通信原理第2章確知信號(大部分屬于“信號與系統(tǒng)”知識)我們重點(diǎn)講對以后有用的知識點(diǎn)一、常用付立葉變換及性質(zhì)（最好記住）二、能量譜密度和功率譜密度（難點(diǎn)，也是考研重點(diǎn)）三、相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)（是學(xué)習(xí)第3章、第8章、第9章的重要基礎(chǔ)知識）信號分析的基礎(chǔ)知識一、付立葉級數(shù)

任何一個周期信號，只要滿足狄里赫利條件，都可以表示為付立葉級數(shù)。付立葉級數(shù)的表示形式付立葉級數(shù)的三角形式：傅立葉系數(shù)：是的平均值，即直流分量。付立葉級數(shù)的指數(shù)形式：信號分析的基礎(chǔ)知識二、付立葉變換

非周期信號不能直接用傅立葉級數(shù)去研究，可把它看作周期信號周期趨于無窮的一種極限情況。在指數(shù)形式的付式級數(shù)展開中令可得：通常把叫做的頻譜密度，或簡稱頻譜。付立葉變換提供了信號在頻域和時間域之間的相互變換關(guān)系。由到的變換叫付氏正變換，而相反的變換稱為付氏反變換。

一、常用付立葉變換及性質(zhì)1、常用付立葉變換（最好記?。﹖δ(t)ω1t1ω2πδ(ω)常用付立葉變換(續(xù))tω-ω0ω0常用付立葉變換(續(xù))τtω周期函數(shù)的付立葉變換(重要)周期沖激信號的付立葉變換tδT(t)T2T3T-3T-2T-TωΩδT(ω)0Ω-Ω2Ω-2Ω這一對變換我們將在第9章用到。2、付立葉變換的幾個重要性質(zhì)（需記?。?.1確知信號的類型取值在任何時間都是確定的和可預(yù)知的信號。按照周期性區(qū)分：周期信號：

T0－信號的周期，1/T0－基頻f0非周期信號按照能量區(qū)分：能量信號：滿足功率信號：即持續(xù)時間為無窮的信號平均功率P為有限正值：能量信號的能量有限，但平均功率為0。功率信號的平均功率有限，但能量為

。“能量信號”和“歸一化能量”的概念

為了分析簡便、統(tǒng)一，我們令負(fù)載為1歐姆，這樣無論f(t)是電壓還是電流，其作用在負(fù)載上的能量都可記為若一個信號的歸一化能量不是無窮大，則稱之為能量信號，如單個門函數(shù)τt，稱為歸一化能量“功率信號”和“歸一化功率”的概念歸一化功率:電流或電壓在單位電阻上消耗的功率。若一個信號的在整個時間域內(nèi)的能量是無窮大的，則稱之為功率信號，如周期性方波其平均功率為若s(t)為周期性信號,則0T-TtVs(t)2.2確知信號的頻域性質(zhì)頻率特性，由各個頻率分量的分布表示。與信號的占用頻帶寬度和信號的抗噪聲能力有密切關(guān)系。信號的頻率特性有４種：功率信號的頻譜功率信號的功率譜密度能量信號的頻譜密度能量信號的能量譜密度2.2.1功率信號的頻譜周期性功率信號頻譜（函數(shù)）的定義設(shè)一個周期性功率信號s(t)的周期為T0

式中，f0

＝1/T0，n為整數(shù)，-<n<+。

－雙邊譜，復(fù)振幅 (2.2－4) |Cn|－振幅，n－相位信號s(t)的付立葉級數(shù)表示法周期性功率信號的頻譜式中式(2.2－8)表明：

1.周期性功率信號，頻譜是離散的，只在f0

的整數(shù)倍取值。

1.實(shí)信號可以表示成包含直流分量C0、基波(n=1時)和各次諧波(n=2,3,…)。

2.實(shí)信號s(t)的各次諧波的振幅等于

3.實(shí)信號s(t)的各次諧波的相位等于

4.數(shù)學(xué)上的頻譜函數(shù)Cn又稱為雙邊譜，|Cn|的值是單邊譜的振幅之半。稱為單邊譜。Cn【例2.1】試求圖2-2(a)所示周期性方波的頻譜。由式(2.2-1)：0T-TtVs(t)離散譜此信號的付立葉級數(shù)表示式為：SaSa2.2.2能量信號的頻譜密度頻譜密度的定義：能量信號s(t)的付立葉變換：S(f)的逆付立葉變換為原信號：能量信號的頻譜密度S(f)和功率信號的頻譜C(nf0)的區(qū)別:S(f)－連續(xù)譜；C(nf0)－離散譜S(f)的單位：V/Hz；C(nf0)的單位：V理解下書p23頁第1段的話注意：在針對能量信號討論問題時，也常把頻譜密度簡稱為頻譜。

設(shè) 它的付立葉變換為

矩形脈沖的帶寬為第一個零點(diǎn)的位置，等于其脈沖持續(xù)時間的倒數(shù)，在這里它等于(1/)Hz?！纠?.4】試求一個矩形脈沖的頻譜密度。1(b)Ga(f)t0(a)ga(t)Ga(f)ga(t)f1/2/-2/-1/0圖2-5單位門函數(shù)－單位門函數(shù)連續(xù)譜【例2.5】試求單位沖激函數(shù)(函數(shù))的頻譜密度函數(shù)的定義：函數(shù)的物理意義：一個高度為無窮大、寬度為無窮小、面積為1的脈沖。函數(shù)的頻譜密度：f(f)10t(t)0函數(shù)的性質(zhì)1：函數(shù)可以用抽樣函數(shù)的極限表示： 因?yàn)?，可以證明 式中k越大、振幅越大、波形零點(diǎn)的間隔越 小、波形振蕩的衰減越快，但積分等于1。 （見左圖） 和下式比較：

