第三章扭轉(zhuǎn)

Chapter3Torsion1編輯版ppt第三章扭轉(zhuǎn)(Torsion)

§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例(Conceptsandexampleproblemoftorsion)

§3-2

扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計(jì)算

(Calculatinginternalforceoftorsion)§3-3

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)(Torsioninthin—wallcirculartube)

§3-4

圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析及強(qiáng)度條件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)2編輯版ppt§3-8

開(kāi)口和閉合薄壁截面桿的自由扭轉(zhuǎn)

(Freetorsionofopenandclosedthin-walledmembers)§3-5

圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·

剛度條件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)§3-6密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形

(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)§3-7非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)

(Torsionofnoncircularprismaticbars)3編輯版ppt

§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例

(Conceptsandexampleproblemoftorsion)一、工程實(shí)例(Exampleproblems)4編輯版ppt5編輯版pptMeMe二、受力特點(diǎn)(Characterofexternalforce)

桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線(xiàn)的力偶.三、變形特點(diǎn)(Characterofdeformation)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線(xiàn)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).6編輯版ppt

§3-2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力的計(jì)算(Calculatinginternalforceoftorsion)從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪一、外力偶矩的計(jì)算

(Calculationofexternalmoment)Me—作用在軸上的力偶矩(N·m)P—軸傳遞的功率(kW)

n—軸的轉(zhuǎn)速(r/min)nMe2Me1Me37編輯版pptMe

在n-n截面處假想將軸截開(kāi)取左側(cè)為研究對(duì)象二、內(nèi)力的計(jì)算(Calculationofinternalforce)1.求內(nèi)力(Calculatinginternalforce)截面法(Methodofsections)TMeMe8編輯版pptMex??nnMeMe?xTMe?xT

采用右手螺旋法則,當(dāng)力偶矩矢的指向背離截面時(shí)扭矩為正,反之為負(fù).2.扭矩符號(hào)的規(guī)定(Signconventionfortorque)3.扭矩圖(Torquediagram)

用平行于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)x表示橫截面的位置;用垂直于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)T表示橫截面上的扭矩,正的扭矩畫(huà)在x軸上方,負(fù)的扭矩畫(huà)在x

軸下方.

Tx+_9編輯版pptMe4ABCDMe1Me2Me3n例題1一傳動(dòng)軸如圖所示,其轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動(dòng)輪A輸入的功率為P1=500kW.若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率,三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.試做扭矩圖.10編輯版ppt解:計(jì)算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n11編輯版ppt

計(jì)算CA

段內(nèi)任橫一截面2-2截面上的扭矩.假設(shè)T

2為正值.結(jié)果為負(fù)號(hào),說(shuō)明T

2應(yīng)是負(fù)值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222同理,在BC

段內(nèi)BCxMe2Me3T2Me4Me2x12編輯版pptABCD同理,在BC

段內(nèi)在AD

段內(nèi)1133

注意：若假設(shè)扭矩為正值,則扭矩的實(shí)際符號(hào)與計(jì)算符號(hào)相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩圖4774.5N·m9549N·m6366N·m+_從圖可見(jiàn),最大扭矩在CA段內(nèi).13編輯版ppt

§3-3

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

(Torsionofthin-walledcylindricalVessels)1.實(shí)驗(yàn)前（1）畫(huà)縱向線(xiàn),圓周線(xiàn);（2）施加一對(duì)外力偶.一、應(yīng)力分析(Analysisofstress)薄壁圓筒：壁厚（r0—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.實(shí)驗(yàn)后（1）圓筒表面的各圓周線(xiàn)的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線(xiàn)作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；（2）各縱向線(xiàn)均傾斜了同一微小角度；（3）所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形.14編輯版ppt3.推論(Inference)（1）橫截面上無(wú)正應(yīng)力，只有切應(yīng)力；（2）切應(yīng)力方向垂直半徑或與圓周相切.dxδ

圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切,且數(shù)值相等,近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無(wú)變化.MeMeABDC15編輯版ppt此式為薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式.4.推導(dǎo)公式

(Derivationofformula)

薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布,與半徑垂直,指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致.Tττ16編輯版pptxdydzdxyz二、切應(yīng)力互等定理(ShearingStressTheorem)

ττ1.在單元體左、右面（桿的橫截面）只有切應(yīng)力,其方向于y

軸平行.

