/08/8/2．2對數(shù)函數(shù)2．2.1對數(shù)的概念和運算律[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解對數(shù)的概念，能進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化.2.了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的意義.3.理解對數(shù)恒等式并能用于有關(guān)對數(shù)的計算.4.掌握對數(shù)的運算性質(zhì)及其推導(dǎo).5.能運用對數(shù)運算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值和證明．[知識鏈接]1．＝4,＝eq\f(1,16).2．若2x＝8，則x＝3；若3x＝81，則x＝4.3．在指數(shù)的運算性質(zhì)中：am·an＝am＋n，eq\f(am,an)＝am－n，(am)n＝amn.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．對數(shù)的概念如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a為底，(正)數(shù)N的對數(shù)，記作b＝logaN.這里，a叫作對數(shù)的底，N叫作對數(shù)的真數(shù)．把上述定義中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，這兩個等式叫作對數(shù)的基本恒等式：alogaN＝N，b＝logaab.由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝1，loga1＝logaa0＝0.2．對數(shù)的運算法則如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.3．常用對數(shù)與自然對數(shù)(1)以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)，log10N記作lg_N.(2)以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)．logeN通常記為lnN.要點一指數(shù)式與對數(shù)式的互化例1將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：(1)2－7＝eq\f(1,128)；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log232＝－5；(5)lg0.001＝－3.解(1)log2eq\f(1,128)＝－7.(2)log327＝a.(3)lg0.1＝－1.(4)2－5＝32.(5)10－3＝0.001.規(guī)律方法1.解答此類問題的關(guān)鍵是要搞清a，x，N在指數(shù)式和對數(shù)式中的位置．2．若是指數(shù)式化為對數(shù)式，關(guān)鍵是看清指數(shù)是幾，再寫成對數(shù)式；若是對數(shù)式化為指數(shù)式，則要看清真數(shù)是幾，再寫成指數(shù)式．跟蹤演練1將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：(1)log3x＝6；(2)lne＝1；(3)43＝64.解(1)36＝x.(2)e1＝e.(3)log464＝3.要點二對數(shù)式的計算與化簡例2求下列各式的值：(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg1.2)；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－log5125；(3)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；(4)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.解(1)原式＝eq\f(\f(1,2)lg27＋lg23－\f(1,2)lg1000,lg12－lg10)＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2),2lg2＋lg3－1)＝eq\f(\f(3,2)?lg3＋2lg2－1?,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).(2)原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(3)原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝log22＝－eq\f(1,2).(4)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.規(guī)律方法1.進(jìn)行對數(shù)式的計算與化簡，主要依據(jù)是對數(shù)的運算法則，同時要注意結(jié)合對數(shù)恒等式、對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．2．應(yīng)用對數(shù)的運算法則時，除了正用這些法則外，還要注意它們的逆用．3．lg2＋lg5＝1，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2在計算和化簡時經(jīng)常使用，注意記憶．4．在對數(shù)的運算和化簡中提取公因式，因式分解等仍適用．跟蹤演練2(1)已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，則eq\f(b,a)等于()A.eq\f(1,100)B.eq\f(1,10)C．10D．100(2)計算下列各式的值：①4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；②eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).(3)化簡：eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).(1)答案B解析由于lgeq\f(b,a)＝lgb－lga＝1.4310－2.4310＝－1，∴eq\f(b,a)＝10－1＝eq\f(1,10)，故選B.(2)解①原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.②原式＝eq\f(lg4＋lg3,1＋lg\r(0.36)＋lg\r(3,8))＝eq\f(lg12,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(lg12,lg12)＝1.(3)解方法一原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,?4－3?lg3)＝eq\f(11,5).方法二(逆用公式)：原式＝eq\f(lg?3×9×27××3?,lg\f(81,27))＝eq\f(lg3,lg3)＝eq\f(11,5).要點三對數(shù)恒等式alogaN＝N的應(yīng)用例3計算：31＋log35－24＋log23＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))log25.解31＋log35－24＋log23＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))log25＝3×3log35－24×2log23＋(10lg3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－eq\f(29,5).規(guī)律方法對于指數(shù)中含有對數(shù)值的式子進(jìn)行化簡，應(yīng)充分考慮對數(shù)恒等式的應(yīng)用．這就要求首先要牢記對數(shù)恒等式，對于對數(shù)恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它們是同底的；(2)指數(shù)中含有對數(shù)形式；(3)其值為對數(shù)的真數(shù)．