第5節(jié)條件概率與全概率公式

課程標準要求

1.了解條件概率的含義，了解條件概率與獨立性的關系.

2.能利用條件概率和全概率公式解決一些實際問題.

⑥㈱散材夯實四基

必備知識?課前回顧

儂知識梳理

1.條件概率

(1)條件概率的概念

一般地,設A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)黑為在

P(A)

事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.

⑵條件概率的公式

①P(B|A)上黑；

n(A)

②P(B|A)=今黑,P(AB)表示事件A與B積事件的概率.

P⑷

⑶條件概率的性質

設P(A)>0,則

①OWP(B|A)W1,P(Q|A)=1;

②如果B和C是兩個互斥事件,則P(BUC|A)=P(B果)+P(C|A);

③設m和B互為對立事件,則P(B|A)=1-P(B|A);

④概率的乘法公式:對任意兩個事件A與B,若P(A)〉0,則

P(AB)=P(A)P(B|A).

2.全概率公式

一般地,設Al,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A|UA2u…UAn=。，且

n

P(A)>0,i=l,2,…,n,則對任意的事件BGQ,有P(B)=￡P(A)P(B|A).

i=l

我們稱其為全概率公式.

■釋疑

全概率公式是按照某種標準，將一個復雜事件表示為幾個互斥事標

并事件,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率.

匡重要結論

當A,B相互獨立時,P(B|A)=P(B).

—一對點自測，-

1.袋中裝有標號為1,2,3的三個小球,從中任取一個,記下它的號碼，

放回袋中，這樣連續(xù)做三次.若抽到各球的機會均等,事件A為“三次

抽到的號碼之和為6”,事件B為“三次抽到的號碼都是2"，則P(B|A)

等于(A)

A.-B.-C.iD.—

77627

解析：因為P(A)=竽,P(AB)4,所以P⑻A)=等母故選A.

2.(選擇性必修第三冊P50例5(1)改編)甲、乙、丙三個車間生產同

一種產品，其產量分別是總量的25%,35%,40%,次品率分別為

5%,4%,2%.從這批產品之中任取一件，則它是次品的概率為(C)

A.0.0123B.0.0234C.0.0345D.0.0456

解析:本題為簡單的全概率公式的應用，從這批產品之中任取一件,則

它是次品的概率為0.25X0.05+0.35X0.04+0.4X0.02=0.0345.故

選C.

3.100件產品中有5件次品，不放回地抽取兩次,每次抽1件，已知第

一次抽到的是次品，則第二次抽到正品的概率為(B)

A.9-4B.9-5C.—73D.—74

99997575

解析:設“第一次抽到次品”為事件A,“第二次抽到正品”為事件B,

則P⑷二三,P(AB)=三X纂所以P(B|A)=粵=焉故選B.

10010099P(⑷99

4.兩臺機床加工同樣的零件,它們出現(xiàn)廢品的概率分別為0.03和

0.02,加工出的零件放在一起.設第一臺機床加工的零件比第二臺的

多一倍,則任取一個零件是合格品的概率為.

解析:第一臺機床加工的零件比第二臺的多一倍,那么第一臺機床加

工的零件所占的比例是|,第二臺機床加工的零件占也則任取一件為

不合格品的概率為|XO.O3+|XO.02嗅故為合格品的概率為

7575,

答案卷

5.投擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子,設事件A為“藍色骰子的點數(shù)為

5或6”，事件B為“兩骰子的點數(shù)之和大于8”，則已知事件B發(fā)生

的條件下事件A發(fā)生的概率P(A|B)=.