兩側(cè)面的內(nèi)力元素

dydz大小相等,方向相反,將組成一個(gè)力偶.由平衡方程其矩為(dydz)dx17編輯版pptxydydzzdxττ2.要滿(mǎn)足平衡方程

在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對(duì)內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩?cái)?shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得(dydz)dx3.切應(yīng)力互等定理(Shearingstresstheorem)

單元體兩個(gè)相互垂直平面上的切應(yīng)力同時(shí)存在,且大小相等,都指相（或背離）該兩平面的交線(xiàn).4.純剪切單元體(Elementinpureshear)單元體平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力,則稱(chēng)為純剪切單元體.18編輯版pptMeMel式中,r

為薄壁圓筒的外半經(jīng).三、剪切胡克定律(Hooke’slawforshear)由圖所示的幾何關(guān)系得到

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)外力偶Me

在某一范圍內(nèi)時(shí),與Me

（在數(shù)值上等于

T

）成正比.19編輯版ppt三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系TO從T與之間的線(xiàn)性關(guān)系,可推出與

間的線(xiàn)性關(guān)系.該式稱(chēng)為材料的剪切胡克定律(Hooke’slawforshear)G–剪切彈性模量O20編輯版ppt思考題：指出下面圖形的切應(yīng)變2切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)?21編輯版ppt變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式deformationgeometricrelation

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformulaExaminethedeformationthenproposethehypothesis

physicalrelationstaticrelation§3-4

圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析·

強(qiáng)度條件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)22編輯版ppt1.變形現(xiàn)象(Deformationphenomenon)

（1）軸向線(xiàn)仍為直線(xiàn),且長(zhǎng)度不變；

（2）橫截面仍為平面且與軸線(xiàn)垂直；一、變形幾何關(guān)系(GeometricalRelationshipofDeformation)

（3）徑向線(xiàn)保持為直線(xiàn),只是繞軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn).2.平面假設(shè)(Planeassumption)

變形前為平面的橫截面,變形后仍保持為平面.23編輯版pptaabbdxO1O23.幾何關(guān)系(Getricalrelationship)

傾角是橫截面圓周上任一點(diǎn)A

處的切應(yīng)變,d是b-b截面相對(duì)于a-a截面象剛性平面一樣繞桿的軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)角度.

經(jīng)過(guò)半徑O2D

上任一點(diǎn)G的縱向線(xiàn)EG

也傾斜了一個(gè)角度r,也就是橫截面半徑上任一點(diǎn)E處的切應(yīng)變TTdADG'ρρD'GE24編輯版ppt

同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力

均相同,且其值與成正比,

與半徑垂直.

二、物理關(guān)系(PhysicalRelationship)由剪切胡克定律aabATTdxDbDO1O2GG'ρρ25編輯版pptrOdAdAρρT三、靜力關(guān)系

(StaticRelationship)1.公式的建立(Establishtheformula)結(jié)論ρρ代入物理關(guān)系中得到式中：T—橫截面上的扭矩

—求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離Ip—橫截面對(duì)圓心的極慣性矩26編輯版pptWt

稱(chēng)作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3或m3.2.的計(jì)算(Calculationofmax)

rOTdAdAρρρmax27編輯版ppt（1）實(shí)心圓截面dO3.極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計(jì)算

