PAGEPAGE2重點(diǎn)強(qiáng)化練(三)萬有引力定律的綜合應(yīng)用(限時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(多項(xiàng)選擇)據(jù)報(bào)道，美國探測(cè)器成功撞擊“坦普爾一號(hào)〞彗星，并投入彗星的懷抱，實(shí)現(xiàn)了人類歷史上第一次對(duì)彗星的“大碰撞〞，如圖1所示．設(shè)“坦普爾一號(hào)〞彗星繞太陽運(yùn)行的軌道是一橢圓，其運(yùn)行周期為5.74年，那么以下說法正確的選項(xiàng)是()圖1A．探測(cè)器的最小發(fā)射速度為7.9km/sB．“坦普爾一號(hào)〞彗星運(yùn)動(dòng)至近日點(diǎn)處的加速度大于遠(yuǎn)日點(diǎn)處的加速度C．“坦普爾一號(hào)〞彗星運(yùn)動(dòng)至近日點(diǎn)處的線速度小于遠(yuǎn)日點(diǎn)處的線速度D．探測(cè)器運(yùn)行的周期小于5.74年BD[探測(cè)器要想脫離地球的控制，發(fā)射速度要大于7.9km/s，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有eq\f(GMm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，可知近日點(diǎn)的加速度大，選項(xiàng)B正確；根據(jù)開普勒第二定律可知，行星繞日運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)的線速度大，遠(yuǎn)日點(diǎn)的線速度小，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；探測(cè)器的軌道比彗星低，根據(jù)開普勒第三定律，有eq\f(r3,T2)＝k，可知其運(yùn)行周期一定比彗星的運(yùn)行周期小，選項(xiàng)D正確．]2．(多項(xiàng)選擇)2014年11月27日，“嫦娥五號(hào)〞飛行器效勞艙第一次到達(dá)地月系統(tǒng)的拉格朗日－2點(diǎn)．如圖2所示，拉格朗日－1點(diǎn)(簡稱1點(diǎn))、拉格朗日－2點(diǎn)(簡稱2點(diǎn))、地心和月心位于一條直線上．效勞艙在1、2兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，幾乎不消耗燃料就能與月球同步繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)1點(diǎn)、2點(diǎn)到地心的距離分別為r1、r2，假設(shè)效勞艙先后在1點(diǎn)和2點(diǎn)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，那么以下說法正確的選項(xiàng)是()圖2A．效勞艙在1點(diǎn)、2點(diǎn)受到的地球引力大小之比為r1∶r2B．效勞艙在1點(diǎn)、2點(diǎn)的加速度大小之比為r1∶r2C．效勞艙在1點(diǎn)、2點(diǎn)的速率之比為r1∶r2D．因受月球的吸引，效勞艙內(nèi)的儀器處于超重狀態(tài)BC[設(shè)效勞艙質(zhì)量為m、地球質(zhì)量為M，效勞艙在1點(diǎn)、2點(diǎn)受到地球的引力分別為eq\f(GMm,r\o\al(2,1))和eq\f(GMm,r\o\al(2,2))，A錯(cuò)；設(shè)月球角速度為ω，效勞艙在1點(diǎn)、2點(diǎn)的加速度大小分別為r1ω2、r2ω2，B對(duì)；效勞艙在1點(diǎn)、2點(diǎn)的速度大小分別為r1ω、r2ω，C對(duì)；效勞艙內(nèi)儀器受到地球和月球的引力合力用于提供向心力，處于完全失重狀態(tài)，D錯(cuò)．]3．一衛(wèi)星繞火星外表附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其繞行的周期為T.假設(shè)宇航員在火星外表以初速度v水平拋出一小球，經(jīng)過時(shí)間t恰好垂直打在傾角α＝30°的斜面體上，如圖3所示．引力常量為G，那么火星的質(zhì)量為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：92492206】圖3A.eq\f(3v3T4,16Gt3π4) B．eq\f(3\r(3)v3T4,16Gt3π4)C.eq\f(3v2T4,16Gt3π4) D．eq\f(3\r(3)v2T4,16Gt3π4)B[以M表示火星的質(zhì)量，r0表示火星的半徑，g′表示火星外表附近的重力加速度，火星對(duì)衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r\o\al(2,0))＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r0，在火星外表有Geq\f(Mm′,r\o\al(2,0))＝m′g′；平拋小球速度的偏轉(zhuǎn)角為60°，tan60°＝eq\f(g′t,v)，聯(lián)立以上各式解得M＝eq\f(3\r(3)v3T4,16Gt3π4)，B正確．]