解析:設x為擲紅骰子得的點數(shù),y為擲藍骰子得的點數(shù),則所有可能

的事件與(x,y)建立一一對應的關系，則共有36種基本事件,事件A

“藍色骰子的點數(shù)為5或6”，有以下基本事

件：(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4

,6),(5,6),(6,6),共12個；

事件B“兩骰子的點數(shù)之和大于8”，有以下基本事

件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6

,6),共10個,

故P(A)三蕓，P(B)嘿P(AB)嚓

所以P(A1B)帶二睪套

36

答案襦

類中溶點砥實四翼

關鍵能力?課堂突破

感考點T簡單的條件概率

1.甲、乙、丙、丁4名同學報名參加假期社區(qū)服務活動，社區(qū)服務活

動共有關懷老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳四個項目，每人限

報其中一項,記事件A為“4名同學所報項目各不相同”，事件B為“只

有甲同學一人報關懷老人項目”，則P(A|B)等于(C)

A.-B.-C.-D.-

4499

解析：由已知有P⑻=~7=~~^P(AB)所以P(A|B)=~7~r=~-故選

4，2564，128P[B)9

C.

2.已知一批產品共有10件,其中有3件次品，現(xiàn)不放回地從中依次抽

取2件,則在第一次抽到次品的情況下,第二次抽到次品的概率

為.

解析:法一設“第一次抽到次品”為事件A,“第二次抽到次品”為

事件B,則P(A)=AP(AB)=尊=工所以P(B|A)=嚶-工X

10Aj015P(A)1539

法二(基本事件法)抽取2件,第一次抽到次品的基本事件數(shù)為

n(A)=CK/27,第一次抽到次品,第二次也抽到次品的基本事件數(shù)為

n(AB)=C1Cj=6,

故所求概率P(B|A)==^=24.

法三(縮樣法)第一次抽到次品后,還剩9件產品，其中還有2件次品,

由古典概型的概率公式得,第二次抽到次品的概率為P(B|A)=|.

答案:|

3.某廠的產品中有4%的廢品，在100件合格品中有75件一等品，則在

該廠的產品中，任取一件是一等品的概率為.

解析:設事件A為“任取一件是合格品”，事件B為“任取一件是一等

品”，

則P(A)=1-P(1)=0.96.

P(B|A)=0.75,所以P(B)=P(AB)=P(A)-P(B|A)=0.96X0.75=0.72.

答案:0.72

一題后悟通

條件概率的三種求法

定

義先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)=［騫,求P(B|A)

P(A)

法

基

借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),

本

再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=嚶

事n{A)

件

法

縮

縮小樣本空間的方法,就是去掉第一次抽到的情況,只研究剩

樣

下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡

法

戚考點二利用條件概率的性質求概率

C1。在某次考試中，從20道題中隨機抽取6道題,若考生至少能答對

其中的4道題即可通過；若至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某

考生能答對其中10道題,并且知道該考生在這次考試中已經(jīng)通過,求

該考生獲得優(yōu)秀的概率.

解:設事件A為“該考生6道題全答對”，

事件B為“該考生答對了其中5道題，另1道答錯”，

事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道答錯”，

事件D為“該考生在這次考試中通過”，

事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，

則A,B,C兩兩互斥，且D=AUBUC,

由古典概型的概率公式及加法公式可知

P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P⑻+p(C)=單+^^+^^=^4^.

。20。20C20C2o

因為P(AD)=P(AGD)=P(A),

P(BD)=P(BAD)=P(B),

所以P(E|D)=P((AUB)|D)=P(A|D)+P(B|D)

「5「1

JoJoYo

_P（A）,P（B）_C%,C§0_13

國疥兩廠亙要「b'經(jīng)押po一藐

c20c20

所以該考生獲得優(yōu)秀的概率是亮

58

解題策略

利用條件概率的性質求概率的解題策略

(1)分析條件,選擇公式:首先看事件B.C是否互斥,若互斥,則選擇公

式P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A).

⑵分解計算,代入求值:為了求比較復雜事件的概率,一般先把它分

解成兩個(或若干個)互斥的較簡單的事件之和,求出這些簡單事件的

概率,再利用加法公式即得所求的復雜事件的概率.

［針對訓練］

某考生在一次考試中，共有10道題可供選擇，已知該考生能答對其中

6道題,隨機從中抽取5道題供該考生回答,至少答對3道題則及格，

求該考生在第一題答錯的情況下及格的概率.

