北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年上學(xué)期九月

數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)水平調(diào)研

一、選擇題

1.漢字是迄今為止持續(xù)使用時間最長的文字，是傳承中華文化的重要載體.漢字在發(fā)展過

程中演變出多種字體，給人以美的享受.下面是“首師附中”四個字的篆書，其中能看作

中心對稱圖形的是（）

省

CD

中

2.一元二次方程-3三+23-4=0的一次項系數(shù)是（）

A.-3B.2C.3D.0

3.拋物線y=（x—I）?+2的頂點坐標(biāo)為（)

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,2)D.(2,1)

4.將拋物線y=3/向上平移2個單位長度,所得拋物線解析式是（)

A.y=3x2+2B.y=3x2-2C.y=3(x+2pD.

y=3（x-2）2

5.小華將圖案灸繞某點連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,設(shè)計出一個如圖所示

雪花圖案，則a可以為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

6.用配方法將一元二次方程—4=0變形為（x+m）2=〃的形式是（）

A.(尤+3)2=13B.(X-3)2=4C.(x-3)2=5D.

(X-3)2=13

7.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，△MN尸繞某點旋轉(zhuǎn)90。，得到△MIMPI,則其旋轉(zhuǎn)中心

可以是（）

Ni

A點、EB.點FC.點GD.點H

8.下面的三個問題中都有兩個變量：

①將一根長為/的鐵絲剛好圍成一個矩形，矩形的面積>與矩形一條邊長x；

②趙老師爬香山所花的時間y和平均速度x;

③中秋節(jié)后，某超市月餅賣不出去，決定促銷，月餅原價為30元/kg,成本價為10元/

kg,單價每降價1元，可以多賣出10kg,月餅利潤）'與降價X；其中，變量y與變量X

之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

C.②③D.①②③

二、填空題

9.點尸（-3,~4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是.

10.已知y是x的函數(shù)，且當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小.則這個函數(shù)的表達(dá)式可以是

.（寫出一個符合題意的答案即可）

11.若二次函數(shù)丁=。-1）2+3的圖象上有兩點40,。）,8（5力），則〃（填

或“V”）

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若反比例函數(shù)y=1（AwO）的圖象經(jīng)過點4（1,2）和點

,則陽的值為.

13.如圖，E為正方形ABCD內(nèi)的一點，△AEB繞點B按順時針旋轉(zhuǎn)90后得到ACE6,

連接Eb，若AE,E三點在同一直線上，則NAEB的度數(shù)為.

14.拋物線y=ax2+bx+c（@0）的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3,

0）,對稱軸為x=l,則拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為.

15.我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題："今有圓田一段，中間有個

方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑，內(nèi)方圓徑若能

知，堪作算中第一其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池

外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正

方形的邊長是x步，則列出的方程是.

16.小明用。“記錄某地區(qū)去年12月份31天中每天是否下過雨，方法為：當(dāng)?shù)贏天下過雨

時，記%=1,當(dāng)?shù)谧筇鞗]下過雨時，記%=—1。4Z431）；他用2記錄該地區(qū)該月每

天氣象臺預(yù)報是否有雨，方法為：當(dāng)預(yù)報第Z天有雨時，記仇=1,當(dāng)預(yù)報第我天沒有雨

時，記4=—1（1WA<31）；記錄完畢后，小明計算出。也+4仇+…+為%=25,那么

該月氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的總天數(shù)為；若a自+48+…+a也=加（攵2加），則氣象

臺預(yù)報準(zhǔn)確的天數(shù)為.（用加,后表示）

三、解答題

17.解方程：x2-6x=16.

4(x—1)>x+2

18.解不等式組：bx+l

----->x-l

I3

19.已知a是方程—1=0的一個根，求代數(shù)式3-2）2+（〃+1）伍-1）的值.

20.如圖，將AABC繞點B旋轉(zhuǎn)得到△03E，且A,D,C三點在同一條直線上.

求證：DB平分NADE.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)〉=一％+加圖象過點A（l,3）,且與x軸

交于點B.

（1）求機的值和點8的坐標(biāo)；

（2）若二次函數(shù)圖象過人，8兩點，直接寫出關(guān)于x的不等式

ax2+法＞—的解集?

22.關(guān)于x的一元二次方程￡+（女一2）x+A—3=（）.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根大于0,求人的取值范圍.

23.擲實心球是北京市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項目.如圖1是小杰投擲實心球

訓(xùn)練，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來研究實心球的運動情況.他以水平方向為x軸方向，1m為單

位長度，建立了如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，實心球從），軸上的4點出手，運動路徑可

看作拋物線，在2點處達(dá)到最高位置，落在x軸上的點C處.小杰某次試投時的數(shù)據(jù)如圖

2所示.

圖1圖2

（1）在圖中畫出實心球運動路徑的示意圖；

（2）根據(jù)圖中信息，求出實心球路徑所在拋物線的表達(dá)式；

（3）根據(jù)北京市高中階段學(xué)校招生體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（男生），若實心球投狀距離（實心

球落地點C與出手點A的水平距離0C的長度）不小于10m,成績?yōu)闈M分10分.請通過計

算，判斷小杰此次試投的成績是否能達(dá)到滿分.

24.如圖，在"BC中，BA=BC,8。平分NABC交AC于點。，點E在線段2。上，點下

在8。的延長線上，且。E=。凡連接4E,CE,AF,CF.

B

（1）求證：四邊形A￡CF是菱形；

（2）若BF=BA,AD=4,DF=2,求8尸的長.

25.1992年巴塞羅那奧運會上，由1984、1988年兩屆殘疾人奧運會射箭獎牌獲得者，37歲

的巴塞羅那選手雷波洛射箭點火.只見他從輪椅上站起來，用火種點燃箭頭，然后準(zhǔn)確地

射向70米遠(yuǎn)、20米高的火炬塔，圣火隨之而起.火炬塔上面的圣火臺的點火區(qū)域是一個

邊長為4米的正方形.這只箭飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分，記這只箭飛行的水

平距離為d（單位：m）,距地面的豎直高度為力（單位：m）,獲得數(shù)據(jù)如表：

d（單位：m）010203040506070

h（單位：m）210.517.021.724.525.524.5k

小欣根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)/?隨自變量d的變化而變化的規(guī)律進行了研究.下面是

小欣的探究過程，請補充完整：

（1）上的值為;

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并用平滑的曲線連接;

（3）據(jù)說，為了成功點燃主火炬，雷波洛練了不下2000次.練習(xí)中，他的命中率超過了

令人欣喜的90%.但是，由于開幕式是在晚間進行，而點火之前，體育場內(nèi)的所有燈光熄

滅，射手只能憑借月光和體育場外圍微弱的燈光來判斷火炬塔的位置.請結(jié)合函數(shù)圖像分

析，雷波洛射出的箭是否掉進了圣火臺里？答：（“是"或者"否”）

（4）據(jù)組織者透露說，圣火臺的上空充滿可燃?xì)怏w，只要雷波洛射出的箭能夠進入圣火臺

上方高4米的范圍內(nèi)，都可以順利點燃主火炬.小欣在研究這個問題的過程中還發(fā)現(xiàn)，如

果射箭的初始角度和力量不變的情況下，射手還可以通過調(diào)整與火炬塔的距離來改變這只

箭的飛行軌跡，如果保證圣火被點燃，請結(jié)合函數(shù)圖像分析，射手向前移動的最大距離與

向后移動的最大距離之和是米.（精確到1米）

26.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線,=62_2/尤+2/.

（1）求拋物線的對稱軸（用含。的式子表示）：

（2）點。（々，必）在拋物線上，其中。一24玉4。+3,%2=-。+1.

①當(dāng)4=1時，求的以取值范圍和力的值;

②若存在,，使得%2為，直接寫出。的取值范圍.

27.在AABC中，ZACB=90,AC=CB,將線段C4繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位

置，得到線段CO,連接/平分NBC。交8。于點G,交的延長線于點

F,連接BF.

