圍各物體對構件的作用.這些來自構件外部的力就是外力。我們在靜力學的受力分析中討論的所有主動力和約束力都屬于構件的外力.4。2.2內(nèi)力為了維持構件各部分之間的聯(lián)系，保持構件的形狀和尺寸，構件內(nèi)部各部分之間必定存在著相互作用的力，該力稱為內(nèi)力。在外部載荷作用下，構件內(nèi)部各部分之間相互作用的內(nèi)力也隨之改變，這個因外部載荷作用而引起的構件內(nèi)力的改變量，稱為附加內(nèi)力.在材料力學中，附加內(nèi)力簡稱內(nèi)力。它的大小及其在構件內(nèi)部的分布規(guī)律隨外部載荷的改變而變化，并與構件的強度、剛度和穩(wěn)定性等問題密切相關.若內(nèi)力的大小超過一定的限度，則構件將不能正常工作.內(nèi)力分析是材料力學的基礎。20

（完整）工程力學教案（完整）工程力學教案4.2.3求解內(nèi)力的截面法為了揭示在外力作用下構件所產(chǎn)生的內(nèi)力，確定內(nèi)力的大小和方向，通常采用截面法。截面法可以用以下四個步驟來概括：.截在構件上任意截面由一由處假想地截開構件，將構件分成兩個部分，見圖4.22。如果所取截面與構件的軸線垂直稱為橫截面，而構成任意夾角的稱為斜截面。(a)PP3P5Dz(c)P3P2(d)(a)PP3P5Dz(c)P3P2(d)圖4。2截面法2.任意取其中的一部分，注意在取的時候除了要取出這一部分的結構幾何圖形，還要2.同時加上這一部分所受的全部外力，包括主動力和約束力。3.代在所取部分的截面上加上內(nèi)力，見圖4.2b.必須注意的是，首先，由于所取部分實際處于平衡狀態(tài)，因此所加內(nèi)力必須與其上所受的外力構成一個平衡力系；其次，內(nèi)力實際上是分布于整個截面上的，因此所加內(nèi)力是將這些分布內(nèi)力向截面形心簡化的合力形式，如圖4.2c所示。一般情況下，所加的內(nèi)力合力須沿各坐標方向，如圖4.2d所示，我們把沿構件軸線方向，與截面垂直的內(nèi)力稱為軸力（圖中的F），與截面平行的內(nèi)力成為剪力（圖中的\x和\），與截21

（完整）工程力學教案面垂直的內(nèi)力矩矢稱為扭矩（圖中M）,與截面平行的內(nèi)力矩矢稱為彎矩（M和M）,這些內(nèi)力在以后的各章中都會詳細分析。4。平最后根據(jù)所取部分上由外力和內(nèi)力構成的力系的實際情況，選用適當?shù)撵o力平衡方程求出所加內(nèi)力。4。3正應力與切應力由于截面上的內(nèi)力是分布在整個截面上的，上述用截面法求出的截面上的內(nèi)力只是其合力形式。要描述截面上內(nèi)力的分布情況，在這里必須引入應力的概念。所謂應力，即是截面上的分布內(nèi)力在一點的集度，也就是截面某單位面積上內(nèi)力的大小。如圖4.3a所示，在截面上任意一點時處取一微小面積4A，設作用在該面積上的內(nèi)力為△!"，則AF和AA的比值，稱為這塊面積內(nèi)的平均應力，用p表示，AAPm（4-1AAPm（4-1）當4A趨于零，平均應力有極值此極值即為時點的應力，也稱為全應力，用p表示。如圖4.3b所示，一般情形下，橫截面上的分布內(nèi)力，總可以分解為兩種：作用線垂直于截面的；作用線位于橫截面內(nèi)的。我們把作用線垂直于截面的應力稱為正應力，用。表示；作用線位于截面內(nèi)的應力稱為切應力或剪應力，用T表示。應力的單位為「2（N/m2）,工程中常用的還有MPa（N/mm2）和GPa,其中1MPa=106Pa,1GPa22

（完整）工程力學教案（完整）工程力學教案=109Pa.4.4正應變與切應變?nèi)绻麑椥泽w看作由許多微小的單元體所組成，彈性體整體的變形則是所有單元體變形累加的結果。而單元體的變形則與作用在其上的應力有關。圍繞受力彈性體中的一點截取單元體（通常為正六面體）.一般情形下單元體的各個面上均有應力作用。下面考察兩種最簡單的情形，分別如圖4-4a、b所示。對于正應力作用下的單元體（圖4.4a），沿著正應力方向和垂直于正應力方向特產(chǎn)生伸長和縮短，這種變形稱為線變形.描寫彈性體在各點處線變形程度的量，稱為正應變或線應變。用E表示。根據(jù)單元體變形前后x方向長度dx的相對改￡X圖4.4正應變dudx￡X圖4.4正應變dudx（4-2）式中，dx為變形前單元體在正應力作用方向的長度，du為微元體變形后相距dx的兩截面沿正應力方向的相對位移；￡x的下標x表示應變方向。切應力作用下的單元體將發(fā)生剪切變形，剪切變形程度用單元體直角的改變量度量.此單元體直角改變量稱為切應變或剪應變，用Y表示。在圖4。4b中，Y=90—a—B,Y的單位23（完整）工程力學教案為rad。關于正應力和正應變的正負號，一般約定：拉應變?yōu)檎?；壓應變?yōu)樨?。產(chǎn)生拉應變的應力（拉應力）為正；產(chǎn)生壓應變的應力（壓應力）為負。4。5桿件受力與變形的基本形式在機器或結構物中，構件的形式是多種多樣的，但最常見最基本的形式是桿件。所謂桿件，就是縱向（長度方向）尺寸遠大于橫向（垂直于長度方向）尺寸的構件。桿件的軸線是桿件各橫截面形心的連線.軸線為直線的桿稱為直桿。橫截面大小和形狀不變的直桿稱為等直桿，軸線為曲線的桿稱為曲桿。工程上常例如懸臂吊中的拉桿和橫梁，機器中的傳動軸，聯(lián)接件中的銷釘?shù)?，這些都是較典型的桿件。桿件是材料力學研究的主要對象。桿件的問題解決了，不僅解決了工程實際中大部分構件的問題、也為解決其他形式構件的問題提供了基礎。例如，起重用的鋼絲繩、橋式吊車的大梁、齒輪上的輪齒、以及軋鋼機機架等構件和設備，都可以將其簡化為一根桿件或桿件的組合物來處理。構件在工作時的受力情況是各不相同的，受力后所產(chǎn)生的變形也隨之而異。對于桿件來說，其受力后所產(chǎn)生的變形，有以下幾種基本形式：.拉伸或壓縮當桿件兩端受到一對沿桿的軸線方向的拉力或壓力載荷時，桿件將產(chǎn)生軸向伸長或壓縮變形，分別如圖4.5所示。圖中實線為變形前的位置；虛線為變形后的位置。圖4.5拉伸、壓縮變形工程中這類構件很多，如后圖4。9所示簡易支架中的撐桿CD受力后發(fā)生的就是壓縮變形。24（完整）工程力學教案.剪切如圖4.6所示，連接兩個構件的螺栓，其兩個半柱側面所受到的力構成了一對大小相等，方向相反，且作用線相距很近的平行力，當這對力相互錯動并保持二者之間的縱向距離不變時，桿件將在這兩力的交界面上（m-n面）發(fā)生剪切變形.圖4。6剪切變形.扭轉(zhuǎn)如圖4。7所示，當用起子擰螺絲時，手在起子的一端作用了一個力偶，而螺絲也在起子的另一端作用了一個反力偶，如果將起子簡化成一等直桿，則作用在桿件上的一對力偶大小相等，轉(zhuǎn)向相反，且作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)，此時，桿件的橫截面繞其軸相互轉(zhuǎn)動，桿件將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。圖4。7 扭轉(zhuǎn)變形.彎曲如圖4。8所示，當橫梁上所受到的外力都與橫梁的軸線垂直時，橫梁發(fā)生了彎曲，即其軸