解:設事件A為“從10道題中依次抽取5道題，第一題答錯”，事件B

為“從10道題中依次抽取5道題,至少有3道題答對”.

n(A)=C；《,n(AB)=C|(髭瑪+第砥)，

貝|JP(BIA)—n(AB)C:?瑪+C雞)25

ti(A)C^Cg42

所以該考生在第一題答錯的情況下及格的概率為If.

42

版1考點三全概率公式的應用

C1D現(xiàn)有編號為I,II,III的三個口袋，其中I號袋內裝有兩個1號

球,一個2號球與一個3號球；II號袋內裝有兩個1號球與一個3號球;

III號袋內裝有三個1號球與兩個2號球現(xiàn)在先從I號袋內隨機地取

一個球,放入編號與球上號數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取

一個球,計算第二次取到幾號球的概率最大,為什么？

解:記事件AhBi分別表示第一次、第二次取到i號球，i=l,2,3,依題

意Ai,A2,A3兩兩互斥,其和為Q,并且P(Ai)P(A2)=P(A：0

44

P(B1|A1)4P(B1|A2)4P(BI|A3)4

446

P⑻IAJ=；,P(B21AJ=P(B21A3)=；,

446

P(B31AJ=；,P(B31A2)4,P(B31A3)

446

應用全概率公式，有

3

P(BO=￡］P(Ai)P氏IA)=|X|+iX然X|=|.

類似可以求出P(BJ或,P(BJ=W

故第二次取到1號球的概率最大.

［典例遷移］(變結論)在本例中，若第二次取到1號球，問它取自哪一

個口袋的概率最大？

解:依題設知,第二次的球取自口袋的編號與第一次取的球上的號數(shù)

相同，則

PU)P(B|/1)^221

P(A|BJ=111XX2=

P(B1)442

P(A)P(B|?I)I2I

P(A|B)=-212XX2=

21P(BJ444’

PU)P(B|?I)I3I

P(A|B)=-313XX2=

31P(Bj464

故在第二次取到1號球的條件下,它取自編號為I的口袋的概率最

大.

，'解題策略I

全概率公式的意義

事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=l,…,n).

如果A是由原因Bi引起，則A發(fā)生的概率為P(ABJ=P(BJP(A|Bj,

每一個原因都可能導致A發(fā)生,故A發(fā)生的概率是全部原因引起A發(fā)

生的概率的總和，即為全概率公式.

■備選例題

CBD銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機上

取錢時,忘記了密碼的最后1位數(shù)字.求：

⑴任意按最后1位數(shù)字,不超過2次就按對的概率；

⑵如果記得密碼的最后1位是偶數(shù),不超過2次就按對的概率.

解：(1)設事件A為“第i次按對密碼"(i=l,2),則事件A“不超過2

次就按對密碼”可表示為人=人24A2.

事件&與事件4A2互斥，由互斥事件的概率加法公式和乘法公式,得

P(A)=P(A)+P041A2)=P(AO+P(a)P(A21&)*+2義；4

因此，任意按最后1位數(shù)字,不超過2次就按對的概率為點

⑵設事件B為“密碼的最后1位是偶數(shù)”，則由條件概率的性質可得

P(A|B)=P(AjB)+P(XJA2IB)=|+|Xi=|.

因此,如果記得密碼的最后1位是偶數(shù),不超過2次就按對的概率為|.

CM)1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅

球,現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一個球放入2號箱,然后從2號箱隨機取

出一個球，問：

(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多

少？

(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？

解:記事件A=“最后從2號箱中取出的是紅球”，事件13="從1號箱

中取出的是紅球”.

則P(B)=三=；,P(B)=1-P(B)4

2+433

⑴P(A|B)="2

8+19

⑵因為P(A后八*"所以

8+13

P(A)=P(AB)+P(A耳)=P(A|B)P(B)+P(A后)P(亙)X|+|X巖.

