PAGEPAGE10第四章三角形課時19等腰三角形與直角三角形(建議時間：60分鐘分值：82分)評分標(biāo)準(zhǔn)：選擇題和填空題每題3分．命題點1等腰三角形1.(2022赤峰)等腰三角形有一個角是90°，那么另兩個角分別是()A.30°，60°B.45°，45°C.45°，90°D.20°，70°2.等腰三角形的兩邊長分別為3和6，那么這個等腰三角形的周長為()A.9B.12C.15D.12或153.如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，那么以下結(jié)論中不正確的選項是()第3題圖A.AD＝AEB.DB＝ECC.∠ADE＝∠CD.DE＝eq\f(1,2)BC 4.(2022濱州)如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，那么∠CDE的度數(shù)為()A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°第4題圖第5題圖5.(2022陜西)如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．假設(shè)在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，那么圖中等腰三角形共有()A.2個B.3個C.4個D.5個6.(2022河北)如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.假設(shè)點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，那么滿足上述條件的△PMN有()A.1個B.2個C.3個D.3個以上第6題圖第7題圖7.(2022贛州模擬)如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點D，那么∠BAD＝________°.8.如下圖，底邊BC為2eq\r(3)，頂角A為120°第8題圖的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，那么△ACE的周長為________．9.等腰△ABC中，BC＝8，假設(shè)AB、AC的長是關(guān)于x的方程x2－10x＋m＝0的根，那么m的值等于________．10.(2022內(nèi)江)等邊三角形的邊長為3，點P為等邊三角形內(nèi)任意一點，那么點P到三邊的距離之和為________．11.(6分)(2022寧夏)在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，假設(shè)CD＝2，過點D作DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，求EF的長．第11題圖命題點2直角三角形12.以下各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是()A.eq\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5)B.1，eq\r(2)，eq\r(3)C.6，7，8D.2，3，413.(2022南充)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別是直角邊BC，AC的中點，那么DE的長為()A.1B.2C.eq\r(3)D.1＋eq\r(3)第13題圖第14題圖14.(2022荊州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E.假設(shè)BC＝3，那么DE的長為()A.1B.2C.3D.415.(2022達(dá)州)如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF并延長交AC于點E.假設(shè)AB＝10，BC＝16，那么線段EF的長為()A.2B.3C.4D.5第15題圖第16題圖16.(2022婁底)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D沿BC自B向C運(yùn)動(點D與點B、C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，那么BE＋CF的值()A.不變B.增大C.減小D.先變大再變小17.(2022泉州)如圖，在Rt△ABC中，E是斜邊AB的中點，假設(shè)AB＝10，那么CE＝________．第17題圖第18題圖18.如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，假設(shè)斜邊AB＝a，那么圖中陰影局部的面積為________．19.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于點E，交CB于點F，那么CF的長是________．第19題圖第21題圖20.在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC邊上的高為12cm，那么△ABC的面積為________cm2.21.(2022鄂州)如圖，AB＝6，O是AB的中點，直線l經(jīng)過點O，∠1＝120°，P是直線l上一點．當(dāng)△APB為直角三角形時，AP＝________．22.(8分)(2022上海改編)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點D在邊AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足為點E，連接CE.求：(1)線段BE的長；(2)∠ECB的正切值．第22題圖23.(8分)(2022北京)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M、N分別為AC、CD的中點，連接BM，MN，BN.(1)求證：BM＝MN；(2)假設(shè)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的長．第23題圖【答案】1.B【解析】∵三角形的內(nèi)角和為180°，∴90°的角一定為等腰三角形的頂角，∴兩底角的和為180°－90°＝90°，∴兩個底角分別為45°，45°.2.C【解析】分兩種情況，①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、3，能組成三角形，周長＝6＋6＋3＝15；②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、3、3，不能組成三角形，綜上所述，三角形的周長為15.應(yīng)選C.3.D【解析】∵DE∥BC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，∠ADE＝∠B，∵AB＝AC，∴AD＝AE，DB＝EC，∠B＝∠C，∴∠ADE＝∠C，而DE不一定等于eq\f(1,2)BC，應(yīng)選D.4.D【解析】∵AC＝CD，∠A＝50°，∴∠ADC＝50°，∵DC＝DB，∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°，∴∠B＝∠BCD＝25°，∴∠BDC＝130°，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝77.5°，∴∠CDE＝130°－77.5°＝52.5°.5.D【解析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)及判定．∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－36°)＝72°，△ABC是等腰三角形；∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴△BCD是等腰三角形；∴BC＝BD；∵BE＝BC，∴BE＝BD，∴△BED是等腰三角形；∵∠EBD＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形．∵∠BED＝eq\f(1,2)(180°－36°)＝72°，∴∠AED＝180°－∠BED＝108°，∵∠A＝36°，∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝180°－36°－108°＝36°，∴△AED是等腰三角形．∴等腰三角形有△ABC、△BCD、△ABD、△BED、△AED，共5個．