湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填

涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）

1.（3.00分）-2的相反數(shù)是（）

A.-2B.-1c.2D.1

22

2.（3.00分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年長(zhǎng)沙市地區(qū)生產(chǎn)總值約為10200億元，經(jīng)濟(jì)總量

邁入"萬(wàn)億俱樂部"，數(shù)據(jù)10200用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.102X105B.10.2X103C.1.02X104D.1.02X103

3.（3.00分）下列計(jì)算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.3&-2亞=1C.（x2）3=x5D.m5-i-m3=m2

4.（3.00分）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cm

D.6cm,7cm,14cm

5.（3.00分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

6.（3.00分）不等式組4+2>°的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

-----1.III1>—!-?ILI_I-I~?

A.-3-2-10123B.-3-2-10123

-?上???2?_I_?i??>

c.-3-2-10123D.-3-2-10123

7.（3.00分）將下列如圖的平面圖形繞軸I旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是

)

A._B.-----------—C.D.------

8.（3.00分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上

B.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天的降水概率為40%”,表示明天有40%的時(shí)間都在降雨

C."籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中"為隨機(jī)事件

D."a是實(shí)數(shù)，|a|20"是不可能事件

9.（3.00分）估計(jì)萬(wàn)+1的值是（）

A.在2和3之間B.在3和4之間C.在4和5之間D.在5和6之間

10.（3.00分）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐,

接著去圖書館讀報(bào)，然后回家，如圖反映了這個(gè)過(guò)程中，小明離家的距離y與時(shí)

間x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)圖象，下列說(shuō)法正確的是（）

B.小明讀報(bào)用了30min

C.食堂到圖書館的距離為0.8km

D.小明從圖書館回家的速度為0.8km/min

11.（3,00分）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一

道題："問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲

知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里,

13里，問這塊沙田面積有多大？題中"里"是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=500米，

則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

12.（3.00分）若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a,拋物線y=ax2+ax-2a總不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（xo

-3,xo2-16）,則符合條件的點(diǎn)P（）

A.有且只有1個(gè)B.有且只有2個(gè)C.有且只有3個(gè)D.有無(wú)窮多個(gè)

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

13.（3.00分）化簡(jiǎn)：_5!___L_=.

in-1m-l

14.（3.00分）某校九年級(jí)準(zhǔn)備開展春季研學(xué)活動(dòng)，對(duì)全年級(jí)學(xué)生各自最想去的

活動(dòng)地點(diǎn)進(jìn)行了調(diào)查，把調(diào)查結(jié)果制成了如下扇形統(tǒng)計(jì)圖，貝/世界之窗"對(duì)應(yīng)扇

形的圓心角為度.

15.（3.00分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)ZV（-2,3）向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，的坐標(biāo)是.

16.（3.00分）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6

的點(diǎn)數(shù)，擲得面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是.

17.（3.00分）已知關(guān)于x方程x2-3x+a=0有一個(gè)根為1,則方程的另一個(gè)根

為?

18.（3.00分）如圖，點(diǎn)A,B,D在。。上，ZA=20°,BC是。。的切線，B為

切點(diǎn)，OD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)C,則NOCB=度.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小

題6分，第22、23題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答時(shí)

寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

19.（6.00分）計(jì)算：（-1）2018-V8+（兀-3）°+4cos45°

20.（6.00分）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+b）2+b（a-b）-4ab,其中a=2,b=--.

21.（8.00分）為了了解居民的環(huán)保意識(shí)，社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機(jī)抽取了

若干名居民開展主題為"打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)"的環(huán)保知識(shí)有獎(jiǎng)問答活動(dòng)，并用得到的

數(shù)據(jù)繪制了如圖條形統(tǒng)計(jì)圖（得分為整數(shù)，滿分為10分，最低分為6分）

請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查一共抽取了名居民；

（2）求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）社區(qū)決定對(duì)該小區(qū)500名居民開展這項(xiàng)有獎(jiǎng)問答活動(dòng)，得10分者設(shè)為"一

等獎(jiǎng)"，請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，幫社區(qū)工作人員估計(jì)需準(zhǔn)備多少份“一等獎(jiǎng)”獎(jiǎng)品？

22.（8.00分）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的

公路進(jìn)行改建.如圖，A、B兩地之間有一座山.汽車原來(lái)從A地到B地需途徑

C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=80

千米，NA=45°,ZB=30°.