（完整）工程力學教案線的曲率發(fā)生了改變，橫梁的這種變形就是彎曲變形（完整）工程力學教案線的曲率發(fā)生了改變，橫梁的這種變形就是彎曲變形.圖4。8彎曲變形在工程實際中，很多構件受力后發(fā)生的變形是兩種或兩種以上的上述基本變形的組合，這種共同形成的受力與變形形式即為組合受力與變形.如圖4.9中所示簡易支架中桿件AB的和受力變形，即為拉伸與彎曲的組合.組合受力形式中，桿件將產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形。圖4.9組合變形軸向拉伸、壓縮與剪切圖4.9組合變形軸向拉伸、壓縮與剪切26（完整）工程力學教案5.1工程中的軸向拉伸或壓縮問題在工程實際中，許多構件承受拉力和壓力的作用。如圖5。1所示的起重機吊架中，如果忽略各構件的自重，則AB,BC兩桿均為二力桿；BC桿在通過軸線的拉力作用下沿桿軸線發(fā)生拉伸變形；而AB桿則在通過軸線的壓力作用下沿桿軸線發(fā)生壓縮變形.這類桿件的受力特點是：桿件承受外力的作用線與桿件軸線重合；變形特點是:桿件沿軸線方向伸長或縮短.這種變形形式稱為軸向拉伸或壓縮，簡稱拉伸或壓縮.這類桿件稱為拉桿或壓桿。圖5。1 圖5。2內(nèi)燃機中的連桿在燃氣爆發(fā)沖程中受壓（圖5。2），桁架中的拉桿和壓桿（圖5。3）等均屬此類.它們都可以簡化成圖5。4所示的計算簡圖，圖中的虛線是表示桿件變形后的形狀。5。2軸力與軸力圖5。2。1截面法求軸力為求得拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力，我們使用截面法.如圖5。5a沿橫截面廣由假想地把桿27

（完整）工程力學教案件分成兩部分，可見桿件左右兩段在橫截面由一由上相互作用的內(nèi)力是一個分布力系（圖505b、5。5c）,由于拉（壓）桿所受的外力都是沿桿軸線的，考慮左右部分的平衡可知，此分布內(nèi)力系的合力也一定沿桿的軸線方向，因此我們把拉（壓）桿的內(nèi)力稱為軸力，用Fn表示。由左(c)m(d)XFn圖5.5(c)m(d)XFn圖5.5段的平衡方程ZFx=0,可得FN-P=0FN=P習慣上我們把拉伸時的軸力記為正，壓縮時的軸力記為負。因此，在使用截面法求軸力時，我們規(guī)定將軸力加在截面的外法線方向，即正方向。這樣，無論取左段還是右段，用平衡方程求得的軸力的符號總是一致的。當軸力大于零時，就表示該截面受拉伸；而軸力小于零，則表示該截面受壓縮。5.2.2軸力圖求出軸內(nèi)任意一個截面上的軸力以后，就可以用圖線來表示軸力與截面位置之間的關系，這個圖線稱為軸力圖。圖5。5d就是軸5。5a的扭矩圖。從圖中可以看出，在兩個集中力作用之間的截面上，軸力是一個常量。28（完整）工程力學教案5。3直桿軸向拉伸或壓縮時的應力5.3.1橫截面上的應力在用截面法確定拉（壓）桿的內(nèi)力以后，還不能判斷桿件的強度是否足夠。例如兩根材料相同的拉桿，一根較粗，一根較細，在相同的挽拉力作用下.它們的內(nèi)力是相向的，但當拉力逐漸增大時.較細的桿先被折斷.這說明桿的強度不僅與內(nèi)力有關，還與截面的面積有關。所以應以單位面積上的內(nèi)力，即應力來衡量桿的強度。為了研究截面上應力的分布規(guī)律，可以通過實驗。觀察桿的變形情況。在圖5。6a所示的桿上，預先刻劃出兩條橫向直線ab和cd（圖中虛線），當桿受到拉力P作用時，可以看到直線ab和cd分別平移到了實線ab和cd處.圖5.6根據(jù)以上現(xiàn)象可設想，假想桿由許多縱向纖維所組成，那么每根縱向纖維都受到了相等的拉伸。由此可推出：桿受拉伸時的內(nèi)力，在橫截面上是均勻分布的，其作用線與橫截面垂直（圖5。6b）.所以，桿件拉伸時橫截面上的應力為正應力，其大小o=^N （5—1）A式中的A為桿件橫截面的面積。上式是根據(jù)桿件受拉伸時推得的，它在桿件受壓縮時也同樣適用。應力的符號由內(nèi)力確定，。＞0為拉應力，。V0則為壓應力。若\沿軸線變化，或截面的面積也沿軸線變化時，式5—1也可寫成29