(calculatingthepolarmomentofinertia§ionmodulusundertorsion)ρdρODdρdρ（2）空心圓截面其中28編輯版ppt例題2圖示空心圓軸外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料的切變模量G=80GPa.（1）畫(huà)軸的扭矩圖；（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置.M1M2ABCll29編輯版ppt解:（1）畫(huà)軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩發(fā)生在BC段

Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_30編輯版pptT（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置max

最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上,且垂直于半徑.M1M2ABCllmax31編輯版ppt1.數(shù)學(xué)表達(dá)式(Mathematicalformula)四、強(qiáng)度條件(StrengthCondition)2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition)強(qiáng)度校核(Checktheintensity)設(shè)計(jì)截面(Determinetherequireddimensions)確定許可載荷(Determinetheallowableload)32編輯版pptABC解：作軸的扭矩圖MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強(qiáng)度例題3

圖示階梯圓軸,AB段的直徑d1=120mm,BC

段的直徑

d2=100mm.扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA=22kN·m,MB=36kN·m,MC=14kN·m.已知材料的許用切應(yīng)力[]=80MPa,試校核該軸的強(qiáng)度.因此,該軸滿(mǎn)足強(qiáng)度要求.33編輯版ppt例題4實(shí)心圓軸1和空心圓軸2（圖a、b）材料,扭轉(zhuǎn)力偶矩M

和長(zhǎng)度l

均相等,最大切應(yīng)力也相等.若空心圓軸的內(nèi)外徑之比

=0.8,試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b)

分析：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為d1,空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為d2、D2;又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為T(mén).已知：dd2D234編輯版ppt因此解得

兩軸材料、長(zhǎng)度均相同,故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面面積之比在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕,即節(jié)省材料.35編輯版ppt1.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形是用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角來(lái)度量的

§3-5

桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·

剛度條件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)一、扭轉(zhuǎn)變形

(Torsionaldeformation)其中d

代表相距為dx的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角.長(zhǎng)為

l

的一段桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

可按下式計(jì)算36編輯版ppt3.剛度條件（Stiffnesscondition)2.單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角(Angleoftwistperunitlength)—扭轉(zhuǎn)角GIp

稱(chēng)作抗扭剛度

稱(chēng)作許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角(Allowableangleoftwistperunitlength)37編輯版ppt例題5圖示等直桿,已知直徑d=40mm,a=400mm,材料的剪切彈性模量G=80GPa，DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應(yīng)力;（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：畫(huà)扭矩圖計(jì)算外力偶矩MeDB=CB+DC=1°Tmax=3Me38編輯版ppt（1）AD桿的最大切應(yīng)力（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me39編輯版ppt例題6某汽車(chē)的主傳動(dòng)軸是用40號(hào)鋼的電焊鋼管制成,鋼管外徑D=76mm,壁厚d=2.5mm,軸傳遞的轉(zhuǎn)矩Me=1.98kN·m,材料的許用切應(yīng)力

[]=100MPa,切變模量為G=80GPa,軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強(qiáng)度和剛度.DddMeMe40編輯版ppt解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)、外徑之比由強(qiáng)度條件

由剛度條件DddMeMe41編輯版ppt將空心軸改為同一材料的實(shí)心軸,仍使max=96.1MPad=47.2mm實(shí)心軸的直徑為兩軸材料、長(zhǎng)度均相同,故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比，在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕,即節(jié)省材料.其截面面積為空心軸的截面面積為42編輯版ppt例題7兩端固定的圓截面桿AB,在截面C處受一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩Me的作用,如圖所示.已知桿的抗扭剛度

GIp,試求桿兩端的支反力偶矩.CMeabABl43編輯版ppt解:去掉約束,代之以約束反力偶矩

這是一次超靜定問(wèn)題,須建立一個(gè)補(bǔ)充方程ACBMeMeAMeBC截面相對(duì)于兩固定端A和B的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相等.桿的變形相容條件是CMeabABl44編輯版pptCMeabABl（1）變形幾何方程（2）由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程解得ACBMeMeAMeB?AC=BC45編輯版ppt例題8

圖示一長(zhǎng)為l的組合桿,由不同材料的實(shí)心圓截面桿和空心圓截面桿組成,內(nèi)外兩桿均在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作,其抗扭剛度GaIpa

、GbIpb

.當(dāng)此組合桿的兩端各自固定在剛性板上,并在剛性板處受一對(duì)矩為Me

的扭轉(zhuǎn)力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩.MeMelAB46編輯版ppt解：列平衡方程這是一次超靜定問(wèn)題.

