章末檢測(cè)試卷(三)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．i是虛數(shù)單位，若集合S＝{－1,0,1}，則()A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.eq\f(2,i)∈S答案B2．設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＞0，則zeq\o\al(2,1)＞－zeq\o\al(2,2)B．|z1－z2|＝eq\r(?z1＋z2?2－4z1z2)C．zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0?z1＝z2＝0D．z1－eq\x\to(z1)是純虛數(shù)或零答案D解析舉例說明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，則zeq\o\al(2,1)＝15＋8i，zeq\o\al(2,2)＝－8i，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＞0，但zeq\o\al(2,1)與－zeq\o\al(2,2)都是虛數(shù)，不能比較大小，故A錯(cuò)；因?yàn)閨z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|與eq\r(?z1＋z2?2－4z1z2)不一定相等，B錯(cuò)；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，則zeq\o\al(2,1)＝3＋4i，zeq\o\al(2,2)＝－3－4i，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C錯(cuò)；設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z1)＝a－bi，故z1－eq\x\to(z1)＝2bi，當(dāng)b＝0時(shí)是零，當(dāng)b≠0時(shí)，是純虛數(shù)．3．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A．AB．BC．CD．D答案B解析由共軛復(fù)數(shù)的定義可得．4．復(fù)數(shù)eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)等于()A．i B．－iC．2eq\r(2)－i D．－2eq\r(2)＋i答案A解析eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋i,1－\r(2)i)＝eq\f(?\r(2)＋i?i,?1－\r(2)i?i)＝eq\f(?\r(2)＋i?i,\r(2)＋i)＝i.5.eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)．若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i是虛數(shù)單位)，則z等于()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i答案D解析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋eq\x\to(z)＝2a＝2，得a＝1.(z－eq\x\to(z))i＝2bi2＝2，得b＝－1，∴z＝1－i.6．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1－z,1＋z)＝i，則|1＋z|的值為()A．0B．1C.eq\r(2)D．2答案C解析由eq\f(1－z,1＋z)＝i，得z＝eq\f(1－i,1＋i)＝－i，∴|1＋z|＝|1－i|＝eq\r(2).7．已知f(n)＝in－i－n(n∈N＋)，則集合{f(n)}的元素個(gè)數(shù)是()A．2B．3C．4D．無數(shù)個(gè)答案B解析f(n)有三個(gè)值0,2i，－2i.8．已知關(guān)于復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,1＋i)的四個(gè)命題：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i，p4：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．其中的真命題為()A．p2，p3 B．p1，p4C．p2，p4 D．p3，p4答案D解析z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2?1－i?,?1＋i??1－i?)＝1－i，p1：|z|＝eq\r(1＋?－1?2)＝eq\r(2).p2：z2＝(1－i)2＝－2i.p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i，真命題．p4：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)，位于第四象限，真命題．故選D.9．已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(0,1)，B(－1,3)，則eq\f(z2,z1)等于()A．3＋i B．3－iC．－1＋3i D．－3－i答案A解析z1＝i，z2＝－1＋3i，eq\f(z2,z1)＝eq\f(－1＋3i,i)＝3＋i.10．已知eq\x\to(z)是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，z＋eq\x\to(z)＋z·eq\x\to(z)＝0，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線答案A解析設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則z＋eq\x\to(z)＝2x，z·eq\x\to(z)＝x2＋y2，所以由z＋eq\x\to(z)＋z·eq\x\to(z)＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故選A.11．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則eq\f(a＋i2016,1＋i)的值為()A．1B．0C．1＋iD．1－i考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，可得a＝1，eq\f(a＋i2016,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(2?1－i?,?1＋i??1－i?)＝1－i.12．定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，則符合條件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋2i,1－i1＋i))＝0的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案A解析設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，由題意可得定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋2i,1－i1＋i))＝z(1＋i)－(1＋2i)(1－i)＝0，代入整理可得(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，解得a＝2，b＝－1，所以z＝2－i，所以eq\x\to(z)＝2＋i，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．