（完整）工程力學教案（完整）工程力學教案(5—2)(\F(x)(5—2)"二5。4材料在拉伸與壓縮時的力學性能5。4.1拉伸壓縮試驗前面我們討論了桿件軸向拉伸或壓縮時的應力，但是要計算工程構件的強度，還須確定構件在一定的材料和截面尺寸前提下，所能承受的最大載荷，這就需要了解材料的力學性能。材料的力學性能也稱為機械性能，是指材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的性能，它是材料固有的持性，可通過試驗來測定。試驗應根據(jù)國家標準《金屬拉伸試驗方法》（GB228—87）中的規(guī)定，將材料制成標準試樣。拉伸圓試樣如圖5。8a所示。試樣的兩端為夾持部份，中間為用于測試的工作部分，它以兩標記間的長度l°表示，l°稱為原始標距。d°為試樣直徑:原始標距l(xiāng)°和直徑d°之間有如下關系：長試樣l0=10d°，短試樣l0=5d°.對于壓縮試樣，通常采用短圓柱體，其高度l與直徑d之比為1.5~3（圖5。8b）。材料的力學性能與很多因素有關，如溫度、加在試樣上載荷變化的速率、熱處理工藝等。本節(jié)只研究材料在常溫（室溫）、靜載（載荷從零開始逐漸緩慢地增加）條件下的力學性能。在常溫、靜載條件下，材料大致可以分成塑性材料和脆性材料兩類。通常以Q235A鋼代表塑性材料，用灰鑄鐵代表脆性材料，通過試驗來分別研究它們的力學性能。圖5。85.4。2低碳鋼在拉伸時的力學性能30（完整）工程力學教案低碳鋼是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼。這類鋼材在工程中使用較廣，在拉伸試驗中表現(xiàn)出的力學性能也最為典型.拉伸試驗是在材料萬能試驗機上進行的。試驗時，將試樣的兩端裝在試驗機的夾頭中，然后開動機器加載，使試樣受到自零開始逐漸增加的拉力F的作用。在加載過程中，對應任一瞬時的F值，都可測出試樣在原始標距內(nèi)的伸長△1,試驗機上有自動繪圖裝置，可以自動繪出以拉力F為縱坐標、伸長△1為橫坐標的F-^l曲線，稱為拉伸圖。圖5.9所示的拉伸圖描繪了Q235A鋼試樣從開始加載直至斷裂的全過程中載荷和變形的關系.拉伸圖中拉力F和伸長△1的對應關系與試樣的尺寸有關.圖5。9為了消除試樣尺小的影響，將F-△1曲線的縱坐標F除以試樣原有的橫截面面積A,將橫坐標△1除以試樣的原始標距10,即可得到以應力o為縱坐標和以應變E為橫坐標的o-E曲線，稱為應力-應變圖，如圖5。10所示.其形狀與圖5。9所示的拉伸圖相似。31（完整）工程力學教案圖5.10下面通過研究Q235A鋼受拉時的o-E曲線和其上的一些特性點來了解塑性材料在拉伸時的力學性能..彈性階段 在試樣拉伸的初始階段，圖中的Oa線段為直線，表明此段內(nèi)應力。與應變E成正比，如果用E表示Oa線段的斜率，那么這種關系可表達為，o=Ee （5—7）其中，比例常數(shù)E稱為拉（壓）彈性模量，在工程中常用的單位為GPa。直線頂點2處的應力稱為比例極限，用op表示。實驗表明，當應力小于比例極限時，如果撤去加在試樣上的載荷，試樣上的變形也隨之消失，說明此時發(fā)生的變形均為彈性變形。過了a點后，應力與應變不再保持正比關系.但在a點附近略高于比例極限的區(qū)域內(nèi)，試樣所發(fā)生的還是彈性變形，我們把這一區(qū)域最高點的應力稱為彈性極限，用oe表示。由于彈性極限和比例極限在o—E曲線上的位置非常接近，在實驗所記錄的圖線上很難加以區(qū)分，因此我們一般認為兩者近似相等。在應力大于彈性極限后，如再解除拉力，則試樣變形的一部分隨之消失，這就是上面提到的彈性變形，但還遺留下一部分不能消失的變形，這種變形稱為塑性變形32（完整）工程力學教案或殘余變形。因此我們把從起始到彈性極限之間的這段加載過程稱為彈性階段。.屈服階段當應力超過彈性極限增加到其一數(shù)值時，應變有非常明顯的增加而應力先是下降，然后作微小的波動，在O-E曲線上出現(xiàn)接近水平線的小鋸齒形線段.這種應力基本保持不變，而應變顯著增加的現(xiàn)象稱為屈服或流動，這一階段即稱為屈服階段。在屈服階段內(nèi)應力的最高點b和最低點b'分別稱為上屈服點和下屈服點。上屈服點應力的數(shù)值與試樣形狀、加載進度等因素有關，一般是不穩(wěn)定的，下屈服點的應力則有比較穩(wěn)定的數(shù)值,能夠反映材料的性能，所以通常就把下屈服極限稱為屈服極限，用os表示。材料在屈服階段已表現(xiàn)出顯著的塑性變形，而構件過大的塑性變形將影響機器和結構的正常工作，所以屈服極限os是衡量材料強度的重要指標.另外，材料的屈服主要是晶體滑移的結果。金屬是由無數(shù)的晶粒組成的，每一個晶粒又由許多原子按一定的幾何規(guī)律排列而成，塑性變形的產(chǎn)生是由于晶粒中原子與原于間沿著某一方向的結合面產(chǎn)生滑移的結果。如果試樣經(jīng)過拋光，這時可以看到試樣表畫有許多與試樣軸線約成45。角的條紋，稱為f滑移線，圖5。11所示即為板狀試樣在屈服時的滑移現(xiàn)象.因為拉伸時在與桿軸成45。傾角的斜截面上切應力最大，可見屈服現(xiàn)象的出現(xiàn)與最大切應力有關。圖5。11.強化階段經(jīng)過屈服階段，材料又恢復了繼續(xù)承載的能力，同時試樣的塑性變形也迅速增大，這種現(xiàn)象稱為材料的強化.在圖5。1。中，強化階段中的最高點。點對應的應力ob是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限.它是衡量材料強度的另一重要指標。我們把材料從屈服后直到強度極限這一段稱為強化階段,在強化階段中，試樣的橫向尺寸有明顯的縮小..局部變形階段過了c點后，試樣的承載就逐漸下降，并且在某一局部其橫向尺寸突然急劇減小，出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象（圖5.12）,直到d點，試樣在頸縮后的最小尺寸的橫截面處發(fā)生斷裂（圖33(完整)工程力學教案圖5。12 圖5.13階段。在這個階段中，由于試樣所受的拉力相應減少，而在應力一應變圖中，應力還是用橫截面的原始面積計算的，所以從。點開始應力逐漸減小，直到d點試樣被拉斷。.材料的塑性 試樣斷裂后所遺留下來的塑性變形，可以用來表明材料的塑性.試樣拉斷后，標距由原來的I。伸長為11,我們把標距間的改變用百分比的比值6表示，稱為材料的延伸率.即5=L——0e-義100% (5-8)l06值越大，表明材料的塑性越好，因此，延伸率6是衡量材料塑性的指標之-。短試樣和長試樣的延伸率分別用65和610表示，Q235A鋼的65=(21-27)%,610=(21-23)%。工程上，通常根據(jù)延伸率的大小將材料分為兩大類。將610>5%的材料，稱為塑性材料，如鋼、銅、鋁等；而610V5%的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、磚石等。試樣拉斷后，縮頸處橫截面面積的最大縮減量與原始橫截面面積的百分比W,稱為斷面收縮率。即V=AO__A1X100% (5—9)A式中，A。是試樣的原始橫截面面積，A1是試樣拉斷后縮頸處的最小橫截面面積.斷面收縮率是衡量材料塑性的另一個指標。W值越大，表明材料的塑性越好。對于Q235A鋼，W=(60—70)%.6.冷作硬化試驗表明，塑性材料拉伸過程中，當應力超過屈服點后(如圖5。14中的g點)，如逐漸卸去載荷，則試樣的應力和應變關系將沿著與直線Oa近乎半行的直線gOl回到Ol點。如果卸載后再重新加載，則應力應變關系將大致上沿著曲線01gcd變化，直至斷裂。34（完整）工程力學教案圖5.14 圖5.16比較曲線Oagcd與01g。4可以看出在試樣的應力超過屈服點后卸載，然后再更新加載時，材料的比例極限提高了，而斷裂后的塑性變形減少了，由原來的Oe變?yōu)镺le，表明材料的塑性降低了。這一現(xiàn)象稱為冷作硬化。工程上常利用冷作硬化來提高某些構件（如鋼筋、鋼絲繩等）在彈性范圍內(nèi)的承載能力，冷作硬化現(xiàn)象也可通過退火來消除。5.4。3其他材料在拉伸時的力學性能工程上常用的塑性材料，除低碳鋼外，還有中碳鋼、某些高碳鋼和合金鋼、鋁合金、青銅、黃銅等。圖5。15中是幾種塑性材料的o-E曲線。其中有些材料，如16Mn鋼和低碳鋼一樣有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變形階段。有些材料，如黃銅也2,沒有屈服階段，但其他三階段卻很明顯。還有些材料,如高碳鋼T10A,沒有屈服所段和局部變形階段，只有彈性階段和強化階段。35