(1)依題意補全圖形；

(2)①求NOR7的度數(shù)；②用等式表示線段/C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.將平面直角坐標(biāo)系中的一些點分為兩類，滿足每類至少包含兩個點.對于同一類

中的任意兩點P(x”y)，Q(%,%)，稱|%-引與一%|中的最大值為點P和點。的

“聯(lián)絡(luò)量”，記作IIP,QII.將每類能得到的最大聯(lián)絡(luò)量作為該類的“代表量”，定義代

表量中的最大值為這種分類的“類籌”.如圖，點A8,C,D,E的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

(1)①點AC,￡>,E,O中，與點8的“聯(lián)絡(luò)量”是2的有；

②點M在平面上運動，已知將點。,￡M分在同一類時“代表量”是5,則動點M所在

區(qū)域的面積為；

(2)對于平面上的任意一點N,將點A,3,C,N分為兩類，試說明：無論如何分類，

“類籌”總不小于2：

(3)已知二次函數(shù)丁=4(工一一3上的任一點K均滿足將點ABCD,E,K分為兩類的

最小“類籌”大于4,直接寫出力的取值范圍.

北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年上學(xué)期九月

數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)水平調(diào)研

一、選擇題

1.漢字是迄今為止持續(xù)使用時間最長的文字，是傳承中華文化的重要載體.漢字在發(fā)展過

程中演變出多種字體，給人以美的享受.下面是“首師附中”四個字的篆書，其中能看作

中心對稱圖形的是（）

省

CD

中

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】A、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)

180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

2.一元二次方程一3/+2；1-4=0的一次項系數(shù)是（）

A.-3B.2C.3D.0

【答案】B

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=Q（a,b,c是常數(shù)且存0）.在一般

形式中?2叫二次項，法叫一次項，。是常數(shù)項.其中“，b,c分別叫二次項系數(shù)，一次項

系數(shù)，常數(shù)項.據(jù)此求解即可.

【詳解】解：一元二次方程—3/+2x-4=0一次項系數(shù)是2,

故選：B.

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵把握要確定一次項系數(shù)，首先要

把方程化成一般形式.

3.拋物線y=（x-l）2+2的頂點坐標(biāo)為（）

A.（-1,2）B.（-1,-2）C.（1,2）D.（2,1）

【答案】C

【分析】根據(jù)頂點式y(tǒng)=a（x—%了+上的頂點坐標(biāo)為（九%）求解即可.

【詳解】解：拋物線y=（x—I）?+2的頂點坐標(biāo)是（1,2）,

故選C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=a（x-/z）2+A的頂點坐標(biāo)為（九攵），掌握頂點式

求頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

4.將拋物線y=3/向上平移2個單位長度，所得拋物線的解析式是（）

A.y-3x2+2B.y—3x2—2C.y=3（x+2）-D.

y=3（尤-2）2

【答案】A

【分析】利用頂點式求出新拋物線解析式.

【詳解】V拋物線＞=3/頂點坐標(biāo)為（0,0）,

向上移2個單位后的拋物線頂點坐標(biāo)為（0,2）,

/.新拋物線的解析式為y=3/+2.

故選：A.

【點睛】本題考查了拋物線的平移規(guī)律，確定平移前后拋物線的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

5.小華將圖案密繞某點連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,設(shè)計出一個如圖所示

的雪花圖案，則a可以為（）

A.30°B,60°C.90°D.120°

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱性質(zhì)，利用360。+6即可求解.

【詳解】解：???雪花圖案由6個圖案組成，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，

將圖中的圖案繞某點連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,每次旋轉(zhuǎn)360案6=60?,

故選B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱性，求得旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

6.用配方法將一元二次方程爐一6%—4=0變形為（x+機）2=〃的形式是（）

A.（X+3）2=13B.（x—3）2—4C.（x—3）2—5D.

（X-3）2=13

【答案】D

【分析】先移項，然后兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

【詳解】X2-6x-4=0,

移項得，x2—6x=4,

配方得，X2-6X+32=4+32,

（x-3）2=13,

故選:D.

【點睛】本題考查了配方法，解題的關(guān)鍵是注意：

（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；

（2）把二次項的系數(shù)化為1;

（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

7.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)90。，得到則其旋轉(zhuǎn)中心

可以是（）

A.點EB.點/C.點GD.點H

【答案】C

【詳解】如圖，作出NM、PR的垂直平分線，交點為G,則點G是旋轉(zhuǎn)中心.

故選：c.