4．a(chǎn)、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運(yùn)行的四顆人造衛(wèi)星．其中a、c的軌道相交于P，b、d在同一個(gè)圓軌道上，b、c的軌道在同一平面上．某時(shí)刻四顆衛(wèi)星的運(yùn)行方向及位置如圖4所示．以下說法中正確的選項(xiàng)是()圖4A．a(chǎn)、c的加速度大小相等，且大于b的加速度B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度C．a(chǎn)、c的線速度大小相等，且小于d的線速度D．a(chǎn)、c存在在P點(diǎn)相撞的危險(xiǎn)A[由圖可知a、c的軌道半徑大小相等，且小于b、d的軌道半徑，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝ma，可知B、C錯(cuò)誤，A正確；a、c軌道相交，那么軌道半徑相等，那么速率相等，由圖示位置可知a、c不會(huì)相撞，那么以后也不會(huì)相撞，D錯(cuò)誤．]5．(2022·銀川二中一模)如圖5所示，A為地球赤道上的物體，B為地球同步衛(wèi)星，C為地球外表上北緯60°的物體．A、B的質(zhì)量相同．那么以下關(guān)于A、B和C三個(gè)物體的說法中，正確的選項(xiàng)是()圖5A．A物體受到的萬有引力小于B物體受到的萬有引力B．B物體的向心加速度小于A物體的向心加速度C．A、B兩物體的軌道半徑的三次方與周期的二次方的比值相同D．A和B線速度的比值比C和B線速度的比值大，且都小于1D[A、B的質(zhì)量相同，根據(jù)萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)可知，A受到的萬有引力大于B受到的萬有引力，故A錯(cuò)誤；因A與B的角速度相同，由a＝ω2r可知B的向心加速度大于A的向心加速度，故B錯(cuò)誤；A在地球外表，不是環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因此不滿足開普勒第三定律，故C錯(cuò)誤；根據(jù)v＝ωr可知，B的線速度最大，而C的線速度最小，因此A與B的線速度比值大于C與B的線速度比值，且均小于1，故D正確．]6．(2022·海南高考)假設(shè)在某行星和地球上相對(duì)于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們?cè)谒椒较蜻\(yùn)動(dòng)的距離之比為2∶eq\r(7).該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R.由此可知，該行星的半徑約為()A.eq\f(1,2)R B．eq\f(7,2)RC．2R D．eq\f(\r(7),2)RC[平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，即h＝eq\f(1,2)gt2，所以x＝v0eq\r(\f(2h,g))，兩種情況下，拋出的速度相同，高度相同，所以eq\f(g行,g地)＝eq\f(7,4)，根據(jù)公式Geq\f(Mm,R2)＝mg可得g＝eq\f(GM,R2)，故eq\f(g行,g地)＝eq\f(\f(M行,R\o\al(2,行)),\f(M地,R\o\al(2,地)))＝eq\f(7,4)，解得R行＝2R，故C正確．]7．(多項(xiàng)選擇)2014年12月11日，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征四號(hào)丙〞運(yùn)載火箭成功將“遙感衛(wèi)星二十五號(hào)〞發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道．該衛(wèi)星的軌道是橢圓，周期為T0，如圖6所示．那么()圖6A．“遙感衛(wèi)星二十五號(hào)〞的發(fā)射速度小于第一宇宙速度B．“遙感衛(wèi)星二十五號(hào)〞在A→B→C的過程中速率逐漸變小C．“遙感衛(wèi)星二十五號(hào)〞從A到B所用的時(shí)間小于eq\f(T0,4)D．“遙感衛(wèi)星二十五號(hào)〞在B→C→D的過程中，萬有引力對(duì)它先做正功后做負(fù)功BC[繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星，其發(fā)射速度不小于第一宇宙速度，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；衛(wèi)星在A→B→C的過程中，衛(wèi)星與地球的距離增大，此過程中衛(wèi)星克服萬有引力做功，速率逐漸變小，選項(xiàng)B正確；周期為T0，衛(wèi)星從A到C的過程中所用的時(shí)間是eq\f(T0,2)，由于衛(wèi)星在A→B→C的過程中速率逐漸變小，從A到B與從B到C的路程相等，所以衛(wèi)星從A到B所用的時(shí)間小于eq\f(T0,4)，選項(xiàng)C正確；衛(wèi)星在B→C→D的過程中，萬有引力方向先與速度方向成鈍角，過了C點(diǎn)后萬有引力方向與速度方向成銳角，所以萬有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]8．