（完整）工程力學教案圖5.15對沒有明顯屈服極限的塑性材料可以將產(chǎn)生0.2%塑性應變時的應力作為屈服指標，并用工來表示（圖5。16），稱為名義屈服應力。2各類碳素鋼中，隨含碳量的增加，屈服極限和強度極限相應提高，但延伸率降低.例如合金鋼、工具鋼等高強度鋼材，屈服極限較高，但塑性性能卻較差.5。4。4鑄鐵拉伸時的力學性能灰鑄鐵拉伸時的應力一應變關系是一段微彎曲線，如圖5。17所示，沒有明顯的直線部分。它在較小的拉應力下就被拉斷，沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，拉斷前的應變很小，延伸率也很小，斷口為平口（見圖5.18）.灰鑄鐵是典型的脆性材料。圖5.1736（完整）工程力學教案由于鑄鐵的。一E圖沒有明顯的直線部分，彈性模量E的數(shù)值隨應力的大小而變。但在工程中鑄鐵的拉應力不能很高，而在較低的拉應力下，應力和應變的關系則可近似地認為服從虎克定律。通常取O-E曲線的割線代替曲線的開始部分，并以割線的斜率作為彈性橫量，稱為割線彈性模量。鑄鐵拉斷時的最大應力即為其強度極限。因為沒有屈服現(xiàn)象，強度極限Ob是衡量強度的唯一指標。鑄鐵等脆性材料的抗拉強度很低，所以不宜作為抗拉零件的材料。鑄鐵經(jīng)球化處理成為球墨鑄鐵后，力學性能有顯著變化，不但有較高的強度，還有較好的塑性性能。國內(nèi)不少工廠成功地用球墨鑄鐵代替鋼材制造曲軸、齒輪等零件。5。4。5材料在壓縮時的力學性能低碳鋼壓縮時的o—E曲線如圖5.19所示。試驗表明，低碳鋼壓縮時的彈性階段和屈服階段與拉伸時基本重合，其彈性模量E和屈服極限os與拉伸時相同。而屈服階段以后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試樣的抗壓應力也不斷增高，但試樣卻不被壓斷，得不到壓縮時的強度極限，因而壓縮時低碳鋼的強度指標就只有屈服極限。由于可從拉伸試驗測定低碳鋼壓縮時的主要性能，所以不一定要進行壓縮試驗。圖5.1937（完整）工程力學教案圖5。19表示鑄鐵壓縮時的o-E曲線。試樣仍然在較小的變形下突然破壞.破壞斷面的法線與軸線大致成45。?55。的傾角，表明試樣沿斜截面因相對錯動而破壞.鑄鐵壓縮時的強度極限比它在拉伸時的強度極限高4?5倍.其他脆性材料如混凝土、石料等，抗壓強度也遠高于抗拉強度.圖5.20脆性材料抗拉強度低，塑性性能差，但抗壓能力強，且價格低廉，適合加工成抗壓構件。鑄鐵堅硬耐磨，易于澆鑄成形狀復雜的零部件，廣泛用于鑄造機床床身、基座.缸體及軸承座等受壓零部件。因此其壓縮試驗比拉伸試驗更為重要。綜上所述，衡量材料力學性能的指標主要有：比例極限op（或彈性極限）、屈服極限os、強度極限ob、彈性模量E、延伸率6和斷面收縮率W等，對很多金屬來說，這些量往往受溫度、熱處理等條件的影響。表5.1中列出了幾種常用材料在常溫、靜載下的os、ob和6的數(shù)值。5。5拉壓桿的強度計算5。5.1失效與許用應力由前述的拉伸壓縮試驗可以看出，各類材料具有各自不同的力學性能。脆性材料制成的構件在拉伸或壓縮時，變形很小就會突然斷裂。而塑性材料制成的構件在拉斷或壓扁之前已出現(xiàn)很38(完整)工程力學教案大的塑性變形，由于不能保持原有的形狀和尺寸，它已不能正常工作.我們把脆性材料的斷裂和塑性材料出現(xiàn)塑性變形統(tǒng)稱為失效。上述這些失效現(xiàn)象都是強度不足造成的，可是構件失效并不都是源于強度問題。例如若機床主軸變形過大，即使未出現(xiàn)塑性變形，但還是不能保證加工精度，這也是失效，它是剛度不足造成的.而受壓細長桿被壓彎，則是穩(wěn)定性不足引起的失效。這里我們主要討論強度問題，其他形式的失效將于后面的章節(jié)依次介紹。脆性材料斷裂時的應力是強度極限。5而塑性材料屈服時即出現(xiàn)塑性變形，相應的應力是屈服極限os,因此os和Ob就是兩種材料制成的構件失效時的極限應力。但在工程設計中，為保證構件有足夠的強度，在載荷作用下構件的工作應力顯然應低于極限應力。若以大于1的系數(shù)除極限應力并將所得結果稱為許用應力，用[。]來表示，對塑性材料，b]=J (5—10)對脆性材料，nsb]=， (5—11)式中，n和n稱為安全系數(shù)。那n sbb么，設計中構件的最大工作應力應小于材料的許用應力。應當注意，脆性材料在拉伸和壓縮時的強度極限是不相等的，所以它的拉伸許用應力和壓縮許用應力也不相等.從公式(5—10)和(5—11)可知，如果安全系數(shù)取得過小，即接近于1,則許用應力就比較接近極限應力，構件工作時就危險；如果安全系數(shù)取得過大，則許用應力就會偏小，雖然足夠安全，但不夠經(jīng)濟。因此，安全系數(shù)選取是否確當，直接影響到工程構件安全和經(jīng)濟問題。安全系數(shù)的確定與許多因素有關，例如材料的均勻程度、載荷和應力計算的準確程度、制造工藝過程及構件的工作條件等。在靜載荷作用下，安全系數(shù)的大致數(shù)值如下：塑性材料：軋、鍛件1=1.2?2。239（完整）工程力學教案鑄件n=1。6?2。5脆性材料 nb=2。0?3。55.5.2軸向拉伸與壓縮時的強度計算前面已經(jīng)指出，在強度計算中，許用應力就是構件所允許的最大工作應力，據(jù)此我們可以列出構件滿足強度要求的前提，稱為強度條件。軸向拉壓桿的強度條件為o=—<[o] （5—12）A對于等截面桿，由于各個截面的面積相等，所以最大工作應力將發(fā)生在軸力的絕對值最大的截面上.而對于變截面桿，則要綜合軸力和面積的比值.根據(jù)強度條件，我們可以對拉壓桿進行三種類型的強度計算，即強度校核、設計截面尺寸和確定許可載荷，下面分別舉例說明。5。6軸向拉伸與壓縮時的變形計算5。6。1軸向變形與虎克定律直桿在軸向拉力（或壓力）的作用下，所產(chǎn)生的變形表現(xiàn)為軸向尺寸的伸長（或縮短）以及橫向尺寸的縮?。ɑ蛟龃螅?。前者稱為軸向變形，后者稱為橫向變形.現(xiàn)以圖5。21所示的受拉等截面直桿為例來研究桿的軸向變形。設桿的原長為I,在軸向拉力的作用下，桿長由I變?yōu)镮（圖5.21a）,則桿的軸向伸長為△1=I-I圖5.2140（完整）工程力學教案實驗指出：在彈性范圍內(nèi)，桿件的絕對變形Al與所受拉力P成正比，與桿件的長度l成正比，而與桿件的橫截面面積A成反比。可用數(shù)學式表示為(5—13)Al=工(5—13)EA這個關系式稱為虎克定律，它同樣適用于軸向壓縮的情況.式中Al的符號取決于軸力FN,軸向拉伸時Al大于零；而壓縮時Al小于零.式中的比例常數(shù)E,稱為材料的拉（壓）彈性模量，其值因材料而異，可通過實驗方法測定。E的常用單位是吉帕（GPa）。由公式（5-13）可知，當其它條件不變時，E值越大，絕對變形Al越小。因此彈性模量的大小表示材料抵抗彈性變形的能力。由公式（5—13）還可看出，當內(nèi)力彳和長度l一定時，乘積EA越大，絕對變形就越小，它反映了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力。故稱EA為桿件的抗拉（壓）剛度.由于絕對變形與桿件的長度有關，為了更確切地反映桿件縱向變形的程度，消除長度的影響，將Al除以l得到桿件軸線方向的線應變(5——14)這里E的符號取決于桿件的軸向變形，當桿件軸向拉伸時軸向應變E大于零，壓縮時E則小于零。式（5-14）也可表示為(5-15)即當應力小于比例極限時，應力與應變成正比，式（5—14）為虎克定律的另一表達形式。5.6。2橫向變形與泊松比如圖5。21b所示，桿件變形前的橫向尺寸為b,變形后變?yōu)閎1,桿的橫向絕對變形為Ab=b141（完整）工程力學教案一b,橫向應變「為b一b-4——

