例已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖試證明：K從0變化時的閉環(huán)根軌跡其復(fù)數(shù)部分為圓，并求圓的半徑和圓心。(2)n=2，根軌跡有2條分支；開環(huán)極點：

p1=0，p2=-a

開環(huán)零點：

z1=-b解：(3)K=0時，根軌跡起始于p1，p2K

時，根軌跡一條終止于z1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處；(4)實軸上的根軌跡區(qū)段：(-a,0)，(-,-b)(5)漸近線：因為n–m=1，所以(6)分離點坐標(biāo)sd：由公式所以求得兩個分離點坐標(biāo)分別為證明：兩分離點之間的根軌跡為圓由于根軌跡上任一點都滿足閉環(huán)特征方程，設(shè)根軌跡復(fù)數(shù)部分任一點s=+j，代入特征方程得：則整理得：顯然這是以,為變量的圓的方程，其圓心坐標(biāo)為(-b，0)，半徑為：將K代入整理，得到從例題中可以發(fā)現(xiàn)：由兩個極點(實數(shù)極點或復(fù)數(shù)極點)和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點沒有位于兩個實數(shù)極點之間，當(dāng)K從零變到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點為圓心到分離點的距離為半徑的圓，或圓的一部分。這在數(shù)學(xué)上是可以嚴(yán)格證明的。開環(huán)零極點變化時的根軌跡根軌跡的形狀與開環(huán)零極點的分布密切相關(guān)。一、增加開環(huán)極點的影響改變了根軌跡在實軸上的分布；改變漸近線的條數(shù)，方向角及與實軸的交點；一般使根軌跡向右偏移，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性。例如：二、增加開環(huán)零點的影響例如：增加開環(huán)零點可以使根軌跡左移，有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性。例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試作閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：根軌跡如下系統(tǒng)變成如無重極點，可將上式分解為以下部分分式：經(jīng)拉氏反變換得：§4.3利用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)性能其中：3.要求系統(tǒng)平穩(wěn)性好，則復(fù)數(shù)極點最好設(shè)置在s平面中與負(fù)實軸成±45o夾角附近。一、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系1.要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須使所有的閉環(huán)極點si均位于s平面的左半部。2.要求系統(tǒng)快速性好，應(yīng)使閉環(huán)極點遠(yuǎn)離虛軸。4.要求動態(tài)過程盡快消失，則須使閉環(huán)極點之間的距離加大，零點應(yīng)靠近極點si。2.偶極子:某閉環(huán)極點si與某閉環(huán)零點之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級或更小，則稱它們?yōu)榕紭O子。1.主導(dǎo)極點:離虛軸最近的閉環(huán)極點(復(fù)數(shù)極點或?qū)崝?shù)極點)，對系統(tǒng)動態(tài)過程性能影響最大，起著決定性的作用。把這種極點稱為主導(dǎo)極點。二、主導(dǎo)極點與偶極子顯然-1為主導(dǎo)極點，系統(tǒng)可近似為一階系統(tǒng)：例2：某三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)試估算系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)、。且：解：閉環(huán)系統(tǒng)有三個極點，分別為則可標(biāo)出該系統(tǒng)的零、極點分布如圖所示。例3：若三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)試估算系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)、。則極點與零點構(gòu)成偶極子，故系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)：

但還有一個閉環(huán)零點,則可標(biāo)出該系統(tǒng)的零、極點分布如圖所示。解：閉環(huán)系統(tǒng)的三個極點與前例相同，分別為對照標(biāo)準(zhǔn)式得：例4：負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求系統(tǒng)阻尼比時的主導(dǎo)極點，并估算性能指標(biāo)、。

2.畫出時的阻尼線，使其與實軸負(fù)方向的夾角為。解：1.畫出系統(tǒng)的根軌跡。3.由圖上測出阻尼線與根軌跡的交點為它們正是閉環(huán)極點：則有4.確定第三個極點由于系統(tǒng)符合所以：故可認(rèn)為存在主導(dǎo)極點，系統(tǒng)近似為二階，即：得：對照標(biāo)準(zhǔn)式得：則：5.求對應(yīng)的開環(huán)增益K代入方程例5：試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中開環(huán)傳遞函數(shù)為：并且求出閉環(huán)主導(dǎo)極點具有阻尼比ξ=0.5時的近似閉環(huán)傳遞函數(shù)及估算其性能指標(biāo)。所以得出系統(tǒng)無超調(diào)的K值范圍0<K≤4/9。(2)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性當(dāng)K>6時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。求出分離點所對應(yīng)的K值。解:(1)通過前例已經(jīng)做出根軌跡圖。求其對應(yīng)的K值：(3)根據(jù)阻尼比ξ=0.5的要求，確定閉環(huán)主導(dǎo)極點的位置，進(jìn)而分析系統(tǒng)的品質(zhì)。