（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米?

（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1

千米）（參考數(shù)據(jù)：出2141,?心1.73）

23.（9.00分）隨著中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場(chǎng)決定開展"歡度端

午，回饋顧客"的讓利促銷活動(dòng)，對(duì)部分品牌粽子進(jìn)行打折銷售，其中甲品牌粽

子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌

粽子需600元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.

（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？

（2）陽(yáng)光敬老院需購(gòu)買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購(gòu)買這

批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？

24.(9.00分)如圖，在aABC中，AD是邊BC上的中線，ZBAD=ZCAD,CE//

AD,CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,BC=8,AD=3.

(1)求CE的長(zhǎng)；

(2)求證：4ABC為等腰三角形.

(3)求aABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.

25.(10.00分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=皿(m為常數(shù)，m>l,

X

x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸，y軸分別交于C,

D兩點(diǎn)，點(diǎn)M(x,y)是該函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y軸的

垂線，垂足分別為A,B.

(1)求NOCD的度數(shù)；

(2)當(dāng)m=3,l<x<3時(shí)，存在點(diǎn)M使得△OPMsaocp,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)當(dāng)m=5時(shí)，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請(qǐng)說(shuō)明

26.(10.00分)我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做"十字形".

（1）①在"平行四邊形，矩形，菱形，正方形"中，一定是"十字形"的有;

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CBWCD,則該四邊形"十字形".（填"是"

或"不是”）

（2）如圖：L,A,B,C,D是半徑為1的。0上按逆時(shí)針方向排列的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

AC與BD交于點(diǎn)E,ZADB-ZCDB=ZABD-ZCBD,當(dāng)6^AC2+BD2^7時(shí)，求

0E的取值范圍；

（3）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，

a>0,c<0）與x軸交于A,C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的

交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,-ac）,記“十字形"ABCD的面積為S,記△AOB,ACOD,

△AOD,ABOC的面積分別為Si，S2，S3,S4.求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的拋物

線的解析式；

①?=歷+花；②岳居+國(guó)③"十字形"ABCD的周長(zhǎng)為12而柞

2018年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填

涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）

1.（3.00分）-2的相反數(shù)是（）

A.-2B.-1c.2D.1

22

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

【解答】解：-2的相反數(shù)是2,

故選：C.

2.（3.00分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年長(zhǎng)沙市地區(qū)生產(chǎn)總值約為10200億元，經(jīng)濟(jì)總量

邁入"萬(wàn)億俱樂部"，數(shù)據(jù)10200用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.102X105B.10.2X103C.1.02X104D.1.02X103

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10n的形式，其中|a|V10,n為整數(shù).確

定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)

移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值VI時(shí)，n

是負(fù)數(shù).

【解答】解:10200=1.02X104,

故選：C.

3.（3.00分）下列計(jì)算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.3亞-2圾=1仁（x2）3=x5D.m5-rm3=m2

【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及幕的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算

法則分別計(jì)算得出答案.

【解答】解：A、a2+a3,無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、372-272=72，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C（x2）3=x6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、m5-i-m3=m2,正確.

故選：D.

4.（3.00分）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cm

D.6cm,7cm,14cm

【分析】結(jié)合"三角形中較短的兩邊之和大于第三邊"，分別套入四個(gè)選項(xiàng)中得三

邊長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：A、?.?5+4=9,9=9,

,該三邊不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、8+8=16,16>15,

...該三邊能組成三角形，故此選項(xiàng)正確；

C、5+5=10,10=10,

,該三邊不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、6+7=13,13<14,

該三邊不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選:B.

5.（3.00分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確;

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

6.（3.00分）不等式組『+2>°的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

l2x-4<0

―…_I_4?>_—6!_!~!~?I>

A.-3-2-10123B,凸-2-10123

-IbII?1?—!->-I—_I_I_I_i?I>

C.-3-2-10123D.-3-2-10123

【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】解：解不等式x+2>0,得：x>-2,

解不等式2x-4W0,得：xW2,

則不等式組的解集為-2VxW2,

將解集表示在數(shù)軸上如下：

--39一1~0~12~3^

故選：C.