(2.2-26)

可見 (2.2-28)

即抽樣函數(shù)的極限就是函數(shù)。ttt有時可以把功率信號當(dāng)作能量信號看待。功率信號的頻譜中，在其各個諧波頻率上具有一定的非零功率，故在這些頻率上的功率密度為無窮大?！纠?.6】試求無限長余弦波的頻譜密度。設(shè)一個余弦波的表示式為s(t)=cos2f0t，則其頻譜密度S(f)按式(2.2-21)計(jì)算，可以寫為參照式(2.2-28)，上式可以改寫為引用了沖激函數(shù)就能把頻譜密度的概念推廣到功率信號上。f0－f00(b)頻譜密度t(a)波形函數(shù)的性質(zhì)3：

(2.2-30)

【證】因?yàn)槲锢硪饬x：可以看作是用函數(shù)在

t=t0時刻對f(t)抽樣。 由于單位沖激函數(shù)是偶函數(shù)，即有(t)=(-t)，所以式(2.2-30)可以改寫成：

(2.2-31)函數(shù)的性質(zhì)3：函數(shù)也可以看作是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 單位階躍函數(shù)的定義： 即 u(t)=(t)10t圖2-8單位階躍函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)4：巴塞伐爾(Parseval)定理對于能量信號有：對于功率信號有：其中為截短的有限時間信號的付式變換。對于周期信號有：（特殊的功率信號）

以上幾個式子反映的是信號在時域的總能量（或功率）等于信號在頻域內(nèi)的總能量（或功率），各式中等號左端反映的是信號能量或功率在時域的分布情況，右端為在頻域的分布情況。

設(shè)一個能量信號s(t)的能量為E，則其能量由下式?jīng)Q定： 若此信號的頻譜密度，為S(f)，則由巴塞伐爾定理得知： 上式中|S(f)|2稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的信號能量。上式可以改寫為：式中，G(f)＝ |S(f)|2（J/Hz）

為能量譜密度。G(f)的性質(zhì)：因s(t)是實(shí)函數(shù)，故|S(f)|2是偶函數(shù)，∴

2.2.3能量信號的能量譜密度2.2.4功率信號的功率譜密度定義：首先將信號s(t)截短為sT(t)，-T/2<t<T/2

sT(t)是一個能量信號，可以用傅里葉變換求出其能量譜密度|ST(t)|2，由巴塞伐爾定理有

(2.2-41)將定義為信號的功率譜密度P(f)

，即2.2.4功率信號的功率譜密度周期信號的功率譜密度：令T等于信號的周期T0

，于是有

(2.2-45)由周期函數(shù)的巴塞伐爾(Parseval)定理: (2.2-46)式中|Cn|2

－第n次諧波的功率利用函數(shù)可將上式表示為

(2.2-47)式中上式中的被積因子就是此信號的功率譜密度P(f)，即

(2.2-48)周期函數(shù)的付立葉變換與功率譜密度的區(qū)別二者最明顯的區(qū)別為：付立葉變換可能是復(fù)數(shù);而功率譜密度一定是實(shí)數(shù)。另外，付立葉變換通常不考慮單位，而功率譜密度的單位是(瓦/Hz)【例2.8】試求例2.1中周期性信號的功率譜密度。

該例中信號的頻譜已經(jīng)求出，它等于式(2.2-14)： 所以由式(2.2-48)：得出

(2.2-50)0T-TtVs(t)[補(bǔ)充例題]下列信號哪些是能量信號，哪些是功率信號，分別求出其歸一化能量（或功率）及譜密度P[補(bǔ)充例題]（續(xù)）[補(bǔ)充例題]（續(xù)）2.3確知信號的時域性質(zhì)為什么要學(xué)習(xí)相關(guān)函數(shù)?相關(guān)函數(shù)與功率譜密度有密切的聯(lián)系數(shù)字調(diào)制解調(diào)利用彼此相關(guān)函數(shù)較小的波形來攜帶不同信息，可以大大提高調(diào)制解調(diào)質(zhì)量第10章的“數(shù)字信號最佳接收”也要用到相關(guān)函數(shù)的分類互相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)（與功率譜是一對付立葉變換）1、互相關(guān)函數(shù)對于能量信號，其互相關(guān)函數(shù)定義為對于周期性功率信號，其互相關(guān)函數(shù)定義為對于非周期性功率信號，其互相關(guān)函數(shù)定義為212、自相關(guān)函數(shù)[其實(shí)就是令s1(t)=s2(t)]對于能量信號，其自相關(guān)函數(shù)定義為對于周期性功率信號，其自相關(guān)函數(shù)定義為對于非周期性功率信號，其自相關(guān)函數(shù)定義為[例題]求Asinω0t的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度[例題]（續(xù)）3、維納-辛欽定理能量信號的自相關(guān)函數(shù)與能量譜密度是一對付立葉變換功率信號的