第6題解圖6.D【解析】如解圖，當(dāng)OM1＝2，點N1與點O重合時，△PM1N1是等邊三角形；當(dāng)ON2＝2，點M2與點O重合時，△PM2N2是等邊三角形；當(dāng)點M3，N3分別是OM1，ON2的中點時，△PM3N3是等邊三角形；當(dāng)取∠M1PM4＝∠OPN4時，易證△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等邊三角形，∴此時點M，N有無數(shù)個，綜上所述，應(yīng)選D.7.30【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，故答案為30.第8題解圖8.2＋2eq\r(3)【解析】如解圖，過A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴AB＝AC＝eq\f(BF,cos∠B)＝eq\f(\f(1,2)BC,cos∠B)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴AE＋CE＝BC＝2eq\r(3)，∴△ACE的周長＝AC＋AE＋CE＝AC＋BC＝2＋2eq\r(3)，故答案為2＋2eq\r(3).9.16或25【解析】當(dāng)AB＝BC＝8，把x＝8代入方程得64－80＋m＝0，解得m＝16，此時方程為x2－10x＋16＝0，解得x1＝8，x2＝2；當(dāng)AB＝AC，那么AB＋AC＝10，∴AB＝AC＝5，那么m＝10×5－5×5＝25.故答案為16或25.第10題解圖10.eq\f(3\r(3),2)【解析】如解圖，∵等邊三角形的邊長為3，∴高線AH＝AB·sin60°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AH＝eq\f(1,2)AB·PD＋eq\f(1,2)BC·PE＋eq\f(1,2)AC·PF，∴eq\f(1,2)×3·AH＝eq\f(1,2)×3·PD＋eq\f(1,2)×3·PE＋eq\f(1,2)×3·PF，∴PD＋PE＋PF＝AH＝eq\f(3\r(3),2)，即點P到三角形三邊距離之和為eq\f(3\r(3),2).故答案為eq\f(3\r(3),2).11.解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，(2分)又∵∠ACB＝60°，∴△EDC為等邊三角形，∴DE＝DC＝2，(4分)在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∠EDC＝60°，∴DF＝eq\f(DE,cos∠EDC)＝eq\f(2,cos60°)＝4，∴EF＝eq\r(DF2－DE2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).(6分)12.B【解析】A.(eq\r(3))2＋(eq\r(4))2≠(eq\r(5))2，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤；B.12＋(eq\r(2))2＝(eq\r(3))2，可以構(gòu)成直角三角形；C.62＋72≠82，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤；D.22＋32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤．應(yīng)選B.13.A【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2×1＝2，∵D、E分別是△ABC邊BC、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1.14.A【解析】∵AD是∠BAC的平分線，AC⊥BC，AE⊥DE,∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分線，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC,∴∠B＝30°.設(shè)DE＝x，那么BD＝3－x.在Rt△BDE中，sin∠B＝eq\f(x,3－x)＝eq\f(1,2)，解得x＝1，即DE＝1.15.B【解析】∵AF⊥BF，點D是AB邊上的中點，∴DF＝BD＝eq\f(1,2)AB＝5，∴∠DBF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF＝∠BFD，∴DE∥BC，故DE是△ABC的中位線，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝8，∴EF＝DE－DF＝8－5＝3.16.C【解析】設(shè)AF與BC的夾角為α，BD為x，由題意得BE＝x·sinα，CF＝CD·sinα，∴BE＋CF＝x·sinα＋(BC－x)·sinα＝BC·sinα，當(dāng)點D從點B向點C運(yùn)動時，α的度數(shù)越來越小，∴sinα的值也會越來越小，且BC的長度不變，∴BE＋CF的值也是越來越小，應(yīng)選C.17.5【解析】∵點E是Rt△ABC斜邊AB的中點，∴根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可知：CE＝eq\f(1,2)AB＝5.18.eq\f(1,2)a2【解析】∵△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2.∵三個陰影局部的三角形都是等腰直角三角形，∴陰影局部的面積＝eq\f(1,4)AC2＋eq\f(1,4)BC2＋eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,4)AB2＋eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,2)AB2＝eq\f(1,2)a2.第19題解圖19.1.5【解析】連接DF，如解圖所示，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB－AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AC,DF＝CF,AF＝AF))，∴△ADF≌△ACF(SSS)，∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，設(shè)CF＝DF＝x，那么BF＝4－x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2＋BD2＝BF2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝1.5，∴CF＝1.5.20.66或126【解析】題中沒有給出BC邊上的高在△ABC內(nèi)部還是外部，那么應(yīng)分情況討論：當(dāng)BC邊上高在△ABC內(nèi)部時，如解圖①，在Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2，∵AB＝13，AD＝12，∴BD＝5，同理在Rt△ADC中，可得CD＝16，∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21，S△ABC＝eq\f(1,2)×21×12＝126cm2；當(dāng)BC邊上的高在△ABC外部時，如解圖②，在Rt△ADC中，DC＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(202－122)＝16，在Rt△ADB中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝DC－BD＝16－5＝11，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×11×12＝66cm2.第20題解圖第21題解圖21.3或3eq\r(3)或3eq\r(7)【解析】如解圖，∵點O是AB的中點，AB＝6，∴AO＝BO＝3.當(dāng)點P為直角頂點，且點P在AB上方時，AO＝P1O＝3，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等邊三角形，∴AP1＝3；當(dāng)點P為直角頂點，且點P在AB下方時，AP2＝BP1＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3)；當(dāng)點A為直角頂點時，AP3＝AO·sin∠AOP3＝3×eq\r(3)＝3eq\r(3)；當(dāng)點B為直角頂點時，AP4＝BP3＝eq\r(62＋〔3\r