/22/22/1．3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件．知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的極值點(diǎn)和極值思考1觀察y＝f(x)的圖象，指出其極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)及極值．答案極大值點(diǎn)為e，g，i，極大值為f(e)，f(g)，f(i)；極小值點(diǎn)為d，f，h，極小值為f(d)，f(f)，f(h)．思考2導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？答案不一定，如f(x)＝x3，盡管由f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是遞增的，不滿足在x＝0的左、右兩側(cè)符號(hào)相反，故x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．梳理(1)極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)極值的求法與步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，①如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，即f′(x)＞0，在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，即f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，即f′(x)＜0，在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，即f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值．類型一求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求極值例1求下列函數(shù)的極值，并畫(huà)出函數(shù)的草圖．(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x).解(1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋0＋f(x)↘無(wú)極值↘極小值0↗無(wú)極值↗∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極小值且f(x)極小值＝0.函數(shù)的草圖如圖所示．(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＝0，解得x＝e.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增eq\f(1,e)單調(diào)遞減因此，x＝e是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(e)＝eq\f(1,e)，沒(méi)有極小值．函數(shù)的草圖如圖所示．反思與感悟(1)討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則．(2)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟①求導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③觀察f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)方程根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)方程根處取得極小值．注意：f′(x)無(wú)意義的點(diǎn)也要討論，可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)無(wú)意義的點(diǎn)，這些點(diǎn)都稱為可疑點(diǎn)，再用定義去判斷．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，函數(shù)y＝xf′(x)的圖象的一部分如圖所示，則()A．f(x)極大值為f(eq\r(3))，極小值為f(－eq\r(3))B．f(x)極大值為f(－eq\r(3))，極小值為f(eq\r(3))C．f(x)極大值為f(－3)，極小值為f(3)D．f(x)極大值為f(3)，極小值為f(－3)答案D解析當(dāng)x<－3時(shí)，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；當(dāng)－3<x<3時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x>3時(shí)，f′(x)<0.∴f(x)的極大值是f(3)，f(x)的極小值是f(－3)．命題角度2含參數(shù)的函數(shù)求極值例2設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論f(x)的極值．解由已知得，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1，(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a>1時(shí)，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗從上表可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，a－1)上單調(diào)遞減，在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由(1)知，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)沒(méi)有極值．當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在x＝0處取得極大值1，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)3.反思與感悟討論參數(shù)應(yīng)從f′(x)＝0的兩根x1，x2相等與否入手進(jìn)行．跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值．解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x).(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－eq\f(2,x)(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，x>0，知①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a.又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－alna，無(wú)極大值．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無(wú)極大值．類型二已知函數(shù)極值求參數(shù)例3(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，則a＝________，b＝________.(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－1有極值點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______．答案(1)29(2)(－∞，1)解析∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函數(shù)f(x)在x＝－1處有極值0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′?－1?＝0，,f?－1?＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－6a＋b＝0，,－1＋3a－b＋a2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9.))當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此時(shí)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去．當(dāng)a＝2，b＝9時(shí)，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－3，－1)時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)．故f(x)在x＝－1時(shí)取得極小值，∴a＝2，b＝9.(2)f′(x)＝x2－2x＋a，由題意，方程x2－2x＋a＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.引申探究1．若例3(2)中函數(shù)的極大值點(diǎn)是－1，求a的值．解f′(x)＝x2－2x＋a，由題意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，則f′(x)＝x2－2x－3，經(jīng)驗(yàn)證可知，f(x)在x＝－1處取得極大值．2．若例3(2)中函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，均為正值，求a的取值范圍．解由題意，方程x2－2x＋a＝0有兩個(gè)不等正根，設(shè)為x1，x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a>0，,x1＋x2＝2>0，,x1x2＝a>0，))解得0<a<1.故a的取值范圍是(0,1)．反思與感悟已知函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后，必須驗(yàn)證根的合理性．跟蹤訓(xùn)練3(1)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，且與直線y＝0在原點(diǎn)處相切，函數(shù)的極小值為－4.①求a，b，c的值；②求函數(shù)的遞減區(qū)間．