從根軌跡圖上可測得：s1=-0.8+j1.5，s2=-0.8-j1.5利用根的守恒法則可求出第三個根s3：此時相比較，s1、s2為閉環(huán)主導(dǎo)極點。所以有：于是可求出近似的閉環(huán)傳遞函數(shù)。在單位階躍信號作用下的性能指標(biāo):由于,則得：則K*=0.5K，p1=0，p2=-2，z1=-4例6：已知一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，試給出當(dāng)K由0→∞時，閉環(huán)根軌跡圖，并分析K對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。解：(1)(3)實軸上的根軌跡為[0，-2][-4，-∞]。(2)n=2，有兩條根軌跡，一條終止于-4，另一條終止于無窮遠(yuǎn)處。其根軌跡如下圖所示：(4)求分離點sd(5)利用模值方程求得sd1、sd2所對應(yīng)的K值同理，求得sd2對應(yīng)的K2=23.4。當(dāng)sd1=-1.17時因此K1=2K1*=2×0.343=0.686注：當(dāng)K足夠大時，系統(tǒng)變成快速性很好的一階系統(tǒng)。(6)對系統(tǒng)進(jìn)行分析(i)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益K在0→0.686范圍內(nèi);(ii)當(dāng)0.686<K<23.4時;

(iii)當(dāng)23.4≤K<∞時?！痢?.系統(tǒng)開環(huán)，例7：已知非最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖，并進(jìn)行動態(tài)分析。故系統(tǒng)有三條漸近線:解：

1.系統(tǒng)為四階，故有4條根軌跡。開環(huán)極點為開環(huán)零點為3.實軸上區(qū)段+1－－0及-1－－-∞且相應(yīng)的分離角和會合角分別為。5.分離點和會合點坐標(biāo)代入公式:得：（分離點）、（會合點），0.46-2.22××××將代入上式得：6.出射角7.虛軸交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：求解得：當(dāng)K*在23.3~35.7范圍內(nèi)時，系統(tǒng)穩(wěn)定則系統(tǒng)根軌跡如圖所示:

對閉環(huán)特征方程進(jìn)行等效變換得：38§4.4廣義根軌跡

通常將負(fù)反饋系統(tǒng)中K*變化時的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡；而以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為廣義參數(shù)根軌跡。A變化時的參數(shù)根軌跡

其中A為不含K*的系統(tǒng)任意變化的參數(shù)，且P(s)和Q(s)為兩個與A無關(guān)的多項式。顯然有：所以，等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例10：設(shè)位置隨動系統(tǒng)如圖所示，系統(tǒng)I為比例控制系統(tǒng)，系統(tǒng)II為比例-微分控制系統(tǒng)，系統(tǒng)III為測速反饋控制系統(tǒng)，Ta為微分時間常數(shù)或測速反饋系數(shù)。試分析Ta對系統(tǒng)的影響，并比較系統(tǒng)II和系統(tǒng)III在具有相同阻尼比時的特點。39解：顯然，系統(tǒng)II和系統(tǒng)III的開環(huán)傳遞函數(shù)相同，即但它們的閉環(huán)傳遞函數(shù)不同，即：40可以看出，系統(tǒng)II有閉環(huán)零點(-1/Ta)。將II或III的閉環(huán)特征方程式寫成：令：則可視為一個根軌跡方程。41當(dāng)時，閉環(huán)極點位置為：相應(yīng)的Ta值為0.8。對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：42系統(tǒng)I的閉環(huán)傳遞函數(shù)與Ta值無關(guān)：根據(jù)的零、極點分布，可繪出變化的根軌跡如圖所示。當(dāng)時，即：解：此系統(tǒng)的特征方程式為，首先考慮K1變化時的根軌跡。43例10：已知系