8.下面的三個問題中都有兩個變量：

①將一根長為/的鐵絲剛好圍成一個矩形，矩形的面積y與矩形一條邊長工；

②趙老師爬香山所花的時間y和平均速度工；

③中秋節(jié)后，某超市月餅賣不出去，決定促銷，月餅原價為30元/kg,成本價為10元/

kg,單價每降價1元，可以多賣出10kg,月餅利潤y與降價x；其中，變量y與變量x

之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】①將一根長為/的鐵絲剛好圍成一個矩形，求出矩形的面積y與矩形一條邊長X之

間的函數(shù)關(guān)系式即可得出答案：

②趙老師爬香山時，路程一定，則所花的時間）'和平均速度尤成反比，不是二次函數(shù)，即

可得出答案；

③求出月餅利潤y與降價X之間的函數(shù)關(guān)系式，即可得出答案.

l-2x

【詳解】解：①矩形一條邊長x,則另外一條邊長為-----，則矩形的面積為：

2

I—2.X2I

y=------x--x~+—x,

22

矩形的面積y與矩形一條邊長x為二次函數(shù)，且二次函數(shù)的開口向下，拋物線過原點

O,因此變量）'與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用圖示的圖象表示，故①符合題意；

②設(shè)趙老師爬香山時，路程為S,則趙老師爬香山所花的時間y和平均速度X之間的函數(shù)關(guān)

系式為：y=2,

x

一定，

是x的一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，因此變量>與變量》之間的函數(shù)關(guān)系不可以用圖示的

圖象表示，故②不符合題意；

③設(shè)按原價可以賣出akg（aX））,月餅利潤）與降價x之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=（30-x-10）（a+10x）=-10x2+200x-or+20tz,

y是x的二次函數(shù)，但20E>0,

二函數(shù)圖象不過原點，因此變量V與變量x之間的函數(shù)關(guān)系不可以用圖示的圖象表示，故

③不符合題意；

綜上分析可知，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用圖示的圖象表示的是①，故A正

確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了求函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)圖象，根據(jù)題意求出相應(yīng)的函數(shù)解析

式，是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.點尸（-3,-4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是.

【答案】（3,4）

【分析】根據(jù)關(guān)于關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，即可求解.

【詳解】解：點尸（一3,7）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（3,4）,

故答案為：（3,4）.

【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐

標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的

點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相

反數(shù).

10.已知y是x的函數(shù)，且當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小.則這個函數(shù)的表達(dá)式可以是

.（寫出一個符合題意的答案即可）

【答案】尸L（x>0）

x

【分析】反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則反比例

函數(shù)的反比例系數(shù)kVO；反之，只要ZVO,則反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變

量X的增大而增大.

【詳解】解：只要使反比例系數(shù)大于0即可.如產(chǎn)工（x>0）,答案不唯一.

X

故答案為：y=-（x>0）.

x

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)尸七（厚0）的性質(zhì)：①人>0時，函數(shù)圖象在第一，

x

三象限.在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小；②%<0時，函數(shù)圖象在第二，四象限.在每

個象限內(nèi)y隨x的增大而增大.

11.若二次函數(shù)y=（x-I）?+3的圖象上有兩點A（0,a）,8（5力），則a6（填，

或“v”）

【答案】<

【分析】直接把點A和點B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出a和b,然后比較大小即可.

【詳解】當(dāng)x=0時，a=（0-1）2+3=4；

當(dāng)x=-5時,b=（5-1）2+3=19,

所以aVb.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析

式.

k

12.在平面直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)y=—（攵。0）的圖象經(jīng)過點A（l,2）和點

X

,則m的值為.

【答案】-2

【分析】由題意易得％=2,然后再利用反比例函數(shù)的意義可進行求解問題.

k

【詳解】解：把點A（l,2）代入反比例函數(shù)丁=一（左#0）得：k=2,

X

—lxm=2,解得：m=—2,

故答案為-2.

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

13.如圖，E為正方形A8CO內(nèi)的一點，繞點8按順時針旋轉(zhuǎn)90后得到ACEB，

連接石尸，若AE,尸三點在同一直線上，則NAEB的度數(shù)為.

AD

【答案】1350

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△BEF為等腰三角形，根據(jù)aAEB繞點8按順時針旋轉(zhuǎn)90。后成

為△CF2,得旋轉(zhuǎn)角/EBF=90。，即△BEF為等腰直角三角形，根據(jù)三角形的一個外角等

于和他不相鄰的內(nèi)角和，即可求得.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知，

BE=BF,ZEBF=90°,

...△8EF是等腰直角三角形，

:.NBEF=45。,

；A、E、F三點在同一直線上

/AEB=180°-45°=135°,

故答案為：135。.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).靈活運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形

的性質(zhì)這些知識進行推理是解本題的關(guān)鍵.