解①∵函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，∴c＝0，即f(x)＝x3＋ax2＋bx，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.又∵函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝0在原點(diǎn)處相切，∴f′(0)＝0，解得b＝0，∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－eq\f(2a,3).由題意可知，當(dāng)x＝－eq\f(2a,3)時(shí)，函數(shù)取得極小值－4，∴(－eq\f(2,3)a)3＋a(－eq\f(2,3)a)2＝－4，解得a＝－3.∴a＝－3，b＝c＝0.②由①知f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2)．由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0<x<2，∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(0,2)．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋lnx,x)，若函數(shù)在區(qū)間(a，a＋eq\f(1,2))(其中a>0)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解∵f(x)＝eq\f(1＋lnx,x)，x>0，則f′(x)＝－eq\f(lnx,x2).當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值．∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋eq\f(1,2))(其中a>0)上存在極值，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,a＋\f(1,2)>1，))解得eq\f(1,2)<a<1.類型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例4(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4的圖象與直線y＝a恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－eq\f(4,3)，eq\f(28,3))解析∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗∴當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取得極大值f(－2)＝eq\f(28,3)；當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)取得極小值f(2)＝－eq\f(4,3).且f(x)在(－∞，－2)上遞增，在(－2,2)上遞減，在(2，＋∞)上遞增．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況，它的圖象大致如圖所示，結(jié)合圖象知－eq\f(4,3)<a<eq\f(28,3).(2)已知函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m＝eq\f(1,3)(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m.則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個(gè)不相等的實(shí)根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，∴令g′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝4.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g′(x)的變化情況如下表：x(－∞，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，4)4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗eq\f(68,27)－m↘－16－m↗則函數(shù)g(x)的極大值為g(eq\f(2,3))＝eq\f(68,27)－m，極小值為g(4)＝－16－m.∴由y＝f(x)的圖象與y＝eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g?\f(2,3)?＝\f(68,27)－m>0，,g?4?＝－16－m<0，))解得－16<m<eq\f(68,27).反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基本上畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便．跟蹤訓(xùn)練4若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在區(qū)間[－1,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，則g′(x)＝eq\f(2,x＋2)－2x－1＝－eq\f(2x?x＋\f(5,2)?,x＋2)(x>－2)．g(x)與g′(x)隨x在(－2，＋∞)的變化情況如下表：x(－2,0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－g(x)↗2ln2＋b↘由上表可知，函數(shù)在x＝0處取得極大值，極大值為2ln2＋b.結(jié)合圖象(圖略)可知，要使g(x)＝0在區(qū)間[－1,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g?－1?≤0，,g?0?>0，,g?1?≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b≤0，,2ln2＋b>0，,2ln3－2＋b≤0，))所以－2ln2<b≤2－2ln3.故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(－2ln2,2－2ln3]．1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．在(1,2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)B．在(3,4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)C．在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值D．x＝3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上的極小值點(diǎn)答案D解析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象知，x∈(1,2)時(shí)，f′(x)>0，x∈(2,4)時(shí)，f′(x)<0，x∈(4,5)時(shí)，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上為增函數(shù)，在(2,4)上為減函數(shù)，x＝2是f(x)在[1,5]上的極大值點(diǎn)，x＝4是極小值點(diǎn)．故選D.2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3處取得極值，則a等于()A．2B．3C．4D．5答案D解析由題意得，f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a(chǎn)<－1或a>2 D．a(chǎn)<－3或a>6答案D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.4．已知曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為3，且x＝eq\f(2,3)是y＝f(x)的極值點(diǎn)，則a＋b＝________.答案－2解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′?1?＝3，,f′?\f(2,3)?＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2a＋b＝3，,\f(4,3)＋\f(4,3)a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4，))則a＋b＝－2.5．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值eq\f(1,2).(1)求a，b的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值．解(1)f′(x)＝2ax＋eq\f(b,x)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′?1?＝0，,f?1?＝\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝0，,a＝\f(1,2)，))∴a＝eq\f(1,2)，b＝－1.(2)由(1)得，f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)＝eq\f(?x＋1??x－1?,x).又f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴令f′(x)＝0，解得x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘極小值↗∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．f(x)極小值＝f(1)＝eq\f(1,2).1．在極值的定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．2．函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0且在x＝x0兩側(cè)f′(x)符號(hào)相反．3．利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．課時(shí)作業(yè)(一)一、選擇題1．