變形相容條件是內(nèi)、外桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同.變形幾何方程是物理關(guān)系是MeMeMelABMaMb47編輯版ppt代入變形幾何方程,得補(bǔ)充方程MbMaMeMeMelAB48編輯版ppt

彈簧的螺旋角5°,且D>>d,這樣的彈簧稱(chēng)為密圈螺旋彈簧.推導(dǎo)這種彈簧的應(yīng)力與變形的計(jì)算公式.§3-6

密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)一、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力1.內(nèi)力的計(jì)算(Calculationofinternalforce)F(Calculationofthestressonspringwirecrosssection)49編輯版ppt

簧絲的橫截面上有兩個(gè)內(nèi)力分量即FSTFPF

作為近似計(jì)算,通?？陕匀ヅc剪力FS相應(yīng)的

,且D/d

很大時(shí),還可略去簧圈曲率的影響,所以簧桿橫截面上最大切應(yīng)力為2.應(yīng)力的計(jì)算(Calculationofstress)

為便于分析,將桿的斜度視為0°

截面法50編輯版ppt公式修正的原因:（1）當(dāng)D/d較小,會(huì)引起很大的誤差;

（2）假定剪切引起的切應(yīng)力是均勻分布的.式中c為彈簧指數(shù),k為曲度系數(shù),可查教材中的表3.13.強(qiáng)度條件(Strengthcondition)51編輯版pptFSTFPF

若只考慮簧桿扭轉(zhuǎn)的影響，可得簧桿內(nèi)的應(yīng)變能為二、彈簧的變形(Deformationofthespring)1.應(yīng)變能的計(jì)算(Calculationofstrainenergy)52編輯版ppt3.功能原理Vε=W(Work-energyprinciple)

當(dāng)彈簧的變形為l

時(shí)，外力所做的功為FFOll2.外力做的功(Workoftheexternalforce)c—彈簧剛度53編輯版ppt例題9某柴油機(jī)的氣閥彈簧,簧圈平均半經(jīng)R=59.5mm,簧絲橫截面直徑d=14mm,有效圈數(shù)n=5.材料的[]=350MPa,G=80GPa,彈簧工作時(shí)總壓縮變形（包括預(yù)壓變形）為l=55mm

試校核彈簧的強(qiáng)度.解：求出彈簧所受的壓力F為由R及d求出查表3.1查處彈簧的曲度系數(shù)k=1.17彈簧滿(mǎn)足強(qiáng)度要求.54編輯版ppt

§3-7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)

(Torsionofnoncircularprismaticbars)

非圓桿,如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生翹曲(warping)

而不再是平面.一、基本概念(Basicconcepts)55編輯版ppt

（2）若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，則相鄰兩橫截面的翹曲程度不同,這將在橫截面上引起附加的正應(yīng)力.這一情況稱(chēng)為

約束扭轉(zhuǎn)(constrainttorsion).

（1）等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面雖發(fā)生翹曲(warping)，但當(dāng)?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時(shí)，其相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同.橫截面上仍然只有切應(yīng)力而沒(méi)有正應(yīng)力.這一情況稱(chēng)為純扭轉(zhuǎn)(puretorsion)，或自由扭轉(zhuǎn)(freetorsion).56編輯版pptbhT

矩形截面扭轉(zhuǎn)時(shí),橫截面切應(yīng)力如圖所示,邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力形成與邊界相切的順流.