b試驗結果表明：當應力不超過比例極限時，橫向應變「與軸向應變E之比的絕對值是一個常數(shù).即(5——16)U稱為橫向變形系數(shù)或泊松比，是一個沒有量綱的量.因為當桿件軸向伸長時橫向縮小，而軸向縮短時橫向增大，所以「和E的符號是相反的。這樣，桿的橫向應變和軸向應變的關系可以寫成(5—17)和彈性摸量E一樣泊松比u也是材料固有的彈性常數(shù).表5。2中摘錄了幾種常用材料的E、5.8連接部分的強度計算工程中，構件與構件之間常常用銷釘、螺栓等連接。因此，在考慮拉壓桿或其他構件的強度問題時，必須同時對連接件進行強度計算。連接件的受力和變形一般都比較復雜，工程中通常采用簡化分析方法，根據(jù)實踐經(jīng)驗對連接件的受力和應力分布進行假設，計算其名義應力；對同類構件進行破壞試驗，用破壞載荷確定材料的極限應力.只要簡化合理，試驗充分，計算結果是可靠的，這種簡化分析方法在工程中稱為實用計算。剪切的實用計算現(xiàn)在以圖5。23a所示的拖車掛鉤為例，若將載荷簡化到其對稱面（如圖5。23b）,那么插銷42

（完整）工程力學教案的受力情況可概括為如圖5。23c所示的簡圖，其受力特點是：作用在構件兩側面上的橫向外力的合力大小相等，方向相反，作用線平行且相距很近。在這樣的外力作用下，其變形特點是：兩力間的橫截面發(fā)生相對錯動，這種變形形式叫做剪切。圖5.23349圖5.23349這個截面若掛鉤上作用的力P過大，插銷可能沿著平行力交界的截面m-n和p-q被剪斷叫做剪切面?，F(xiàn)在用截面法來研究插銷在剪切面上的內(nèi)力.用截面假想地將插銷沿剪切面m-n和這個截面p-q截開，取中間部分，如圖5。23d所示。為保持平衡，在兩個剪切面內(nèi)必然有與外力P大小相等，方向相反且與截面平行的內(nèi)力存在，這個內(nèi)力叫做剪力，用屋表元，它是剪切面上分布內(nèi)力的總和.由于剪力與剪切面平行，因此其在剪切面上的分布應為切應力。切應力的實際分布情況比較復雜，在工程上，通常假設剪切面上的切應力均勻分布（如圖5.236），于是，連接件的切應力和剪切強度條件分別為（5-18）（5——19）式中，As為剪切面面積；［t］為許用切應力。剪切強度條件中的許用切應力，其值等于連接件的剪切強度極限T除以安全系數(shù)。剪切強43(完整)工程力學教案度極限是在與構件的實際受力情況相似的條件下進行試驗，并同樣按切應力均勻分布的假設計算出來的。考慮到制造工藝和實際工作條件等因素，在設計規(guī)范中，對一些剪切構件的許用剪應力值作了規(guī)定。根據(jù)實驗，一般情況下，材料的許用切應力［T］與許用拉應力［。］之間有以下的關系：對塑性材料 ［T］=(0.6~0.8)［。］對脆性材料 ［t］=(0.8?1.0)［。］利用這一關系，可根據(jù)許用拉應力來估計許用切應力之值.擠壓的實用計算在外力作用下，連接件和被連接的構件之間，必將在接觸面上相互壓緊，這種現(xiàn)象稱為擠壓.例如，在鉚釘連接中，鉚釘與鋼板就相互壓緊。這就可能把鉚釘或鋼板的鉚釘孔壓成局部塑性變形。圖5.24就是鉚釘孔被壓成長圓孔的情況，當然，鉚釘也可能被壓成扁圓柱.所以應該進行擠壓強度計算.圖5-24在擠壓面上，應力分布一般也比較復雜。實用計算中，也是假設在擠壓面上應力均勻分布。以Pb表示擠壓面上傳遞的力，,表示擠壓面積，于是連接件的擠壓應力0bs和擠壓強度條件分別為44