靈活方強龍致提保

課時作業(yè)

選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練

條件概率1,3,610,12

全概率公式的應用2,4,5,7,89,11,1314

A級基礎鞏固練

1.從1,2,3,4,5,6中任取2個不同的數(shù)字,事件A="取到的兩個數(shù)字

之和為偶數(shù)”，事件13=”取到的兩個數(shù)字均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于

(D)

1121

A.-B.-C.-D.-

3452

解析:P(A)=誓=|,P(AB)qlW，由條件概率,得P(B|A)=弁=＞衿

Cg5疑5P[A}552

故選D.

2.播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，L5%的三等種子，1%

的四等種子.用一、二、三、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概

率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,則這批種子所結的穗含50顆以上麥粒

的概率為(D)

A.0.8B.0.8325

C.0.5325D.0.4825

解析:設從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件分別

是A,A2,A3,A4,則它們構成樣本空間的一個劃分.

設事件B="從這批種子中任選一顆,所結的穗含50顆以上麥粒”，則

4

P⑻=￡P(Ai)P(B|Aj=95.5%X0.5+2%X0.15+1.5%X0.1+1%XO.05=

i=l

0.4825.故選D.

3.一盒中裝有5個產品,其中有3個一等品，2個二等品，從中不放回

地取出產品，每次1個,取兩次，已知第二次取得一等品的條件下,第

一次取得的是二等品的概率是(A)

A.-B-C.-D.-

2343

解析:法一設事件A="第一次取得二等品"，事件B="第二次取得

一等品"，則AB=”第一次取得二等品且第二次取得一等品”，所以

2X3

P(A|B)-分警-2X密*2-;?故選A.

r\D)------Z

5X4

法二設一等品為a,b,c,二等品為A,B,事件B=”第二次取得一等品”

所含基本事件有(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(A,a),

(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共12個，其中第一次取得二等品

的基本事件共有6個,所以所求概率為P=^=|.故選A.

4.設有一批同規(guī)格的產品，由甲、乙、丙三家工廠生產,其中甲廠生產

乙、丙兩廠各生產而且各廠的次品率依次為2%,2%,4%,現(xiàn)從中任

取一件，則取到次品的概率為(A)

A.0.025B.0.08C.0.07D.0.125

解析:設事件A”A2,A3分別表示“取到甲、乙、丙工廠的產品”，事件

B表示“取到次品”，

則P(A1)=O.5,P(A2)=P(A3)=O.25,P(B|AI)=O.02,P(B|A2)=0.02,

P(B|A3)=0.04,

所以P(B)=P(A,)P(B|AD+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(B|A3)=0.5X0.02+

0.25X0.02+0.25X0.04=0.025.故選A.

5.甲小組有2個男生和4個女生，乙小組有5個男生和3個女生,現(xiàn)隨

機從甲小組中抽出1人加入乙小組，然后從乙小組中隨機抽出1人,

則從乙小組中抽出女生的概率是.

解析:根據(jù)題意,記事件A尸“從甲小組中抽出的1人為男生”，事件

A2=”從甲小組中抽出的1人為女生"，事件8=”從乙小組中抽出的1

人為女生”，

則P(Ai)=-,P(A2)=-,

答案唱

6.盒子中裝有形狀、大小完全相同的五張卡片，分別標有數(shù)字1,2,3,

4,5.現(xiàn)每次從中任意抽取一張,取出后不再放回，若抽取三次,則在前

兩張卡片所標數(shù)字之和為偶數(shù)的條件下，第三張為奇數(shù)的概率為—.

解析:設“前兩張卡片所標數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件A,“第三張為奇

數(shù)”為事件B,則所求概率為P(B|A)二號二簿點

nU)A|A^+A|A^2

答案於

7.某地有甲、乙兩家超市，在某一周內某人去超市購物兩次，第1次購

物時隨機地選擇一家超市購物.若第1次去甲超市,則第2次去甲超市

的概率為0.4;若第1次去乙超市,則第2次去甲超市的概率為0.6,

則此人第2次去甲超市購物的概率為.