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則原函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由圖象可知，從左到右，圖象先減，后增，再減，再增．由極大值點(diǎn)的定義可知，圖中與x軸交點(diǎn)從左到右第二個(gè)就是極大值點(diǎn)，極大值點(diǎn)有1個(gè)，故選B.2．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則()A．x＝1是極小值點(diǎn)B．x＝0是極小值點(diǎn)C．x＝2是極小值點(diǎn)D．函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增答案C解析由圖象得f(x)在(－∞，0)上遞增，在(0,2)上遞減，在(2，＋∞)上遞增，∴x＝2是極小值點(diǎn)，故選C.3．若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－1,1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)答案A解析令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±eq\r(a)，令f′(x)>0，得x>eq\r(a)或x<－eq\r(a)；令f′(x)<0，得－eq\r(a)<x<eq\r(a).即在x＝－eq\r(a)處取極大值，在x＝eq\r(a)處取極小值．∵函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，∴f(eq\r(a))＝2，f(－eq\r(a))＝6，即aeq\r(a)－3aeq\r(a)＋b＝2且－aeq\r(a)＋3aeq\r(a)＋b＝6，得a＝1，b＝4，則f′(x)＝3x2－3.由f′(x)<0，得－1<x<1.則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)．故選A.4．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于點(diǎn)(1,0)，則f(x)的()A．極大值為eq\f(4,27)，極小值為0B．極大值為0，極小值為eq\f(4,27)C．極小值為－eq\f(4,27)，極大值為0D．極大值為－eq\f(4,27)，極小值為0答案A解析f′(x)＝3x2－2px－q.由函數(shù)f(x)的圖象與x軸切于點(diǎn)(1,0)，得p＋q＝1，∴q＝1－p，①3－2p－q＝0，②聯(lián)立①②，解得p＝2，q＝－1，∴函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x，則f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝eq\f(1,3).①當(dāng)x≤eq\f(1,3)時(shí)，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)極大值＝f(eq\f(1,3))＝eq\f(4,27)；②當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)極小值＝f(1)＝0.∴f(x)的極大值為eq\f(4,27)，極小值為0.故選A.5．函數(shù)f(x)＝eq\f(3,4)x4＋eq\f(2,3)ax3＋2x2＋b，若f(x)僅在x＝0處有極值，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2eq\r(3))∪[2eq\r(3)，＋∞)B．(－∞，－2eq\r(3)]∪[2eq\r(3)，＋∞)C．(－2eq\r(3)，2eq\r(3))D．[－2eq\r(3)，2eq\r(3)]答案D解析求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)＝3x3＋2ax2＋4x，令f′(x)＝3x3＋2ax2＋4x＝0，可得x＝0或3x2＋2ax＋4＝0，∵f(x)僅在x＝0處有極值，∴Δ＝4a2－48≤0，∴－2eq\r(3)≤a≤2eq\r(3)，故選D.6．若直線y＝m與y＝3x－x3的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．[－2,2]B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案B解析∵y＝3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.∵當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，y′<0；當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，y′>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，y′<0.∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取極大值2，當(dāng)x＝－1時(shí)，y取極小值－2.∵直線y＝m與y＝3x－x3的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，∴m的取值范圍為－2<m<2.故選B.7．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，且f(x)在x＝x0與x＝2處取得極值，則f(1)＋f(－1)的值一定()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．小于或等于0答案B解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f′(x)＝0，則x0和2是該方程的根．∴x0＋2＝－eq\f(2b,3a)<0，即eq\f(b,a)>0.由圖知，f′(x)<0的解為(x0,2)，∴3a>0，則b>0，∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0.二、填空題8．函數(shù)y＝xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______．答案y＝－eq\f(1,e)解析令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1，∴y＝－eq\f(1,e)，∴在極值點(diǎn)處的切線方程為y＝－eq\f(1,e).9．若函數(shù)f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2處有極值，則函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為_(kāi)_______．答案－5解析∵函數(shù)f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2處有極值，∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，令f′(2)＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×2＝0，∴c＝－4，∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x.∴函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.10．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax(x∈R)有大于0的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．答案(－∞，－1)解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，由題意知，ex＋a＝0有大于0的實(shí)根．令y1＝ex，y2＝－a，則兩曲線的交點(diǎn)在第一象限，如圖，結(jié)合圖形易得－a>1，解得a<－1.11．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則f(－1)＝________.答案30解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′?1?＝0，,f?1?＝10，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2a＋b＝0，,1＋a＋b＋a2＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3.))經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))時(shí)，f′(x)≥0，不合題意．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，則f(－1)＝30.三、解答題12．已知函數(shù)f(x)＝x3＋eq\f(1,2)mx2－2m2x－4(m為常數(shù)，且m>0)有極大值－eq\f(5,2)，求m的值．解∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，令f′(x)＝0，則x＝－m或x＝eq\f(2,3)m.列表如下.x(－∞，－m)－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－m，\f(2,3)m))eq\f(2,3)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值f(－m)↘極小值f(eq\f(2,3)m)↗∴f(x)有極大值f(－m)＝－m3＋eq\f(1,2)m3＋2m3－4＝－eq\f(5,2)，∴m＝1.13．已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.當(dāng)f′(x)>0時(shí)，解得x<－2或x>－1，當(dāng)f′(x)<0時(shí)，解得－2<x<－1，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(－1，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，－1)．(2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，得x＝－a或x＝－2.