（完整）工程力學教案P——（完整）工程力學教案P——bAbs(5-20)(5-21)PJ](5-21)Absbs根據(jù)實驗，許用擠壓應力［。抬］與許用拉應力［。］有以下的關系：塑性材料 ［。抬］=（1.5?2.5）［。］脆性材料 ［ob］=（0。9?1。5）［。］如果兩個接觸構件的材料不同，應以連接中抵抗擠壓能力較低的構件來進行擠壓強度計算.當連接件與被連接構件的接觸面為平面時，公式中的Abs就是接觸面的實際面積。當接觸面為圓柱面時（如銷釘、鉚釘?shù)扰c釘孔間的接觸面），擠壓應力的分布情況略如圖5.25a所示，最大應力在圓柱面的中點。實用計算中，以圓孔或圓柱的直徑平面面積td（即圖5.25b中畫陰影線的面積）除擠壓力Pb,則所得應力大致上與實際最大應力接近.圖5.2545圖5.2545（完整）工程力學教案圓軸的扭轉(zhuǎn)6。1工程中的扭轉(zhuǎn)問題在第五章中我們已經(jīng)討論了桿件受軸向載荷作用時，桿件發(fā)生軸向拉伸或壓縮變形，桿件的橫截面上產(chǎn)生拉或壓的軸力，橫截面上的點受到軸向的正應力。在這一章中我們將討論另一類基本變形一扭轉(zhuǎn)變形.當一根直桿受到繞桿的軸線轉(zhuǎn)動的力偶作用時，桿會發(fā)生扭曲，即桿的截面發(fā)生繞軸線轉(zhuǎn)動的扭轉(zhuǎn)變形。例如當你要擰緊一個木螺絲時（見圖3—1a）,你在螺絲批的把手上作用了一個力偶（見圖3一化），在螺絲批的另一端則受到木螺絲對它的反力偶作用，螺絲批發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形.圖601a 圖6.1b46（完整）工程力學教案又例如圖6.2的掘土機械中的螺旋鉆的空心圓軸和圖6。3的手槍鉆的麻花鉆頭都發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。圖6.2圖圖6.2圖6.3在工程中有許多軸類構件，截面大多是圓形截面，有些是實心圓軸，也有空心圓軸。當受到繞軸線轉(zhuǎn)動的力偶作用時，截面將繞軸線轉(zhuǎn)動，截面之間發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，即產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖6.4所示。圖6.4圖6.4本章將主要討論圓截面等直桿的扭轉(zhuǎn)問題，包括圓軸所受外力偶矩的計算、應用截面法計算內(nèi)力、推導橫截面上點的應力計算公式和扭轉(zhuǎn)變形的計算，并研究圓軸的強度計算和剛度計算.最后簡單介紹非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題。6.2外力偶矩、扭矩與扭矩圖6.2。1外力偶矩在工程中，圓軸經(jīng)常用來傳遞力偶所做的功。例如自行車的車軸，汽車的驅(qū)動軸和車床的齒輪軸等。而功的大小取決于作用在軸上力偶的矩和軸的轉(zhuǎn)速.現(xiàn)在來考慮一根用馬達驅(qū)動的軸，如圖6.5所示。47

(完整)工程力學教案(完整)工程力學教案圖6.5如果軸勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速是n(r/m),傳遞的力偶矩是M,馬達的功率是P(kW)。則軸的轉(zhuǎn)動角速度是八2兀n河3= =——(rad/s)60 30傳遞力偶的功率與馬達的功率相等，即n九P義1000=M義——30由此，已知軸的轉(zhuǎn)動速度和輸入或輸出的功率，就可以換算出作用在軸上的外力偶矩，換算公式是P(6——1)M=(6——1)6。2。2扭矩確定了軸上所受的外力偶以后，下面就用截面法來求出軸的內(nèi)力。如圖6。6a所示的圓軸，兩端受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶作用，力偶矩是M,并處于平衡狀態(tài).為了求出軸的內(nèi)力，在軸內(nèi)的任意一個橫截面m-m處將軸切開，分成兩個部分，它們的受力分析分別如圖6。6b和6.6c所示。截出的兩個部分仍然保持平衡狀態(tài)，所以截面上的內(nèi)力必定是一個力偶，稱之為扭矩。左右兩截面上的扭矩是一對作用和反作用力，它們的大小一定相等而轉(zhuǎn)向相反.扭矩的大小和實際轉(zhuǎn)向可以通過兩部分的平衡方程得到.(a)48

(a)48（完整）工程力學教案(c)(d)X（完整）工程力學教案(c)(d)X通過平衡方程求得結果的符號如果是正，說明實際扭矩的方向與假設的方向相同。反之，結果的符號如果是負，說明實際扭矩的方向與假設的方向相反。根據(jù)實際扭矩的方向可以來定義扭矩的符號：按照右手螺旋法則，如果實際扭矩矢量的方向與扭矩所在截面的外法線方向一致，則定義扭矩的符號為正，反之為負。在圖6。6中，不管是左段還是右段，m—m截面上的扭矩符號都為正。根據(jù)以上討論，當我們在截面上假設一個正的扭矩時，則通過平衡方程求得結果的符號與扭矩的符號是一致的。所以在求扭矩時，一般在截面上總是假設一個正的扭矩，那么由平衡方程求得結果的大小和符號就是扭矩的大小和符號。。3扭矩圖求出軸內(nèi)任意一個截面上的扭矩以后，就可以用圖線來表示扭矩與截面位置之間的關系，這個圖線稱為扭矩圖.圖6.6d就是軸6。6a的扭矩圖.從圖中可以看出，在兩個集中力偶作用之間的截面上，扭矩是一個常量.6。3圓軸的扭轉(zhuǎn)變形。1純扭轉(zhuǎn)49

（完整）工程力學教案考慮一根等截面圓軸，兩端受到一對力偶作用，如圖6.7a所示.軸內(nèi)扭矩是一常量。此時圓軸所發(fā)生的扭轉(zhuǎn)變形稱為純扭轉(zhuǎn).在小變形的條件下，由對稱性知，軸的橫截面在繞軸線轉(zhuǎn)動的過程中仍保持為平面，它的形狀還是圓，半徑仍是直線，軸的長度和半徑的大小都保持不變。左右兩端截面繞軸線相對轉(zhuǎn)過一個角度，稱為扭轉(zhuǎn)角.假設左端面轉(zhuǎn)過的角度是0,則右端面轉(zhuǎn)過角度就是軸內(nèi)任一橫截面的扭轉(zhuǎn)角用 （x）表示.(a)過角度就是軸內(nèi)任一橫截面的扭轉(zhuǎn)角用 （x）表示.(a)MMd6arTd’dxrd6dxLHdxl-d6arTd’dxrd6dx(c)圖6。7o3.2切應變和扭曲率在純扭轉(zhuǎn)的圓軸內(nèi)用兩個橫截面截出長度為dx的微段，如圖6.7b所示。兩截面繞軸線相對轉(zhuǎn)過的角度是d,兩條母線ad和bc分別傾斜了一個相同的角度。矩形abcd變形成平行四邊形abc'd',ab與ad的夾角從90o減小了一個角度max,這個角度的改變稱為切應變。在小變形的條件下，由圖示的幾何關系得到ddRd6maxmaxaddx上式中，d/dx表示單位長度上的扭轉(zhuǎn)角，或者表示扭轉(zhuǎn)角沿著軸線的變化率，稱為扭曲率，用符號表示。即50（完整）工程力學教案8二名TOC\o"1-5"\h\zdx （6-2）在純扭轉(zhuǎn)的情況下，可以用軸兩端截面的相對轉(zhuǎn)角除以軸的長度1來表示，即8」I （6—3）由此可以得到圓軸外表面的切應變的表達式y(tǒng)二幽二加二R*maxdx l （6—4）根據(jù)類似的分析可以得到圓軸內(nèi)部的切應變，見圖6.7c所示.在dx的微段內(nèi)截出半徑為的圓柱體，因為半徑仍保持直線，所以其表面的切應變是d*d （6—5）51