7.（3.00分）將下列如圖的平面圖形繞軸I旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是

()

【分析】根據(jù)面動(dòng)成體以及圓臺(tái)的特點(diǎn)進(jìn)行逐一分析，能求出結(jié)果.

【解答】解：繞直線I旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圓臺(tái)，

故選：D.

8.（3.00分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上

B.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)"明天的降水概率為40%”,表示明天有40%的時(shí)間都在降雨

C."籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中"為隨機(jī)事件

D.“a是實(shí)數(shù)，|a|20"是不可能事件

【分析】直接利用概率的意義以及隨機(jī)事件的定義分別分析得出答案.

【解答】解：A、任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上，錯(cuò)誤;

B、天氣預(yù)報(bào)說(shuō)"明天的降水概率為40%",表示明天有40%的時(shí)間都在降雨，錯(cuò)

誤；

C、"籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中"為隨機(jī)事件，正確；

D、"a是實(shí)數(shù)，|a|20"是必然事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

9.（3.00分）估計(jì)/元+1的值是（）

A.在2和3之間B.在3和4之間C.在4和5之間D.在5和6之間

【分析】應(yīng)先找到所求的無(wú)理數(shù)在哪兩個(gè)和它接近的整數(shù)之間，然后判斷出所求

的無(wú)理數(shù)的范圍.

【解答】解：?.?32=9,42=16,

/.3<V10<4,

...技+1在4到5之間.

故選：C.

10.（3.00分）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐,

接著去圖書館讀報(bào)，然后回家，如圖反映了這個(gè)過(guò)程中，小明離家的距離y與時(shí)

間x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)圖象，下列說(shuō)法正確的是（）

B.小明讀報(bào)用了30min

C.食堂到圖書館的距離為0.8km

D.小明從圖書館回家的速度為0.8km/min

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷即可.

【解答】解：小明吃早餐用了（25-8）=17min,A錯(cuò)誤；

小明讀報(bào)用了（58-28）=30min,B正確;

食堂到圖書館的距離為（0.8-0.6）=0.2km,C錯(cuò)誤;

小明從圖書館回家的速度為0.8+10=0.08km/min,D錯(cuò)誤；

故選:B.

11.（3.00分）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一

道題："問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲

知為田幾何？"這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里,

13里，問這塊沙田面積有多大？題中"里"是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=500米，

則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案.

【解答】解：；52+122=132,

.?.三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，

,這塊沙田面積為：lx5X500X12X500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.

2

故選：A.

12.（3.00分）若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a,拋物線y=ax2+ax-2a總不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（xo

-3,xo2-16）,則符合條件的點(diǎn)P（）

A.有且只有1個(gè)B.有且只有2個(gè)C.有且只有3個(gè)D.有無(wú)窮多個(gè)

【分析】根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的不等式，然后根據(jù)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a,拋物

線總不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2）即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可

y=ax?+ax-2aPxo-3,x0-16,P

以解答本題.

【解答】解：?.?對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)拋物線2總不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

a,y=ax+ax-2aPx0-3,

Xo2-16),

xo2-162a(Xo-3)2+a(xo-3)-2a

/.(xo-4)(Xo+4)Wa(xo-1)(x。-4)

/.(xo+4)Wa(xo-1)

??Xo=-4u戈x0=l,

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-7,0)或(-2,-15)

故選:B.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

13.(3.00分)化簡(jiǎn)：-g—1.

m-lm-1

【分析】根據(jù)分式的加減法法則：同分母分式加減法法則：同分母的分式想加減,

分母不變，把分子相加減計(jì)算即可.

【解答】解：原式=三士=1.

m-l

故答案為：L

14.(3.00分)某校九年級(jí)準(zhǔn)備開展春季研學(xué)活動(dòng)，對(duì)全年級(jí)學(xué)生各自最想去的

活動(dòng)地點(diǎn)進(jìn)行了調(diào)查，把調(diào)查結(jié)果制成了如下扇形統(tǒng)計(jì)圖，則"世界之窗"對(duì)應(yīng)扇

形的圓心角為90度.