當(dāng)a＝2時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)無(wú)極值，故舍去；當(dāng)a<2時(shí)，－a>－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗由表可知，f(x)極大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，解得a＝4－3e2<2，所以存在實(shí)數(shù)a≤2，使f(x)的極大值為3，此時(shí)a＝4－3e2.四、探究與拓展14．已知函數(shù)y＝x3－3x＋c恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則c＝______.答案±2解析y＝x3－3x＋c有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程x3－3x＋c＝0有兩個(gè)根，可轉(zhuǎn)化為y＝x3－3x與y＝－c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．對(duì)于y＝x3－3x，令y′＝3x2－3＝0，得x＝±1.由圖象(圖略)可知－c＝y(tǒng)極大值＝(－1)3－3×(－1)＝2或－c＝y(tǒng)極小值＝13－3×1＝－2.∴c＝±2.15．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？解(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，則x＝－eq\f(1,3)或x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－eq\f(1,3))－eq\f(1,3)(－eq\f(1,3)，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗∴f(x)的極大值是f(－eq\f(1,3))＝eq\f(5,27)＋a，極小值是f(1)＝a－1.(2)函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)>0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有f(x)<0，∴曲線y＝f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．由(1)知f(x)極大值＝f(－eq\f(1,3))＝eq\f(5,27)＋a，f(x)極小值＝f(1)＝a－1.∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴f(x)極大值<0或f(x)極小值>0，即eq\f(5,27)＋a<0或a－1>0，∴a<－eq\f(5,27)或a>1，∴當(dāng)a∈(－∞，－eq\f(5,27))∪(1，＋∞)時(shí)，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．課時(shí)作業(yè)(二)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調(diào)減區(qū)間為()A．(－11,1)B．(－1,11)C．(－∞，－1)∪(11，＋∞)D．(－∞，－1)和(11，＋∞)答案B2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的說(shuō)法中，正確的是()A．無(wú)極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)答案C解析在x＝x0的兩側(cè)，f′(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)．3．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)答案D解析由函數(shù)的圖象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)．4．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝eq\f(1,a)處有極值，則ab的值為()A．3 B．－3C．0 D．1答案B解析∵f(x)＝ax3＋bx，∴f′(x)＝3ax2＋b.由函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝eq\f(1,a)處有極值，得f′(eq\f(1,a))＝3a(eq\f(1,a))2＋b＝0?ab＝－3.5．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于()A．11或18 B．11C．18 D．17或18答案C解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2a＋b＝0，,1＋a＋b＋a2＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3，))①當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))時(shí)，f′(x)＝3(x－1)2≥0，∴在x＝1處不存在極值；②當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))時(shí)，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，∴當(dāng)x∈(－eq\f(11,3)，1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，符合題意．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11，))∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18.6．已知函數(shù)f(x)＝(asinx＋bcosx)·ex在x＝eq\f(π,3)處有極值，則eq\f(a,b)的值為()A．2＋eq\r(3) B．2－eq\r(3)C.eq\r(3)＋1 D.eq\r(3)－1答案B解析f′(x)＝(acosx－bsinx)·ex＋(asinx＋bcosx)·ex＝[(a＋b)cosx＋(a－b)sinx]·ex，∵f(x)在x＝eq\f(π,3)處有極值，∴f′(eq\f(π,3))＝0，即(a＋b)coseq\f(π,3)＋(a－b)sineq\f(π,3)＝0，即eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(\r(3),2)(b－a)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3)－1,\r(3)＋1)＝2－eq\r(3).二、填空題7．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a，且f(x)的極小值為1，則f(x)的極大值為_(kāi)_______．答案eq\f(59,27)8．已知函數(shù)y＝3x－x3＋m的極大值為10，則m的值為_(kāi)_______．答案8解析y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，經(jīng)判斷知極大值為f(1)＝2＋m＝10，m＝8.9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－2ax＋1.若函數(shù)f(x)在(1,2)上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．答案(eq\f(3,2)，4)10．函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值為正數(shù)，極小值為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是________．答案(eq\f(\r(2),2)，＋∞)解析∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)有極小值，當(dāng)x＝－a時(shí)，f(x)有極大值．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－3a3＋a<0，,－a3＋3a3＋a>0，,a>0，))解得a>eq\f(\r(2),2).11．如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))內(nèi)單調(diào)遞增；②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))內(nèi)單調(diào)遞減；③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；④當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值；⑤當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值．則上述判斷正確的是________．(填序號(hào))答案③解析函數(shù)的單調(diào)性由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定，當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞減，同理f(x)在(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減，在(－2,2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(4，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以可排除①和②，可填③.由于函數(shù)在x＝2的左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有極大值；而在x＝－eq\f(1,2)的左右兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是正數(shù)，故函數(shù)在x＝－eq\f(1,2)的左右兩側(cè)均單調(diào)遞增，所以x＝－eq\f(1,2)不是函數(shù)的極值點(diǎn)．排除④和⑤.三、解答題12．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m為常數(shù)