（完整）工程力學教案（完整）工程力學教案圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應力6。4.1純剪切在小變形的前提下，圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面始終保持為平面，而且圓截面的形狀、大小不變，半徑仍為直線，截面之間的距離也不變。所以在橫截面上沒有正應力，而切應力與過這點的半徑垂直，朝向與截面上的扭矩轉(zhuǎn)向相一致。在圖6。8純扭轉(zhuǎn)的圓軸中取一個微體，它的邊長分別是dx、dy和。見圖6.8b所示。(c)(d)圖6.8在微體的左右側面上各有一個相等的剪力dy,它們的方向相反，組成一個力偶，其力偶矩(c)(d)圖6.8在微體的左右側面上各有一個相等的剪力dy,它們的方向相反，組成一個力偶，其力偶矩是 dydx。因為微體處于平衡狀態(tài)，所以在微體的頂面和底面上必定存在切應力，上下兩個面上的剪力必然也要組成一個反力偶，反力偶矩是’ dxdy，與上述的力偶相平衡，即T=Tt8dydx=t'T=T（6——6）

（完整）工程力學教案上面的表達式表示微體的兩個正交面上如果有切應力的話，則切應力的數(shù)值相等，方向與兩個正交面的交線垂直，共同指向或共同背離交線。這就是切應力互等定理。上面微體的四個側面上只有切應力沒有正應力，這種應力狀態(tài)稱為純剪切。6.4.2剪切胡克定律發(fā)生純剪切的微體由原來的正六面體變形成平行六面體，見圖6。8c。原來互相正交的棱邊由于變形發(fā)生了一個角度的改變，就是切應變。對于線彈性的材料，切應力與切應變成正比關系，即t=Gy （6-7）表達式中的比例常數(shù)G稱為切變彈性模量，它與拉壓彈性模量E一樣是反映材料特性的彈性常數(shù)。上面的關系式稱為剪切胡克定律。對于各向同性材料，拉壓彈性模量￡、切變彈性模量G和泊松比之間存在如下關系：(6-8)G-E、2(1+R)(6-8)由式6-5和式6-7可以得到t=Gy=Gpa （6-9）ppdx由此可見，圓截面上點的切應力分布與該點的半徑成正比，如圖6。8d所示。顯然，截面上最大切應力位于圓截面的外邊緣上，其大小是：t =GRd^ （6-10）maxdx由切應力互等定理可知，圓軸的縱向截面上只有切應力，分布如圖6。9所示.圖6.953

圖6.953（完整）工程力學教案（完整）工程力學教案6。4.3扭轉(zhuǎn)的切應力公式在知道了圓截面上的切應力分布后，現(xiàn)在來分析切應力與扭矩之間的關系。見圖6。10。圖6。10在半徑為的圓周處取一個微面積dA，上面作用微剪力 dA，它對圓心O的微力矩是 dA,所有這些微力矩的和等于截面上的扭矩，即T=JptdAAP將公式（6—9）代入上式得T=G妙』p2dA

dxA令上式中的積分為,它僅與截面的幾何尺寸有關，稱為極慣性矩，即I=JP2dApA(6-11)由此可以得到dxGIp(6—12)把上式代入到（6—9）式中，就得到切應力計算公式TP

~TP(6—13)顯然，橫截面上的最大切應力是:TRTTmax54（完整）工程力學教案式中，Ip/R項也是一個僅與截面有關的量，稱為抗扭截面系數(shù)，用!表示，即W=二tR所以，最大切應力計算公式又可以寫成：（6-14）6。4.4極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算TT=-maxWt（6—15）直接用積分就可以求出圓截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)。見圖6.11。?圖6.10取微面積dA=dd，代入到式（6-11）中，得到極慣性矩，即I=Jp2dA=J2冗JRp3d0dp=^R4=^D4pA 0 0 2 32把上式代入到式（6-14）中得到抗扭截面系數(shù)：E兀R3兀D3W= = t2 16如果是空心圓截面，如圖6。11所示。（6-16）（6-17）用相同的的方法可以求出極圖性矩和抗扭截面系數(shù):55I=JP2dA=J2打Rp3d0dPpA 0r兀R4兀r4兀R4C= - = \1—a42 2 2兀D4c?) U-a4z32（完整）工程力學教案(6——17)W=^R-(1—a4)=^D1(1—a4)/ 2 16(6-18)其中，是內(nèi)徑與外徑之比，即rda=—=—RD空心圓截面上的切應力分布如圖6.12所示。圖6。12Tmax圓軸扭轉(zhuǎn)的強度設計和剛度設計6。5.1圓軸的扭轉(zhuǎn)失效通過扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)現(xiàn)，不同材料的圓軸在扭轉(zhuǎn)破壞時，斷口的形狀也不一樣。塑性材料在扭轉(zhuǎn)時，當外力偶矩逐漸增大時，材料首先屈服，這時在圓試件的表面出現(xiàn)縱向和橫向的滑移線，橫截面上的最大切應力稱為扭轉(zhuǎn)屈服應力。當外力偶矩增大到某個數(shù)值時，試件就在某一橫截面處發(fā)生剪斷，如圖6.12a所示，這時破壞截面上的最大切應力稱為扭轉(zhuǎn)強度極限。而當脆性材料在扭轉(zhuǎn)時，扭轉(zhuǎn)變形很小，沒有明顯的屈服階段，最后發(fā)生約45。的螺旋面的斷裂破壞，如圖6.12b所示。扭轉(zhuǎn)的屈服應力和強度極限稱為扭轉(zhuǎn)的極限應力，用u表示.56（完整）工程力學教案圖6。12強度條件和強度計算從扭轉(zhuǎn)試驗得到了扭轉(zhuǎn)的極限應力，再考慮一定的安全裕度，即將扭轉(zhuǎn)極限應力除以一個安全系數(shù)，就得到扭轉(zhuǎn)的許用切應力：T[T]=—Hrn （6—19）這個許用切應力是扭轉(zhuǎn)的設計應力，即圓軸內(nèi)的最大切應力不能超過許用切應力。對于等截面圓軸，各個截面的抗扭截面系數(shù)相等，所以圓軸的最大切應力將發(fā)生在扭矩數(shù)值最大的截面上，強度條件就是t =Lx-<[t] （6—20）maxWt而對于變截面圓軸，則要綜合考慮扭矩的數(shù)值和抗扭截面系數(shù)，所以強度條件是t=一<[t] （6-21）maxWtmax剛度條件和剛度計算在純扭轉(zhuǎn)的等截面圓軸中，從扭曲率的公式（6—12）可以得到7T[

d。二 dxGIp它表示圓軸中相距dx的兩個橫截面之間的相對轉(zhuǎn)角，所以長為l的兩個端截面之間的扭轉(zhuǎn)角可以積分上式得到：0=』T—Xx （6—12）iGIp因為在純扭轉(zhuǎn)中，扭矩T和扭轉(zhuǎn)剛度GIP是常量，所以上式可以簡化成57(完整)工程力學教案Tl