【分析】根據(jù)圓心角=36(TX百分比計(jì)算即可；

【解答】解：“世界之窗”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角=36(TX(1-10%-30%-20%-15%)

=90°,

故答案為90.

15.(3.00分)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)/V(-2,3)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,

再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，的坐標(biāo)是(1,1).

【分析】直接利用平移的性質(zhì)分別得出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)得出答案.

【解答】解：?.?將點(diǎn)A，（-2,3）向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

，得到（1,3）,

???再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，

二平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，的坐標(biāo)是：（1,1）.

故答案為：（1,1）.

16.（3.00分）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6

的點(diǎn)數(shù)，擲得面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是1.

—

【分析】先統(tǒng)計(jì)出偶數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答.

【解答】解：正方體骰子共六個(gè)面，點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6,偶數(shù)為2,4,6,

故點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為之=工，

62

故答案為：1.

2

17.（3.00分）已知關(guān)于x方程x2-3x+a=0有一個(gè)根為1,則方程的另一個(gè)根為

2.

【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為m,根據(jù)兩根之和等于-白，即可得出關(guān)于m的

a

一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m,

根據(jù)題意得：l+m=3,

解得:m=2.

故答案為：2.

18.（3.00分）如圖，點(diǎn)A,B,D在。。上，ZA=20°,BC是。。的切線，B為

切點(diǎn)，OD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)C,則NOCB=50度.

BC

【分析】由圓周角定理易求NBOC的度數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得/

OBC=90°,進(jìn)而可求出求出NOCB的度°°

【解答】解：

ZA=20°,

/.ZBOC=40o,

?.?BC是。。的切線，B為切點(diǎn)，

NOBC=90。，

AZOCB=90°-40°=50°,

故答案為：50.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小

題6分，第22、23題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答時(shí)

寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

19.（6.00分）計(jì)算：（-1）2018-&+（n-3）0+4cos45°

【分析】本題涉及零指數(shù)幕、乘方、二次根式化簡(jiǎn)和特殊角的三角函數(shù)值4個(gè)考

點(diǎn).在計(jì)算時(shí)，需要針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得

計(jì)算結(jié)果.

【解答】解：原式=1-2b+1+4X返=1-2亞+1+2&=2.

2

20.（6.00分）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+b）2+b（a-b）-4ab,其中a=2,b=--.

2

【分析】首先計(jì)算完全平方，計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后再合并同類項(xiàng)，化簡(jiǎn)

后，再代入a、b的值，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：原式=a2+2ab+b?+ab-b2-4ab=a2-ab,

當(dāng)a=2,b=-1時(shí)，原式=4+1=5.

2

21.（8.00分）為了了解居民的環(huán)保意識(shí)，社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機(jī)抽取了

若干名居民開展主題為"打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)"的環(huán)保知識(shí)有獎(jiǎng)問答活動(dòng)，并用得到的

數(shù)據(jù)繪制了如圖條形統(tǒng)計(jì)圖（得分為整數(shù)，滿分為10分，最低分為6分）

請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查一共抽取了50名居民:

（2）求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）社區(qū)決定對(duì)該小區(qū)500名居民開展這項(xiàng)有獎(jiǎng)問答活動(dòng)，得10分者設(shè)為"一

等獎(jiǎng)"，請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，幫社區(qū)工作人員估計(jì)需準(zhǔn)備多少份“一等獎(jiǎng)”獎(jiǎng)品？

【分析】（1）根據(jù)總數(shù)=個(gè)體數(shù)量之和計(jì)算即可；

（2）根據(jù)平均數(shù)、總數(shù)、中位數(shù)的定義計(jì)算即可；

（3）利用樣本估計(jì)總體的思想解決問題即可；

【解答】解:（1）共抽取:4+10+15+11+10=50（人），

故答案為50；

（2）平均數(shù)=工（4X6+10X7+15X8=11X9+10X10）=8.26；

50

眾數(shù)：得到8分的人最多，故眾數(shù)為8.

