2例1（福建理科第21題已知函數(shù)－x+8x,g(x)=6lnx+m2（Ⅰ）求f(x)在間t,t+1]上最大值h(t);（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值范圍不存在，說明理由。解）略（II）∵函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴令f(x)=g(x)∴g(x)－∵x>0∴數(shù)(x)=g(x)－=

x+m的象與x軸正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?！?/p>

xxx'()xx

(當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，

1

(

〉，

)

是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，

(

〈，

)

是減函數(shù)；當(dāng)x∈(3,+∞時(shí)，

()

〉，

)

是增函數(shù)；當(dāng)x=1或時(shí)

(

=0?！鄻O大值

極小值

15.∵當(dāng)x→0時(shí)

(x)→

，當(dāng)

時(shí)，

(x)

∴要使

(x)=0有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，須且只須極大值)m＋6ln0,極小值∴7<m<15－6ln3.所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)y=g(x)圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)m的取值范圍為（，15—6ln3）（分草圖見下圖1圖1

圖2

圖3引申1：如果（Ⅱ）中“有且只三個(gè)不同的交點(diǎn)”變?yōu)椤坝星抑挥幸粋€(gè)不同的交點(diǎn)”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為

x)

或

x)

m-7<0，即m>15-6In3或m<7時(shí)數(shù)y=f(x)與y=g(x)的象有且只有一個(gè)不同的交分草圖見圖和3引申2：如果（Ⅱ）中“有且只三個(gè)不同的交點(diǎn)”變?yōu)椤坝星抑挥袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為

x)

或

x)

m-7=0，1

即m=15-6In3或m=7時(shí)數(shù)y=f(x)與y=g(x)的象有且只有兩個(gè)不同的交分草圖見圖和5圖4

圖5從上題的解答我們可以看出用數(shù)來探討函數(shù)y=f(x)圖象與函數(shù)y=g(x)的象的交點(diǎn)問題，有以下幾個(gè)步驟：①構(gòu)造函數(shù)

(x)=f(x)g(x)②導(dǎo)

(

③研究函數(shù)

(x)的單調(diào)性和極值（必要時(shí)要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況）④畫出函(x)的圖，觀察與x軸的交點(diǎn)情況，列不等式⑤解不等式得解解題的關(guān)鍵是會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想來研究問題。下面用這幾個(gè)步驟來完成年四川卷第21題例2（四川卷第21題已知函f()是的f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

3+3ax

f

其中（Ⅰ）對(duì)滿足

a的切a的，都有

求實(shí)數(shù)ｘ的取值范圍；（Ⅱ設(shè)

當(dāng)實(shí)數(shù)ｍ在什么范圍內(nèi)變化時(shí)數(shù)ｙ＝f(x)圖像與直線ｙ＝只一個(gè)公共點(diǎn)。解）略（Ⅱ）

f(x)3axf'

2

2①當(dāng)

m

時(shí)，

f

的圖象與直線

只有一個(gè)公共點(diǎn)②當(dāng)

m

時(shí)，令

(x)=f(x)-3=

x，1=3x=3x2m2列表：

((x)

（單調(diào)遞增

極大

單調(diào)遞減

極小

單調(diào)遞增x

小值

〈又∵

(x)的值域是

R

，且在

上單調(diào)遞增∴當(dāng)

xm時(shí)數(shù))

的圖象與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)xm時(shí)恒有))2

由題意得

()即

2m解得

綜上，的值范圍是32（析草圖見圖6）圖當(dāng)然，題目并不是千篇一律的，也有些變式，但是基本方法沒有變化。如2006年建文科卷21題。f(x)例3（福建文科卷第21題）知。在區(qū)間f(x)（）的解析式；

f(x)

是二次函數(shù)，不等式

f(x的集是(0,5),且（II是否存在實(shí)數(shù)

m,使方程f()

37x

在間(m

內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出取值范圍；若不存在，說明理由。解）

x

(過程略（）程

f(x)

37x

等價(jià)于方程

2x3x237設(shè)

(x)x則

'(x)x

2

x當(dāng)

x(時(shí)'(x0,h(x)

是減函數(shù)；當(dāng)

x

103

)

時(shí)，

x)0,h)

是減函數(shù)；當(dāng)

10x(,，x)0,h)3

是增函數(shù)圖7）圖101hh()327

0,

方程

()

在區(qū)間

10),(4)33

內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間

(0,3),(4,

內(nèi)沒有3

222實(shí)數(shù)根，222所以存在惟一的自然數(shù)3,使方程

f(x)

37x

在間(m

內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。從上面的探討，我們可以看出，在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們除了要加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，還要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法來研究問題，只有這樣，我們才能以不變應(yīng)萬變，才能提高我們的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。練對(duì)于公比為2，首項(xiàng)為1的比列是存在一個(gè)等差數(shù)列其存在三項(xiàng)，使得這三項(xiàng)也是此等比數(shù)列中的項(xiàng)，并且項(xiàng)數(shù)也相同？證明你的結(jié)論。解：設(shè)等比數(shù)列

n

，則

bn

n

，設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

y

，等比數(shù)列通項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)

y

x

，x由，yax

，設(shè)

fx)2

x

ax

，則

f'()

x

當(dāng)

a0

時(shí)，顯然

f'()

，即

f(x)0

為單調(diào)遞增函數(shù)，故

yf()

至多與

軸有一個(gè)交點(diǎn)，即方程

至多有一個(gè)根；當(dāng)a時(shí)若log

2

a，則f'(x)；loglnln

，則

f'()

；故

yf()

在

(log

2

a)為函；在(1ln2ln2

為增函數(shù)；因此

yf()

的圖象在

(

2

aa)上x軸多一個(gè)交點(diǎn)在(1,ln2ln2

上亦至多一個(gè)交點(diǎn)，從而

yf()

在

R上x軸多有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程

至多有兩個(gè)根；x