(2022·長沙摸底)2015年7月23日美國航天局宣布，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)“另一個(gè)地球〞——太陽系外行星開普勒—452b.假設(shè)行星開普勒—452b繞中心恒星公轉(zhuǎn)周期為385天，它的體積是地球的5倍，其外表的重力加速度是地球外表的重力加速度的兩倍，它與中心恒星的距離和地球與太陽的距離很接近，那么行星開普勒—452b與地球的平均密度的比值及其中心恒星與太陽的質(zhì)量的比值分別為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：92492207】A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\f(1,3)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(365,385)))2 B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\f(1,3)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(385,365)))2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))eq\f(1,3)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(365,385)))2 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))eq\f(1,3)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(385,365)))2A[在行星外表，萬有引力等于重力，那么有：Geq\f(Mm,R2)＝mg，而ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，解得：ρ＝eq\f(3g,4πRG)，而行星開普勒—452b的體積是地球的5倍，那么半徑為地球半徑的eq\r(3,5)倍，那么有：eq\f(ρ行,ρ地)＝eq\f(g行R地,g地R行)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\f(1,3)，行星繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)萬有引力提供向心力得：Geq\f(M′M,r2)＝Meq\f(4π2r,T2)，解得：M′＝eq\f(4π2r3,GT2)，軌道半徑相等，行星開普勒－452b繞恒星公轉(zhuǎn)周期為385天，地球的公轉(zhuǎn)周期為365天，那么eq\f(M恒,M太)＝eq\f(T\o\al(2,地),T\o\al(2,行))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(365,385)))2，故A正確．]9．(多項(xiàng)選擇)(2022·聊城模擬)如圖7所示，甲、乙、丙是位于同一直線上的離其他恒星較遠(yuǎn)的三顆恒星，甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運(yùn)行，假設(shè)三顆星質(zhì)量均為M，萬有引力常量為G，那么()圖7A．甲星所受合外力為eq\f(5GM2,4R2)B．乙星所受合外力為eq\f(GM2,R2)C．甲星和丙星的線速度相同D．甲星和丙星的角速度相同AD[甲星所受合外力為乙、丙對(duì)甲星的萬有引力的合力，F(xiàn)甲＝eq\f(GM2,R2)＋eq\f(GM2,2R2)＝eq\f(5GM2,4R2)，A正確；由對(duì)稱性可知，甲、丙對(duì)乙星的萬有引力等大反向，乙星所受合力為0，B錯(cuò)誤；由于甲、丙位置在任意時(shí)刻均關(guān)于乙對(duì)稱，甲、丙的角速度和運(yùn)行軌道半徑相同，由v＝ωR可知，甲、丙兩星的線速度大小相同，但方向相反，故C錯(cuò)誤，D正確．]10．(2022·浙江模擬)某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球外表上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，春分那天(太陽光直射赤道)在日落12小時(shí)內(nèi)有t1時(shí)間該觀察者看不見此衛(wèi)星．地球半徑為R，地球外表處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方向與地球轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，不考慮大氣對(duì)光的折射．以下說法中正確的選項(xiàng)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：92492208】A．