中位數(shù)：由小到大排列，知第25,26平均分為8分，故中位數(shù)為8分;

（3）得到10分占104-50=20%,

故500人時(shí)，需要一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品500X20%=100（份）.

22.（8,00分）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的

公路進(jìn)行改建.如圖，A、B兩地之間有一座山.汽車原來(lái)從A地到B地需途徑

C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=80

千米，NA=45°,ZB=30°.

（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？

（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1

千米）（參考數(shù)據(jù)：圾心141,5心1.73）

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CD,垂足為D,在直角4ACD中，解直角三角

形求出CD,進(jìn)而解答即可；

（2）在直角4CBD中，解直角三角形求出BD,再求出AD,進(jìn)而求出汽車從A

地到B地比原來(lái)少走多少路程.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CD,垂足為D,

VAB1CD,sin3（T=生，BC=80千米，

BC

（千米），

ACD=BC?sin30°=80X1,=4Q

AC=.^4=-=40/2（千米），

sin45V2

T

AC+BC=80+40&=40X1.41+80=136.4（千米）,

答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米;

（2）Vcos30°=?.,BC=80（千米）,

BC_

...BD=BC?cos30°=80X除=4帖（千米），

Vtan45°=^,CD=40（千米），

AD

???AD=CD=40（千米），

tan451

,AB=AD+BD=40+40?^40+40X1.73=109.2（千米）,

汽車從A地到B地比原來(lái)少走多少路程為：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2（千

米）.

答：汽車從A地到B地比原來(lái)少走的路程為27.2千米.

23.（9.00分）隨著中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日"端午節(jié)”的臨近，東方紅商場(chǎng)決定開展"歡度端

午，回饋顧客"的讓利促銷活動(dòng)，對(duì)部分品牌粽子進(jìn)行打折銷售，其中甲品牌粽

子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌

粽子需600兀；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200兀.

（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？

（2）陽(yáng)光敬老院需購(gòu)買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購(gòu)買這

批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？

【分析】（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根據(jù)"打折

前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，買50盒甲品牌粽

子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解

之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)節(jié)省錢數(shù)=原價(jià)購(gòu)買所需錢數(shù)-打折后購(gòu)買所需錢數(shù)，即可求出節(jié)省的

錢數(shù).

【解答】解：（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，

根據(jù)題意得：（6x+3尸60°,

150X0.8x+40X0.75y=520C

解得：了式.

ly=120

答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元.

（2）80X40+100X120-80X0,8X40-100X0.75X120=3640（元）.

答：打折后購(gòu)買這批粽子比不打折節(jié)省了3640元.

24.（9.00分）如圖，在^ABC中，AD是邊BC上的中線，NBAD=NCAD,CE//

AD,CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,BC=8,AD=3.

（1）求CE的長(zhǎng)；

（2）求證：AABC為等腰三角形.

（3）求4ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.

E

【分析】(1)證明AD為4BCE的中位線得到CE=2AD=6；

(2)通過(guò)證明aABD之4CAD得至UAB=AC；

(3)如圖，連接BP、BQ、CQ,先利用勾股定理計(jì)算出AB=5,設(shè)。P的半徑為

R,OQ的半徑為r,在RtAPBD中利用勾股定理得到(R-3)2+42=R2,解得R=空,

6

則PD=Z，再利用面積法求出r=&,即QD=t然后計(jì)算PD+QD即可.

633

【解答】(1)解：是邊BC上的中線，

，BD=CD,

VCE/7AD,

AAD為aBCE的中位線，

:.CE=2AD=6；

(2)證明：VBD=CD,ZBAD=ZCAD,AD=AD,

.,.△ABD^ACAD,

；.AB=AC,

.,.△ABC為等腰三角形.

(3)如圖，連接BP、BQ、CQ,

在中，

RtAABDAB=^32+42=5,

設(shè)。P的半徑為R,€)Q的半徑為r,

在RtZ\PBD中，(R-3)2+42=R2,解得R=生,

6

；.PD=PA-AD=空-3=工，

66

SAABQ+SABCQ+SAACQ=SAABC，

.*.l?r*5+l?r?8+l*r*5=l*3*8,解得r=l,

22223

即QD=2,

3

PQ=PD+QD=Z+_1=".