解析:設事件A尸“第1次去甲超市購物”，事件B尸“第1次去乙超市

購物”，事件Az="第2次去甲超市購物”，

則Q=AiUB,,且Ai與Bi互斥，

得P(AJ=P(BJ=O.5,P(A21Al)=0.4,

P(A2|B!)=0.6,由全概率公式得

P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B,)P(A2|Bl)

=0.5X0.4+0.5X0.6=0.5,

所以此人第2次去甲超市購物的概率為0.5.

答案：0.5

8.若某工廠有兩個車間生產同型號家用電器，第一車間的次品率為

0.15,第二車間的次品率為0.12,兩個車間的成品都混合堆放在一個

倉庫，假設第一車間、第二車間生產的成品比例為2：3,今有一客戶

從成品倉庫中隨機提出一臺成品，求該產品合格的概率.

解:設事件B=｛從倉庫中隨機提出的一臺成品是合格品｝,事件Ai=｛提

出的一臺成品是第i車間生產的｝,i=l,2,則有B=AIBUA2B,

由題意知P(A)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|AI)=0.85,P(B|A2)=0.88,

由全概率公式得P(B)=P(AJP(B|Ai)+P(A2)P(BIA2)=0.4X0.85+0.6X

0.88=0.868,所以該產品合格的概率為0.868.

B級綜合運用練

9.設某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒,3盒,

2盒依次是甲廠，乙廠，丙廠生產的，且甲、乙、丙三廠生產該種X光

片的次品率依次為白白,白現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任

取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為(A)

A.0.08B.0.1

C.0.15D.0.2

解析：以事件A,A2,A3分別表示“取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、

丙廠生產的”，

事件B表示“取得的X光片為次品”，

P(A1)=^,P(A2)=^,P(A3)=^,

P(B|Ai)=^~,P(B|A)=y-,P(BIA)=^~,

J.J.口2乙u3

則由全概率公式，

得所求概率為P(B)=P(A.)P(B|A)+P&)P(B|AJ+P(As)P(B|AjX

10

一X—,—X—=O.08.故選A.

1010151020

10.(2021?廣東廣州模擬)甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比

賽為“三局兩勝”制(無平局)，甲在每局比賽中獲勝的概率均為|,且

每局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了三局

的概率為(B)

解析:設事件A表示“甲獲得冠軍”，事件B表示“冠軍產生時恰好進

行了三局比賽”，則A包括“第一局甲獲勝、第二局甲獲勝”“第一

局甲獲勝、第二局乙獲勝、第三局甲獲勝”“第一局乙獲勝、第二局

甲獲勝、第三局甲獲勝”，則p(A)qx:+|x白衿x|x：=2

事件AB包括“第一局甲獲勝、第二局乙獲勝、第三局甲獲勝”“第

一局乙獲勝、第二局甲獲勝、第三局甲獲勝"，則P(AB)[＞＜；＞＜；+；X

3333

2V2_8

-Z\------------,

3327

8

P(B|A)土*趣：故選B.

1—5

27

11.(2021?河北衡水月考)世界衛(wèi)生組織就新型冠狀病毒感染的肺炎

疫情稱新型冠狀病毒可能造成“持續(xù)人傳人”.通俗點說就是A傳B,B

傳C,C又傳D等,這就是'持續(xù)人傳人”,而A,B,C分別被稱為第一代、

第二代、第三代傳播者.假設一個身體健康的人被第一代、第二代、

第三代傳播者感染的概率分別為0.95,0.9,0.85,某人身體健康,參加

了一次多人宴會,事后知道，參加宴會的人有5名第一代傳播者,3名

第二代傳播者,2名第三代傳播者,若此人參加宴會，僅和感染的10人

中的一人接觸,則被感染的概率為.

解析:設事件A,B,C分別表示“此人和第一代、第二代、第三代傳播

者接觸”，事件D表示“此人被感染”，則由題意得P(A)=0.5,P(B)=

0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.9,P(D|0=0.85,

則P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.95X0.5+0.9X0.3+

0.85X0.2=0.915.

答案:0.915

12.現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽,其中4個舞蹈節(jié)目,2個語言類節(jié)目,

如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：

(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；

⑵第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；

⑶在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