跟蹤演練3求值：(1)9log34；(2)51＋log52.解(1)9log34＝(32)log34＝3log34＝4.(2)51＋log52＝5·5log52＝5×2＝10.1．已知ab＞0，則下面4個式子中，正確的個數(shù)為()①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))).A．0 B．1C．2 D．3答案B解析當(dāng)a＜0，b＜0時，雖有ab＞0，但①②不正確，因為lga，lgb均無意義．只有③正確．2．log34＋log3eq\f(1,108)的值是()A．－3 B．3C．－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)答案A解析原式＝log3eq\f(4,108)＝log3eq\f(1,27)＝log33－3＝－3.3．已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＝b＜c B．a(chǎn)＝b＞cC．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＞b＞c答案B解析a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，因此a＝b，而log23eq\r(3)＞log22＝1，log32＜log33＝1，所以a＝b＞c，故選B.4．若ln(lgx)＝0，則x＝________.答案10解析由已知得lgx＝1，所以x＝10.5．已知函數(shù)f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝________.答案2解析由已知可得，lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2×1＝2.1.一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，就是ab＝N，那么b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．2．利用ab＝N?b＝logaN(其中a＞0，a≠1，N＞0)可以進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化．3．對數(shù)恒等式：alogaN＝N(a＞0且a≠1)，b＝logaab.4．對于同底的對數(shù)的化簡常用方法是：(1)“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)化成積(商)的對數(shù)；(2)“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差)．5．對于常用對數(shù)的化簡要充分利用“l(fā)g5＋lg2＝1”來解題．6．對于多重對數(shù)符號對數(shù)的化簡，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡求值．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．指數(shù)式a5＝b(a＞0，a≠1)所對應(yīng)的對數(shù)式是()A．log5a＝b B．log5b＝aC．logb5＝a D．logab＝5答案D2．若logx(eq\r(5)－2)＝－1，則x的值為()A.eq\r(5)－2 B.eq\r(5)＋2C.eq\r(5)－2或eq\r(5)＋2 D．2－eq\r(5)答案B解析∵logx(eq\r(5)－2)＝－1，∴x－1＝eq\r(5)－2，即eq\f(1,x)＝eq\r(5)－2，即x＝eq\f(1,\r(5)－2)＝eq\r(5)＋2.3．21＋eq\f(1,2)·log25的值等于()A．2＋eq\r(5) B．2eq\r(5)C．2＋eq\f(\r(5),2) D．1＋eq\f(\r(5),2)答案B解析21＋log25＝2×2log25＝2×2log25＝2×5＝2eq\r(5).4．log7[log3(log2x)]＝0，則x等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2\r(3))C.eq\f(1,2\r(2)) D.eq\f(1,3\r(3))答案C解析由已知得，log3(log2x)＝1，∴l(xiāng)og2x＝3，∴x＝23，∴x＝(23)＝8＝eq\f(1,8)＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(1,2\r(2)).5．若4lgx＝16，則x的值為________．答案100解析∵4lgx＝16＝42，∴l(xiāng)gx＝2，∴x＝102＝100.6．已知log32＝a,3b＝5，則log3eq\r(30)用a、b表示為______．答案eq\f(1,2)(a＋b＋1)解析由3b＝5，得b＝log35，log3eq\r(30)＝eq\f(1,2)log3(3×5×2)＝eq\f(1,2)(1＋log35＋log32)＝eq\f(1＋a＋b,2).7．求下列各式中x的值：(1)若log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,9)))＝1，求x的值；(2)若log2015(x2－1)＝0，求x的值．解(1)∵log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,9)))＝1，∴eq\f(1－2x,9)＝3.∴1－2x＝27，即x＝－13.(2)∵log2015(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±eq\r(2).二、能力提升8．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(|x1·x2·…·x2014|)＝8，則f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2014))的值為()A．4 B．8C．16 D．2loga8答案C解析因為f(x)＝logax，f(|x1·x2·…·x2014|)＝8，所以f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2014))＝logaxeq\o\al(2,1)＋logaxeq\o\al(2,2)＋…＋logaxeq\o\al(2,2014)＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2014|＝2loga|x1x2…x2014|＝2f(|x1·x2·…·x2014|)＝2×8＝16.9．對于a＞0，a≠1，下列說法：①若M＝N，則logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，則M＝N；③若logaM2＝logaN2，則M＝N；④若M＝N，則logaM2＝logaN2.其中正確的有________．答案②解析①若M＝N＝－5，則logaM與logaN無意義，所以①錯；②對；③因為loga52＝loga(－5)2，而5≠－5，所以③錯；④若M＝N＝0，則logaM2與logaN2無意義，所以④錯．10．若f(log2x)＝x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.答案eq\r(2)解析令log2x＝eq\f(1,2)，則2＝x，∴f(eq\f(1,2))＝2＝eq\r(2).11．計算：(1)3log72－log79＋2log7(eq\f(3,2\r(2)))；(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(3)logaeq\r(n,a)＋logaeq\f(1,an)＋logaeq\f(1,\r(n,a)).解(1)原式＝log78－log79＋log7eq\f(9,8)＝log78－log79＋log79－log78＝0.(2)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5－lg2＋2lg2＝lg5＋lg2＝1.(3)原式＝logaaeq\f(1,n)＋logaa－n＋logaa－eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)＋(－n)＋eq\b\lc\(\rc