632

答：4ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為巨.

25.(10.00分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=皿(m為常數(shù)，m>l,

X

x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸，y軸分別交于C,

D兩點(diǎn)，點(diǎn)M(x,y)是該函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y軸的

垂線，垂足分別為A,B.

(1)求NOCD的度數(shù)；

(2)當(dāng)m=3,l<x<3時(shí)，存在點(diǎn)M使得△OPMsaocp,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)當(dāng)m=5時(shí)，矩形。AMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請(qǐng)說(shuō)明

【分析】(1)想辦法證明OC=OD即可解決問題；

(2)設(shè)M(a,旦)，由△OPMs^ocP,推出如=51=理，由此構(gòu)建方程求出a,

a0COPCP

再分類求解即可解決問題；

(3)不存在分三種情形說(shuō)明：①當(dāng)l〈xV5時(shí)，如圖1中；②當(dāng)xWl時(shí)，如圖

2中；③當(dāng)x25時(shí)，如圖3中；

【解答】解：(1)設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b,則有(k/b=l

lk+b=m

解得fk=T,

(b+irrH

y=-x+m+!,

令x=0,得到y(tǒng)=m+l,D(0,m+1),

令y+0,得到x=m+l,.*.C(m+1,0),

AOC=OD,

VZCOD=90°,

NOCD=45°.

(2)設(shè)M(a,a)，

a

VAOPM^AOCP,

?OP=OM=PM,

"OC^OPCP'

.,.OP2=OC?OM,

當(dāng)m=3時(shí)，P(3,1),C(4,0),

OP2=32+12=10,OC=4,OM=近2T,

?OP-VlO

?*“，i—,,

OC4

.■,4a4-25a2+36=0,

(4a2-9)(a2-4)=0,

?*.a=±—,a=±2,

2

Vl<a<3,

，a=3或2,

2

當(dāng)a=3時(shí)，M(2,2),

22

PM=^,CP=J2>

2

里叵(舍棄)，

CP2V24

當(dāng)a=2時(shí)，M(2,W),PM=YE,CP=后,

_22

.??里=淬=叵，成立，

CP2424

.,.M(2,1).

2

(3)不存在.理由如下：

當(dāng)m=5時(shí)，P(5,1),Q(1,5),設(shè)M(x,5),

X

OP的解析式為：y=lx,0Q的解析式為y=5x,

5

①當(dāng)1VXV5時(shí)，如圖1中，

=5-Lx，x-=4.1,

252xx

化簡(jiǎn)得到：X，-9x2+25=0,

△<0,

.??沒有實(shí)數(shù)根.

②當(dāng)xWl時(shí)，如圖2中，

???不存在,

不存在，

綜上所述，不存在.

26.（10.00分）我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做"十字形".

(1)①在"平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是"十字形"的有菱形,

正方形；

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CBWCD,則該四邊形不是"十字形".(填

"是"或"不是")

(2)如圖1,A,B,C,D是半徑為1的。0上按逆時(shí)針方向排列的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

AC與BD交于點(diǎn)E,ZADB-NCDB=/ABD-ZCBD,當(dāng)6^AC2+BD2^7時(shí)，求

0E的取值范圍；

(3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，

a>0,c<0)與x軸交于A,C兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè))，B是拋物線與y軸的

交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-ac),記“十字形"ABCD的面積為S,記aAOB,ACOD,

△AOD,ABOC的面積分別為Si，S2，S3,S4.求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的拋物

線的解析式；

①?=花+偲；②遮=偲+后；③"十字形"ABCD的周長(zhǎng)為12H?