14.拋物線），=4/+汝+。（存0）的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3,

0）,對稱軸為x=l,則拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為.

【分析】利用拋物線的對稱性求解即可得到答案.

【詳解】解：拋物線y=a%2+bx+c（存0）其與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3,0）,對稱軸為x

=1,

...拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（-1,0）,

故答案為：（-1,0）.

【點睛】本題主要考查了拋物線的對稱性，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握拋物與x軸的兩

個交點關(guān)于拋物線對稱軸對稱.

15.我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個

方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑，內(nèi)方圓徑若能

知，堪作算中第一其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池

外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正

方形的邊長是x步，則列出的方程是.

【分析】根據(jù)圓的面積-正方形的面積=可耕地的面積即可解答.

X

【詳解】解：?.?正方形的邊長是X步，圓的半徑為(一+3)步

2

\2

二列方程得：萬-+3-%2=72.

2J

故答案為乃+3)—V=72.

【點睛】本題考查圓的面積計算公式，解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.

16.小明用勺記錄某地區(qū)去年12月份31天中每天是否下過雨，方法為：當(dāng)?shù)谖姨煜逻^雨

時，記%=1,當(dāng)?shù)凇┨鞗]下過雨時，記4=—他用〃記錄該地區(qū)該月每

天氣象臺預(yù)報是否有雨，方法為：當(dāng)預(yù)報第左天有雨時，記仇=1,當(dāng)預(yù)報第左天沒有雨

時，記4=—1(1WAW31)；記錄完畢后，小明計算出囚4+4為+…+%四1=25,那么

該月氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的總天數(shù)為；若+a2b2+…+4瓦=〃?(k2m),則氣象

臺預(yù)報準(zhǔn)確的天數(shù)為.(用根,人表示)

【答案】①.28②.也工

【分析】依題意，％%=1(1<%<31)的值為1,或-1,且當(dāng)見仇=1時，表示第人天預(yù)

報正確，據(jù)此即可求解.

【詳解】解:：依題意，若&4.=l(lWkW31),則表示第&天預(yù)報正確，若

akbk=-1(14%W31),則表示第上天預(yù)報錯誤,

若。也+a2b2+.??+akbk=m,

假設(shè)其中有X天預(yù)報正確，即等式的左邊有X個1,仕一力個-1,即—￡)=加

m+k

解得x=

2

即氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的天數(shù)為生史

2

/.若+a2b2+…+。3也1=25,

則氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的天數(shù)為衛(wèi)士紀(jì)=28(天)

2

故答案沏28,呼

【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的天數(shù)為

m+k

2

三、解答題

17.解方程：x2-6x-16.

【答案】玉=-2,々=8

【分析】根據(jù)配方法即可求解.

【詳解】X2-6X+9=16+9

(%-3)2=25

x-3=±5

X]=-2,%2=8?

【點睛】此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知配方法的運用.

4(x—1)>x+2

18.解不等式組：bx+l

------->x-\

[3

【答案】2Wx<4

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間

找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

4(X-1)>X+2(D

【詳解】解：2x+l，小，

----->x-l②

解不等式①得x22,

解不等式②得x<4,

不等式組的解集為2Wx<4.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

19.已知“是方程尤2—2%—1=0的一個根，求代數(shù)式(“-2)2+(4+1)僅-1)的值.

【答案】5

【分析】先根據(jù)條件〃是方程f+x—1=()的一個根，得出/一2a=1,然后把所給的代

數(shù)式化簡為2(黯-2a)+3,代入a2-2a=l計算即可.

【詳解】是方程f-2x—l=0的一個根，

2。-1=0.

a2—2a=1.

二(a—2)一+(a+l)(a—1)

=a2-4。+4+。2-1

=2a2-4a+3

=2(a2-2a)+3

=2x1+3

=5.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，代數(shù)式求值，正確理解方程根的概念、利用

整體代入的方法進行求解是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，將AABC繞點8旋轉(zhuǎn)得到ADBE，且A,D,C三點、同一條直線上.

求證：03平分NAPE.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AABC妾Z^DBE,進一步得到BA=BD,從而得到

/A=/ADB,根據(jù)NA=NBDE得至IJ/ADB=/BDE,從而證得結(jié)論.

【詳解】解：證明：?..將AABC繞點B旋轉(zhuǎn)得到aDBE,

.'.△ABC^ADBE

；.BA=BD,ZA=ZBDE,

，NA=/ADB.

ZADB=ZBDE.

；.DB平分NADE.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心

所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)）=—x+〃z的圖象過點A（l,3）,且與x軸

交于點B.

（1）求加的值和點8的坐標(biāo)；

（2）若二次函數(shù)ynqf+bx圖象過A,8兩點,直接寫出關(guān)于x的不等式

ax1+hx>-x+m的解集?

【答案】（1）加=4,B的坐標(biāo)為（4,0）；（2）l<x<4.

【分析】（1）將點A的坐標(biāo)代入解析式即可求得m的值，然后令y=0,求得x的值即為B

點的橫坐標(biāo)；

（2）先根據(jù)A、8兩點的坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式，再畫出函數(shù)圖像，最后直接寫出

解集即可.

【詳解】解：（1）???y=一》+加的圖象過點4。,3）,

3=—1+m,

；?〃z=4.

y=~x+4.

令y=°,得X=4,

???點3的坐標(biāo)為（4,0）；

（2）.??二次函數(shù)丁=依2+匕%圖象過A,B兩點

3=a+bfa=-l

：.<,解得：<

0=4~9a+4。[b=4

畫出函數(shù)圖像如圖:

由函數(shù)圖像可得不等式?2+法>-》+機的解集為：l<x<4.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像的性質(zhì)、求二次函數(shù)的解析式及利用函數(shù)圖像確定不等

式的解集，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵.

22.關(guān)于x的一元二次方程/+（%一2）%+%-3=（）.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根大于0,求k的取值范圍.

【答案】（1）見解析（2）k<3

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得△=（攵-4）220,由此可證出方程總

有兩個實數(shù)根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出％=-1,x2=3-k,根據(jù)方程有一根大

于0,即可得出關(guān)于4的一元一次不等式，解之即可得出”的取值范圍.

【小問1詳解】

證明：?.?在方程*2+（%一2）%+%-3=0中，

/.A=（^-2）2-4（）l-3）=（^-4）2>0,

，方程總有兩個實數(shù)根；

【小問2詳解】

解：：x?+（攵—2）x+Z-3=0,

%——1f%2=3—k,

?.?方程有一根大于0，

3—人>0,

解得：k<3>

的取值范圍為左<3.

【點睛】本題考查了根的判別式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的

關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）利用公式法解一元二次方程

結(jié)合方程一根大于0,找出關(guān)于A的一元一次不等式.

23.擲實心球是北京市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項目.如圖1是小杰投擲實心球

訓(xùn)練，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來研究實心球的運動情況.他以水平方向為x軸方向，1m為單

位長度，建立了如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，實心球從），軸上的A點出手，運動路徑可

看作拋物線，在B點處達(dá)到最高位置，落在x軸上的點C處.小杰某次試投時的數(shù)據(jù)如圖

2所示.

（1）在圖中畫出實心球運動路徑的示意圖；

（2）根據(jù)圖中信息，求出實心球路徑所在拋物線的表達(dá)式；

（3）根據(jù)北京市高中階段學(xué)校招生體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（男生），若實心球投狀距離（實心

球落地點C與出手點A的水平距離。C的長度）不小于10m,成績?yōu)闈M分10分.請通過計

算，判斷小杰此次試投的成績是否能達(dá)到滿分.

2

【答案】（1）見解析（2）y=-石（X—5）2+4；

（3）小杰此次試投的成績達(dá)到優(yōu)秀.

【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖象即可；

（2）設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=a（x-5）2+4,由拋物線過點A得到25a+4=2.求得“=-

2

一，于是得到結(jié)論；

（3）根據(jù)題意解方程即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

解：實心球運動路徑如圖所示.

解：依題意，拋物線的頂點B的坐標(biāo)為（5,4）,點A的坐標(biāo)為（0,2）.

設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=。（》-5>+4,

由拋物線過點A,有25a+4=2.

解得，

25

2

,該拋物線的表達(dá)式為y=-石（x—5>+4；

【小問3詳解】

解：令產(chǎn)0,得一1（％-5）2+4=0.

解得X1=5+5五，々=5-5后（C在x軸正半軸，故舍去）.

...點C的坐標(biāo)為（5+5及，0）.

OC=5+5y/2-

由血>1,可得。05+5x1=10.

小杰此次試投的成績達(dá)到優(yōu)秀.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，正確建立平面直角坐標(biāo)系、熟練掌握

待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在“BC中，BA=BC,8。平分NABC交4c于點。，點E在線段8。上，點尸

在8力的延長線上，且。E=OF,連接AE,CE,AF,CF.

B

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）^BF=BA,AD=4,DF=2,求8F的長.

【答案】（1）見解析（2）BF=5.

【分析】（1）由對角線互相平分且垂直即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)BE=x,由菱形的性質(zhì)得出￡>F=￡>E=2,ZADB=90°,則&4=8F=8E+OE+OF,在

RmBDA中再由勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)果.

【小問I詳解】

證明：；AB=CB,80平分NA8C,

：.BD1AC,AD=CD,

\'DE=DF,

.??四邊形AECF是菱形；

【小問2詳解】

解：設(shè)8E=x,

由（1）得：四邊形AECF是菱形，

:.DF=DE=2,ZADB=90°,

?：BF=BA,

：.BA=BF^BE+DE+DF=x+4,BD=x+2,

在Rt^BDA中，BA2=DA2+BD2，即（x+4產(chǎn)=4?+（x+2>,

解得k1,

；.BF=1+4=5.

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握

菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.1992年巴塞羅那奧運會上，由1984、1988年兩屆殘疾人奧運會射箭獎牌獲得者，37歲

的巴塞羅那選手雷波洛射箭點火.只見他從輪椅上站起來，用火種點燃箭頭，然后準(zhǔn)確地

射向70米遠(yuǎn)、20米高的火炬塔，圣火隨之而起.火炬塔上面的圣火臺的點火區(qū)域是一個

邊長為4米的正方形.這只箭飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分，記這只箭飛行的水

平距離為d（單位：m）,距地面的豎直高度為a（單位：m）,獲得數(shù)據(jù)如表：

d（單位：m）010203040506070

h（單位：m）210.517.021.724.525.524.5k

小欣根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)〃隨自變量d的變化而變化的規(guī)律進行了研究.下面是

小欣的探究過程，請補充完整：

（1）女的值為;

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并用平滑的曲線連接；

—

__

e?

1

■

_

（3）據(jù)說，為了成功點燃主火炬，雷波洛練了不下2000次.練習(xí)中，他的命中率超過了

令人欣喜的90%.但是，由于開幕式是在晚間進行，而點火之前，體育場內(nèi)的所有燈光熄

滅，射手只能憑借月光和體育場外圍微弱的燈光來判斷火炬塔的位置.請結(jié)合函數(shù)圖像分

析，雷波洛射出的箭是否掉進了圣火臺里？答：（“是"或者"否”）

（4）據(jù)組織者透露說，圣火臺的上空充滿可燃?xì)怏w，只要雷波洛射出的箭能夠進入圣火臺

上方高4米的范圍內(nèi)，都可以順利點燃主火炬.小欣在研究這個問題的過程中還發(fā)現(xiàn)，如

果射箭的初始角度和力量不變的情況下，射手還可以通過調(diào)整與火炬塔的距離來改變這只

箭的飛行軌跡，如果保證圣火被點燃，請結(jié)合函數(shù)圖像分析，射手向前移動的最大距離與

向后移動的最大距離之和是米.（精確到1米）

【答案】⑴21.7

（2）圖見解析部分（3）否

（4）15

【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合表格數(shù)據(jù)可知當(dāng)4=70與d=30時的函數(shù)值相

等，據(jù)此即可求解；

（2）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點，然后用光滑的曲線連接即可；

（3）先求得拋物線的解析式，再求出當(dāng)d=72時所對應(yīng)的人的值，再和20作比較即可；

（4）利用已求得拋物線的解析式，根據(jù)題意，先求得正方形左下角的點A的坐標(biāo)和右上

角的點B的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的平移列出方程，求得平移的距離，即可求解.

