本文格式為Word版，下載可任意編輯——假設(shè)法解題方法總結(jié)解題總結(jié),思考創(chuàng)新解題斟酌創(chuàng)新

對(duì)解題的研究可以扶助我們?nèi)绾螖?shù)學(xué)地斟酌問(wèn)題，數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題，進(jìn)而再提出新的問(wèn)題。直線與圓是解析幾何的重要內(nèi)容，從近年的高考測(cè)驗(yàn)處境來(lái)看，對(duì)這片面的要求明顯高于圓錐曲線，其中直線與圓的位置關(guān)系成為近幾年高考命題的重點(diǎn)，成為測(cè)驗(yàn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類議論、方程等數(shù)學(xué)思想及配方法、換元法、待定系數(shù)法、定義法等根本方法的首選載體。下面筆者就一道高考模擬題來(lái)談?wù)勅绾谓忸}，如何再斟酌。

題目：已知圓C:（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A（1，0），若l1與圓相交于點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，又直線l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM?AN是否為定值？若是，那么求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析一：根據(jù)條件“判斷AM?AN是否為定值”，尋求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，由于N是直線l1與l2的交點(diǎn)，即可聯(lián)立方程組求得。M是線段PQ的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，聯(lián)想到直線l1與圓C聯(lián)立，得x1+x2，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)。

解一：根據(jù)條件直線與圓相交可知，直線l1的斜率存在且不為零，可設(shè)為：y=k（x-1），k≠0

由得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k28k+21=0（*）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），那么x1，x2是方程（*）的兩根，所以x1+x2=。

由于點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

代入y=k（x-1），得即M

所以AM=

因此，AM?AN=6定值。

定值問(wèn)題是解析幾何中的一種常見(jiàn)問(wèn)題，根本的求解方法是先用變量表示所需證明的不變量，然后再通過(guò)推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值，即解抉擇值問(wèn)題首先是求解非定值問(wèn)題，即變量問(wèn)題，結(jié)果才是定值問(wèn)題。

分析二：在解一中，對(duì)點(diǎn)M的求解采用了解析幾何的根本方法，設(shè)而不求的整體代入法。但由于點(diǎn)M是圓C的弦的中點(diǎn)，根據(jù)半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑的直角關(guān)系，可得CM⊥PQ，可得點(diǎn)M新的軌跡。

解二：同解一得由于點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，∴CM⊥AM，又因A,C是兩定點(diǎn)，點(diǎn)M在以線段AC為直徑的圓（x-2）2+（y-2）2=5上。聯(lián)立（x-2）2+（y-2）2=5與直線l1:y=k（x-1），得方程（1+k2）x2-（2k2+4k+4）x+k2+4k+3=0（*），由于直線l1與圓（x-2）2+（y-2）2=5

相交于兩點(diǎn)A、M，所以方程（*）有兩解x=1或x=xM，因此下面同解一得，AM?AN=6定值。

分析三：考慮到含參線段長(zhǎng)度的表示及乘積是對(duì)比繁雜的，且AM?AN的布局特點(diǎn)類似于向量的數(shù)量積。所以我們利用點(diǎn)A，N，M三點(diǎn)共線，將線段AM，AN的長(zhǎng)度乘積轉(zhuǎn)化成向量的數(shù)量積

利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)制止AM，AN繁瑣的長(zhǎng)度計(jì)算。

解三：根據(jù)條件，直線與圓相交可知，直線l1的斜率存在且不

為零，可設(shè)為：y=k（x-1），k≠0。由得

由于點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，所以CM⊥PQ，所以直線CM：y-4=

由于所以AM?AN=6定值。

分析四：平面解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，在解決直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)，高明使用平面學(xué)識(shí)往往能起到化腐朽為神秘的作用。結(jié)合此題探求AM?AN是否為定值問(wèn)題，我們可以先查看已定好的圓C（定點(diǎn)C定長(zhǎng)r）、點(diǎn)A、定直線l2的位置特征，以探索變化中的不變性質(zhì)。這時(shí)就會(huì)察覺(jué)AC⊥l2，接著不難察覺(jué)存在Rt△ACM≈Rt△ABN的處境。

解四：由于直線AC的斜率直線l2的斜率所以，kAC?k2=-1，從而有AC⊥l2；設(shè)AC∩l2=B，那么AB⊥l2由于點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，所以CM⊥PQ所以，Rt△ABN~Rt△AMC（根據(jù)三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等），所以，AC=√（3-1）2+42=2√5，所以，定值。

對(duì)該題的再斟酌：

通過(guò)對(duì)該題的探究，我們可以試著變更題中的一些條件，再斟酌是否有相應(yīng)的結(jié)論。

推廣：已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，過(guò)點(diǎn)C作直線l2：x+2y+2=0的垂線，垂足為B，在直線BC上任取一點(diǎn)A，過(guò)A作直線l1交圓C于點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，同時(shí)直線l1與直線l2:x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，試判斷AM?AN是否為定值？若是，那么求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：若點(diǎn)A在線段BC上時(shí)，同方法四，可證得AM?AN=6

若點(diǎn)A在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由BC⊥BN，CM⊥MN得，四點(diǎn)B，C，M，N共圓，利用圓的平面幾何性質(zhì)，所以有AM?AN=AC?AB=6。

若點(diǎn)A在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，由BC⊥BN，CM⊥

MN得，四點(diǎn)B，C，M，N共圓，利用圓的平面幾何性質(zhì)，所以有AM?AN=AC?AB=6，從而，不管點(diǎn)A在直線BC的哪個(gè)位置都有AM?AN=6為定值。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，解題的過(guò)程就是不斷轉(zhuǎn)化，不斷聯(lián)想的過(guò)程，解題后要實(shí)時(shí)對(duì)問(wèn)題舉行查看、分析、歸納類比、抽象概括，對(duì)問(wèn)題中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法舉行不斷地斟酌，從而深化對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式，