【分析】(1)利用"十字形"的定義判斷即可；

(2)先判斷出NADB+NCAD=NABD+NCAB,進(jìn)而判斷出NAED=NAEB=90°,即：

AC1BD,再判斷出四邊形OMEN是矩形，進(jìn)而得出OE2=2-±(AC2+BD2),即可

4

得出結(jié)論；

(3)由題意得，A(ZWA,0),B(0,c),C(~b+VA,o),。(0,-ac),

2a2a

c(

求出S=ly\C?BD=-工(ac+c)X仄,Si=10A*0B=-^VA+b),s2=10C*0D=

22a24a2

-,S3」OAXOD=-,S4」OBXOC=-進(jìn)而

42__________42__________4a

建立方程Yr(J&+豆N~~c?A-b)=d-c(VA+3+、-c3A-b)求出a=],

m2"2倔'

再求出b=0,進(jìn)而判斷出四邊形ABCD是菱形，求出AD=3而，進(jìn)而求出c=-9,

即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)①???菱形，正方形的對(duì)角線互相垂直，

二菱形，正方形是："十字形"，

???平行四邊形，矩形的對(duì)角線不一定垂直，

???平行四邊形，矩形不是"十字形"，

故答案為：菱形，正方形；

②如圖，

'AB=AD

當(dāng)CB=CD時(shí)，在4ABC和4ADC中，，CBXD，

AC=AC

/.△ABC^AADC(SSS),

/.ZBAC=ZDAC,

VAB=AD,

AAClBD,

.?.當(dāng)CBWCD時(shí)，四邊形ABCD不是"十字形"，

故答案為：不是；

(2)VZADB+ZCBD=ZABD+ZCDB,NCBD=NCDB=/CAB,

，ZADB+ZCAD=ZABD+ZCAB,

，180。-ZAED=1800-ZAEB,

，NAED=NAEB=90°,

AAClBD,

過(guò)點(diǎn)。作。M，AC于M,ON_LBD于N,連接OA,OD,

AOA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=ly\C,DN=1BD,四邊形OMEN

22

是矩形，

，ON=ME,OE2=OM2+ME2,

.*.OE2=OM2+ON2=2-1(AC2+BD2),

4

V6^AC2+BD2<7,

：.2-工WOE2<2-3,

42

22

(OE>0);

(3)由題意得，A(-b~VZ~,o),B(0,c),C(~b+VA,o),D(0,-ac),

2a2a

Va>0,c<0,

QA=^~+b>0B=-c,QC=^~b,0D=-ac,AC=2/瓦，BD=-ac-c,

2a2aa

.*.S=1T\C*BD=-1（ac+c）X^A,Si=J-OA?OB=-cG/X+b）,s2=loC?OD=-

22a24a2

c（V"^-b）

-----------------,

4__

S3JoAXOD=-c（V^~+b）,S4=J_OBXOC=-c（VX~~b）,

2424a

...?-c（V2r+b）+V^-c￡&-3-J-c鼠E+b）N-c3A-b）

V4a22V4a

V4a=2，

??a=l,

...S=-cVZ，S1=-c（仿+b）,S4=_c（億-b）,

44

???氐同恒

，s=S]+S2+2、y^,

??《2生=^^，

b=0,

.,.A（-4，0）,B（0,c）,C（二，0）,d（0,-c）,

???四邊形ABCD是菱形，

，4AD=12。元

??AD=34]0,

即:AD2=90,

VAD2=c2-c,

/.c2-c=90,

???c=-9或c=10（舍），

即：y=x2-9.

鄂州市2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校：考生姓名：

準(zhǔn)考證號(hào)：口???????-—

注意事項(xiàng)：

1.本試題卷共6頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條

形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

3.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷上無(wú)效。

4.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷

上無(wú)效。

5.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

6.考生不準(zhǔn)使用計(jì)算器。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1.實(shí)數(shù)6的相反數(shù)等于

A.-6B.6C.±6D.-

2.下列運(yùn)算正確的是

A.a-a=aB.5a—4a-1

D.（2"）3=6/

3.“國(guó)士無(wú)雙”是人民對(duì)“雜交水稻之父”袁隆平院士的贊譽(yù).下列四個(gè)漢字中是軸對(duì)稱圖

形的是

±無(wú)雙

4.下列四個(gè)幾何體中，主視圖是三角形的是

A.B.C.

5.已知銳角NAO3=40。，如圖，按下列步驟作圖:

①在。4邊取一點(diǎn)。，以。為圓心，0。長(zhǎng)為半徑畫MN,交03于點(diǎn)C,連接C￡）.