【小問1詳解】

解：...這只箭飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分，

根據(jù)表格數(shù)據(jù)和二次函數(shù)圖像的對稱的性質(zhì)可得：對稱軸為直線4=5（）,

.?.4=70與d=30時的函數(shù)值相等，

???當(dāng)d=30時，1=21.7,

...當(dāng)d=70時，左=21.7.

故答案為：21.7.

【小問2詳解】

解：先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點，然后用光滑的曲線連接如下圖:

解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：〃=a(d-50)2+25.5,

當(dāng)d=40時，〃=24.5,

-50)2+25.5=24.5,

解得：a=-0.()1,

二次函數(shù)的解析式為h=-0.01(iZ-50)2+25.5,

當(dāng)d=72時，

h=-0.01x(72-50)2+25.5=-4.84+25.5=20.66>20,

...雷波洛射出的箭沒有掉進圣火臺里.

故答案為：否.

【小問4詳解】

解：由(3)可知：二次函數(shù)的解析式為〃=-0.01(2—50)2+25.5,

?..圣火臺上方高4米的范圍內(nèi)，都可以順利點燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不變的

情況下，射手可以通過調(diào)整與火炬塔的距離來改變這只箭的飛行軌跡，即相當(dāng)于將圖像左

右平移可以保證圣火被點燃，

依題意，正方形左下角的點A的坐標(biāo)為(68,20),右上角的點B的坐標(biāo)為(72,24),

設(shè)后退機(加>0)米，即拋物線向左平移加米，當(dāng)拋物線經(jīng)過正方形的左下角的點

4(68,20)時，

/.20=-0.01(68-50+m)2+25.5,

解得：叫=5后一18,zn,=-5722-18(不合題意，舍去)；

設(shè)前進〃（">0）米，即拋物線向右平移"米，當(dāng)拋物線經(jīng)過正方形的右上角的點

5（72,24）時,

24=-0.01（72-50-/ip+25.5,

解得：勺=22—5后，巧=22+5"（不合題意，舍去），

?'?加+〃=5V22-18+22-5V6

=5722-576+4

?15（米5

..?射手向前移動的最大距離與向后移動的最大距離之和為15米.

函數(shù)圖像的平移.根據(jù)函數(shù)圖像獲取信息解題的關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，己知拋物線y=a/-2/x+2/.

（1）求拋物線的對稱軸（用含。的式子表示）；

（2）點P（X],yJ,。（々，必）在拋物線上，其中。一24玉4。+3,%=-。+1.

①當(dāng)4=1時，求的必取值范圍和力的值；

②若存在,,使得必之必，直接寫出”的取值范圍.

【答案】（1）對稱軸為直線x=a

（2）①IKy<10,%=2

【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸公式：,即可得到答案；

2a

（2）①把a=l代入后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；

②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求解即可.

【小問1詳解】

解：?.?拋物線、=0？-2〃；|；+2/,

?,?該拋物線的對稱軸為直線戶-----二〃；

2x1

【小問2詳解】

-WW2

2

解：①當(dāng)a=l時，y=x-2x+2,-1<X,<4,X2=0,此時對稱軸是直線41,

Vl>0,

???拋物線開口向上.

.?.當(dāng)44時，函數(shù)取得最大值，y最大=16-8+2=10,

當(dāng)戶1時，函數(shù)取得最小值，y最小=1-2+2=1,

."<1<y,<10.

當(dāng)無2=0時，%=2.

②'.,當(dāng)。-2<西<4+3,工2=—。+1時，y之，

cr-2-1W-a+1Wa+3,

；.-lWaW2.

【點睛】本題考察了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對于二次函數(shù)），=以2+反+。（〃，h,c為常

數(shù)，分0）,當(dāng)a>0時，開口向上，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y

隨x的增大而增大；當(dāng)〃<0時，開口向下，在對稱軸的左側(cè)），隨x的增大而增大，在對稱

軸的右側(cè)y隨x的增大而減小.

27.在AABC中，ZACB=90,AC=CB,將線段C4繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位

置,得到線段8,連接4。,8。,。/平分/88交8。于點6,交的延長線于點

F,連接戰(zhàn).

（I）依題意補全圖形；

（2）①求NOFC的度數(shù)；②用等式表示線段A￡>,EB,FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）見解析（2）①45°；FC=