0二 GIp（6—13）如果是階梯形圓軸并且扭矩是分段常量，則式(6—12)的積分可以寫成分段求和的形式，即圓軸兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角是中Tl0=乙一r-r-GIi=1 pi（6-14）在應用上式計算扭轉(zhuǎn)角時是要注意扭矩的符號。在工程上，對于發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的圓軸，除了要考慮圓軸不發(fā)生破壞的強度條件之外，還要注(完整)工程力學教案Tl

0二 GIp（6—13）如果是階梯形圓軸并且扭矩是分段常量，則式(6—12)的積分可以寫成分段求和的形式，即圓軸兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角是中Tl0=乙一r-r-GIi=1 pi（6-14）在應用上式計算扭轉(zhuǎn)角時是要注意扭矩的符號。在工程上，對于發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的圓軸，除了要考慮圓軸不發(fā)生破壞的強度條件之外，還要注意扭轉(zhuǎn)變形問題，這樣才能滿足工程機械的精度等工程要求。所以用扭曲率作為衡量扭轉(zhuǎn)變形的程度，它不能超過規(guī)定的許用值，即要滿足扭轉(zhuǎn)變形的剛度條件.對于扭矩是常量的等截面圓軸，扭曲率最大值一定發(fā)生在扭矩最大的截面處所以，剛度條件可以寫成（6——15）上式中，扭曲率的單位是rad/m。如果使用。/由單位，則上式可以寫成9 =%x呼<[6]maxGI兀p（6——16）對于扭矩是分段常量的階梯形截面圓軸，其剛度條件是9maxTGTpmax<[9]（6—17）或者寫成589maxTG589maxTGTpx?<[9]兀max（6—18）（完整）工程力學教案第7章

彎曲強度7。1工程中的彎曲問題彎曲是工程實際中最常見的一種基本變形。如圖7—1a所示的橋式吊車梁，圖7—2a所示的車軸，它們在各自的載荷作用下，其軸線將由原來的直線彎成曲線，此種變形稱為彎曲。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁.圖7-2工程實際中，絕大部分梁的橫截面至少有一根對稱軸，全梁至少有一個縱向?qū)ΨQ面。使桿件產(chǎn)生彎曲變形的外力一定垂直于桿軸線，若這樣的外力又均作用在梁的某個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)（如圖7—3所示），則梁的軸線將彎成位于此對稱面內(nèi)的一條平面曲線，此種彎曲稱為對稱彎曲。（完整）工程力學教案7。2梁的計算簡圖在計算梁的強度及剛度時，必須針對所研究問題的主要矛盾，對梁所受的實際約束及載荷進行簡化，從而得到便于進行定量分析的梁的計算簡圖。1載荷的簡化一般可將載荷簡化為兩種形式。當載荷的作用范圍很小時，可將其簡化為集中載荷（如圖7-3中的集中力P、集中力偶冷。若載荷連續(xù)作用于梁上，則可將其簡化為分布載荷（如水作用于水壩壩體上的作用力），呈均勻分布的載荷稱均布載荷（如圖7—3中的均布載荷4）。如圖7-1a中的吊車大梁，若考慮大梁自身重量對梁強度及剛度的影響，則可將梁自身重量簡化為作用于全梁上的均布載荷。分布于單位長度上的載荷大小，稱為載荷集度，通常以4表示.國際單位制中，集度單位為N/m，或KN/m。7.2.2實際約束的簡化根據(jù)構件所受實際約束方式，可將約束簡化為下列幾種形式：a滑動鉸支座這種支座只在支承處限定梁沿垂直于支座平面方向的位移，因此，只產(chǎn)生一個垂直于支座平面的約束力（圖7-4a）.橋梁中的滾軸支座、機械中的短滑動軸承及滾動軸承都可簡化為滑動鉸支座。60（完整）工程力學教案b固定鉸支座這種支座在支承處限定梁沿任何方向的位移，因此，可用兩個分力表示相應的約束力（圖7—4b）。橋梁下的固定支座、機械中的止推軸承可簡化為固定鉸支座。C固定端這種約束既限定梁端的線位移，也限定其角位移，因此，相應的約束力有三個：兩個約束分力，一個約束力偶（圖7—4c）。水壩的下端約束、機械中的止推長軸承均可簡化為固定端。圖7—47。2。3梁的類型如約束反力全部可以根據(jù)平衡方程直接確定，這樣的梁稱為靜定梁。根據(jù)約束的類型及其所處位置，可將靜定梁分為三種基本類型：a.簡支梁一端為固定鉸支座，另一端為滑動鉸支座的梁。如圖7—1bb.外伸梁簡支梁的一端或兩端外伸。如圖7—2bc.懸臂梁一端固定而另一端自由的梁。如圖7—5圖7—5剪力與彎矩梁上的載荷及約束力確定后，即可利用截面法分析梁的內(nèi)力了，進而為計算梁的強度及剛度做好準備.61（完整）工程力學教案以圖7-5為例，用截面法分析C處截面的內(nèi)力：首先依據(jù)平衡條件確定約束力。因該梁結構及所受載荷對稱，故可直接求出約束力RA=RB=10KN以一假想平面在C處將梁截開，選其中一部分（左段）為研究對象，分析AC段受力（如圖7—6）°AC段上作用著均布載荷q、約束力Ra這樣的外載荷、及C截面的內(nèi)力①。段對AC段的作用力）。由平衡條件XFY=0可知，C截面上一定存在沿鉛垂方向的內(nèi)力，這種與截面平行的內(nèi)力稱為剪力，以Q表示。剪力的大小及實際方向由平衡方程確定：XFY=RA-q.AC-Q=0Q=10-20x0.2=6（KN） （C截面上剪力的實際方向向下）又由平衡條件XmC（F）=0可知，C截面上一定存在另一個內(nèi)力分量，即力偶。此力偶的作用面位于梁的對稱面，其矢量垂直于梁的軸線，此內(nèi)力分量稱為彎矩，以附表示。彎矩的大小及實際方向由平衡方程確定：Xm（F）=M-R-AC+q-AC2=0C A 2注:一般將所求截面的形心作為力矩平衡方程的矩心M=10x0,2-20x0.22=1,6（KNm）（C截面彎矩的實際方向為逆時針）62(完整)工程力學教案圖7—6在上面以截面法計算彎曲內(nèi)力的過程中，我們選取了左段作為研究對象，所求得的剪力與彎矩是。處左截面上的彎曲內(nèi)力。試分析，若選取右段作為研究對象，所求得的彎曲內(nèi)力則為C處右截面的內(nèi)力，而左、右截面上剪力、彎矩的方向一定是相反