同步衛(wèi)星離地高度為eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))B．同步衛(wèi)星的加速度小于赤道上物體的向心加速度C．t1＝eq\f(T,π)sin－1eq\f(R,\r(3,\f(gR2T2,4π2)))D．同步衛(wèi)星加速度大于近地衛(wèi)星的加速度C[根據(jù)eq\f(GM,r2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，GM＝gR2，得同步衛(wèi)星軌道半徑為r＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))，離地高度為h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)a＝ω2r，由于同步衛(wèi)星與赤道上物體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同，同步衛(wèi)星離地心距離較大，同步衛(wèi)星加速度大于赤道上物體向心加速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)光的直線傳播規(guī)律，日落12小時(shí)內(nèi)有t1時(shí)間該觀察者看不見此衛(wèi)星，如下圖，同步衛(wèi)星相對(duì)地心轉(zhuǎn)過角度為θ＝2α，sinα＝eq\f(R,r)，結(jié)合θ＝ωt1＝eq\f(2π,T)t1，解得t1＝eq\f(T,π)sin－1eq\f(R,\r(3,\f(gR2T2,4π2)))，選項(xiàng)C正確；根據(jù)a＝eq\f(GM,r2)，同步衛(wèi)星的軌道半徑比近地衛(wèi)星軌道半徑大，故同步衛(wèi)星的加速度小于近地衛(wèi)星的加速度，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]二、非選擇題11．石墨烯是近些年發(fā)現(xiàn)的一種新材料，其超高強(qiáng)度及超強(qiáng)導(dǎo)電、導(dǎo)熱等非凡的物理化學(xué)性質(zhì)有望使21世紀(jì)的世界發(fā)生革命性的變化，其發(fā)現(xiàn)者由此獲得2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．用石墨烯制作超級(jí)纜繩，人類搭建“太空電梯〞的夢(mèng)想有望在本世紀(jì)實(shí)現(xiàn)．科學(xué)家們?cè)O(shè)想，通過地球同步軌道站向地面垂下一條纜繩至赤道基站，電梯倉沿著這條纜繩運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)外太空和地球之間便捷的物資交換．圖8(1)假設(shè)“太空電梯〞將貨物從赤道基站運(yùn)到距地面高度為h1的同步軌道站，求軌道站內(nèi)質(zhì)量為m1的貨物相對(duì)地心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，設(shè)地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，地球半徑為R；(2)當(dāng)電梯倉停在距地面高度h2＝4R的站點(diǎn)時(shí)，求倉內(nèi)質(zhì)量m2＝50kg的人對(duì)水平地板的壓力大小．地面附近重力加速度g取10m/s2，地球自轉(zhuǎn)角速度ω＝7.3×10－5rad/s，地球半徑R＝6.4×103km.【解析】(1)設(shè)貨物相對(duì)地心的距離為r1，線速度為v1，那么r1＝R＋h1 ①v1＝r1ω ②貨物相對(duì)地心的動(dòng)能Ek＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1) ③聯(lián)立①②③式得Ek＝eq\f(1,2)m1ω2(R＋h1)2. ④(2)設(shè)地球質(zhì)量為M，人相對(duì)地心的距離為r2，向心加速度為an，受地球的萬有引力為F，那么r2＝R＋h2 ⑤an＝ω2r2 ⑥F＝Geq\f(m2M,r\o\al(2,2)) ⑦g＝eq\f(GM,R2) ⑧設(shè)水平地板對(duì)人的支持力大小為N，人對(duì)水平地板的壓力大小為N′，那么F－N＝m2an ⑨N′＝N ⑩聯(lián)立⑤～⑩式并代入數(shù)據(jù)得N′≈11.5N. ?【答案】(1)eq\f(1,2)m1ω2(R＋h1)2(2)11.5N12．萬有引力定律揭示了天體運(yùn)行規(guī)律與地上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有內(nèi)在的一致性．(1)用彈簧秤稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果．地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G.將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧秤的讀數(shù)是F0.①假設(shè)在北極上空高出地面h