②以。為圓心，。。長(zhǎng)為半徑畫G”，交08于點(diǎn)E,連接OE.則NC。石的度數(shù)為

A.20°B.30°C.40°D.50°

6.已知q為實(shí)數(shù)，規(guī)定運(yùn)算：。,=1--,“3=1----，%=1----，%=1----，...,

4a2a3a4

4=1一一按上述方法計(jì)算：當(dāng)4=3時(shí)，awl的值等于

a.,_,

7.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法.如圖，直線y=2x-l與直線

>=依+》僅彳0）相交于點(diǎn)尸（2,3）.根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式2%一1>區(qū)+人的解

集是

A.x<2B.x<3C.x>2D.x>3

8.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫

描繪了筒車的工作原理，如圖1.筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，如圖2.已

知圓心。在水面上方，且0。被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，00半徑長(zhǎng)為4米.若點(diǎn)。為

運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是

A.1米米C.2米D.（4+77）

米

9.二次函數(shù)y=Qt2+6x+c(aH0)的圖象的一部分如圖所示.已知圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(—1,0),

其對(duì)稱軸為直線x=l.下列結(jié)論:

①abc<0；

②4a+2Z?+cv0；

③8Q+CvO；

④若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,〃)，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(。豐0)的兩根分

別為一3,5.

上述結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖，RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=26BC=3.點(diǎn)P為AABC內(nèi)一點(diǎn),

且滿足曰2+尸。2=AC?.當(dāng)PB的長(zhǎng)度最小時(shí)，A4C尸的面積是

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）

11.計(jì)算：79=.

12.“最美鄂州，從我做起”.“五四”青年節(jié)當(dāng)天，馬橋村青年志愿小組到胡林社區(qū)參加美

化社區(qū)活動(dòng).6名志愿者參加勞動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)）分別為：3,2,2,3,1,2.這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.

13.已知實(shí)數(shù)a、人滿足>/^五+忸+3|=0,若關(guān)于x的一元二次方程V—奴+8=0的

兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為西、馬，則'+'=.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一1,0）,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（一3,3）,將點(diǎn)A繞

點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)6,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

A*

C~oX

19

15.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=—（龍〉0）的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4作AC_Lx軸于點(diǎn)C,

AC交反比例函數(shù)y=4（x>0）的圖象于點(diǎn)3,點(diǎn)尸是y軸正半軸上一點(diǎn).若AE43的面

積為2,則％的值為.

16.如圖，四邊形ABDC中，AC=BC,ZACB=90°.AD_L5O于點(diǎn)。.若BD=2,

CD=472,則線段A5的長(zhǎng)為.

三、解答題（本大題共8小題，17?21題每題8分，22?23題每題10分，24題12分，共

計(jì)72分）

17.（本題滿分8分）

尤

先化簡(jiǎn)，再求值：二2—^Q十x?二+3^x+色4，其中x=2.

x-\x-\X

18.（本題滿分8分）

為了引導(dǎo)青少年學(xué)黨史、頌黨恩、跟黨走，某中學(xué)舉行了“南獻(xiàn)禮建黨百年”黨史知識(shí)競(jìng)賽

活動(dòng).胡老師從全校學(xué)生的答卷中隨機(jī)地抽取了部分學(xué)生的答卷進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析（卷面滿分

100分，且得分x均為不小于60的整數(shù)），并將競(jìng)賽成績(jī)劃分為四個(gè)等級(jí)：基本合格

（60Wx<70）.合格（70Wx<80）、良好（80Wx<90）、優(yōu)秀（90WxW100）,

制作了如下統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）：

所抽取成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖所抽取成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)圖中提供的信息解決下列問題：

（1）（3分）胡老師共抽取了名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基

本合格”等級(jí)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）（5分）現(xiàn)從“優(yōu)秀”等級(jí)的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中任選兩人參加全市黨史知識(shí)競(jìng)

賽活動(dòng)，請(qǐng)用畫樹形圖的方法求甲學(xué)生被選到的概率.

19.（本題滿分8分）

如圖，在。ABCD中，點(diǎn)E、尸分別在邊40、上，且=

D

B

（1）（4分）探究四邊形8石DE的形狀，并說(shuō)明理由;