在復(fù)平面內(nèi)，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案(3,4)解析∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－4m<0，,m2－m－6>0，))解得3<m<4.14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq\f(z1,z2)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案eq\f(8,3)解析eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋2i,3－4i)＝eq\f(?a＋2i??3＋4i?,?3－4i??3＋4i?)＝eq\f(3a＋4ai＋6i－8,25)＝eq\f(3a－8,25)＋eq\f(4a＋6,25)i，∵eq\f(z1,z2)為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3a－8,25)＝0，,\f(4a＋6,25)≠0，))∴a＝eq\f(8,3).15．已知復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|<z2，則b的取值范圍為________．答案(－1,1)解析由題意知，a＝0，故z1＝bi，z2＝1.∵|z1|<z2，∴|bi|<1，∴－1<b<1.16．下列說法中正確的是________．(填序號(hào))①若(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，則必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y(tǒng)，,1＝－?3－y?；))②2＋i>1＋i；③虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是純虛數(shù)；④若一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，則其虛部不存在；⑤若z＝eq\f(1,i)，則z3＋1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第一象限．答案⑤解析由y∈?CR知y是虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y(tǒng)，,1＝－?3－y?))不成立，故①錯(cuò)誤；兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小，故②錯(cuò)誤；原點(diǎn)也在虛軸上，表示實(shí)數(shù)0，故③錯(cuò)誤；實(shí)數(shù)的虛部為0，故④錯(cuò)誤；⑤中z3＋1＝eq\f(1,i3)＋1＝i＋1，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，故⑤正確．三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，當(dāng)m為何值時(shí)：(1)z是實(shí)數(shù)；(2)z是純虛數(shù)．解(1)要使復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2＝0，))解得m＝－2或m＝－1.即當(dāng)m＝－2或m＝－1時(shí)，z是實(shí)數(shù)．(2)要使復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))解得m＝3.即當(dāng)m＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．18．(12分)已知復(fù)數(shù)z1＝2－3i，z2＝eq\f(15－5i,?2＋i?2).求：(1)z1z2；(2)eq\f(z1,z2).解z2＝eq\f(15－5i,?2＋i?2)＝eq\f(15－5i,3＋4i)＝eq\f(?15－5i??3－4i?,?3＋4i??3－4i?)＝eq\f(25－75i,25)＝1－3i，則(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(2－3i,1－3i)＝eq\f(?2－3i??1＋3i?,?1－3i??1＋3i?)＝eq\f(11＋3i,10)＝eq\f(11,10)＋eq\f(3,10)i.19．(12分)已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|＝1＋3i－z.(1)求z并求其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求eq\f(?1＋i?2?3＋4i?2,2z)的共軛復(fù)數(shù)．解(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由已知，得eq\r(x2＋y2)＝1＋3i－(x＋yi)＝(1－x)＋(3－y)i.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝1－x，,0＝3－y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))所以z＝－4＋3i.其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4,3)．(2)由(1)知z＝－4＋3i，所以eq\f(?1＋i?2?3＋4i?2,2z)＝eq\f(2i×?9＋24i－16?,2?－4＋3i?)＝eq\f(24＋7i,4－3i)＝eq\f(?24＋7i??4＋3i?,?4－3i??4＋3i?)＝eq\f(75＋100i,25)＝3＋4i，共軛復(fù)數(shù)為3－4i.20．(12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝eq\r(2)，z2的虛部是2.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．解(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，由題意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)當(dāng)z＝1＋i時(shí)，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.當(dāng)z＝－1－i時(shí)，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.21．(12分)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(?－1＋3i??1－i?－?1＋3i?,i)，ω＝z＋ai(a∈R)，當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ω,z)))≤eq\r(2)時(shí)，求a的取值范圍．解因?yàn)閦＝eq\f(?－1＋3i??1－i?－?1＋3i?,i)＝eq\f(1＋i,i)＝1－i，所以|z|＝eq\r(2).又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ω,z)))≤eq\r(2)，所以|ω|≤2.而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i(a∈R)，則eq\r(12＋?a－1?2)≤2?(a－1)2≤3，所以－eq\r(3)≤a－1≤eq\r(3)，1－eq\r(3)≤a≤1＋eq\r(3).22．(12分)求同時(shí)滿足下列條件的所有的復(fù)數(shù)z.(1)z＋eq\f(10,z)∈R，且1<z＋eq\f(10,z)≤6；(2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)．解設(shè)z＝x＋yi(x，y∈Z)，則z＋eq\f(10,z)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(10,x2＋y2)))＋yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(10,x2＋y2)))i.因?yàn)閦＋eq\f(10,z)∈R，所以yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs