幾何最值之瓜豆原理鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))1. 如圖，ABCD是正方形場(chǎng)地，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，AE與BC相交于點(diǎn)F，有甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D，若三名同學(xué)行走的速度都相同，則他們到達(dá)各自的目的地的先后順序(由先至后)是()A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙【解答】B【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°，甲行走的距離是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB；乙行走的距離是AF＋EF＋EC＋CD；丙行走的距離是AF＋FC＋CD，∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即順序是甲丙乙，故選B．2. 如圖，點(diǎn)P(3，4)，圓P半徑為2，A(2.8，0)，B(5.6，0)，點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是_______．【解答】1.5【解析】由題意可知M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，C點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)為定點(diǎn)．∵C是BM中點(diǎn)，可知C點(diǎn)軌跡為取BP中點(diǎn)F，以F為圓心，F(xiàn)C為半徑作圓，即為點(diǎn)C軌跡，如圖所示：由題中數(shù)據(jù)可知OP＝5，又∵點(diǎn)A、F分別是OB、BP的中點(diǎn)，∴AF是△BPO的中位線，∴AF＝2.5，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到如圖位置時(shí)，AC的值最小，此時(shí)A、C、O三點(diǎn)共線，∴AC＝2.5－1＝1.5.3. 如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝SKIPIF1<0，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．【解答】π【解析】當(dāng)點(diǎn)P位于弧AB的中點(diǎn)時(shí)，M為AB的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0分別為AC、BC的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0交CP于點(diǎn)O，如圖所示：∵SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓，如圖藍(lán)色半圓，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為π.4. 如圖，正方形ABCD中，SKIPIF1<0，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長(zhǎng)的最小值．【解答】SKIPIF1<0【解析】法一、∵OE＝2，∴點(diǎn)E可以看成是在以O(shè)為圓心，2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)P，使得AP＝OC，連接PE，如圖所示：∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，當(dāng)O、E、P三點(diǎn)共線時(shí)，PE的值最小，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴OF的最小值是SKIPIF1<0.法二、E是主動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是從動(dòng)點(diǎn)，D是定點(diǎn)，E點(diǎn)滿足EO＝2，故E點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓．考慮DE⊥DF且DE＝DF，故作DM⊥DO且DM＝DO，F(xiàn)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，2為半徑的圓．直接連接OM，與圓M交點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí)OF最?。蓸?gòu)造三垂直全等求線段長(zhǎng)，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．5. △ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為_(kāi)____________．【解答】SKIPIF1<0【解析】如圖，以AO為直角邊作等腰直角三角形AOF，且∠AOF＝90o，則AO＝FO，SKIPIF1<0，∵四邊形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90o，∵∠BOC＝∠AOF＝90o，∴∠AOB＝∠COF，∴△AOB≌△FOC，∴CF＝AB＝4，若點(diǎn)A、C、F三點(diǎn)不共線時(shí)，AF＜AC＋CF，若點(diǎn)A、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，AF＝AC＋CF，∴AF≤AC＋CF＝2＋4＝6，∴AF的最大值是6，∵SKIPIF1<0，∴AO的最大值是SKIPIF1<0；法二、考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個(gè)，比如固定AB，將AC看成動(dòng)線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值．根據(jù)AC＝2，可得C點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓．接下來(lái)題目求AO的最大值，所以確定O點(diǎn)軌跡即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓，所以O(shè)點(diǎn)軌跡也是圓，以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)M即為點(diǎn)O軌跡圓圓心．連接AM并延長(zhǎng)與圓M交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)O，此時(shí)AO最大，根據(jù)AB先求AM，再根據(jù)BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO．6. 如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y＝－x于點(diǎn)N，若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________．【解答】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)∠PAB＝90°，∠APB＝30°可得：AP:AB＝SKIPIF1<0，故B點(diǎn)軌跡也是線段，且P點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)與B點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)之比也為SKIPIF1<0，P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)ON為SKIPIF1<0，故B點(diǎn)軌跡長(zhǎng)為SKIPIF1<0．7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(－3，0)，點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OP的最小值．【解答】SKIPIF1<0【解析】求OP最小值需先作出P點(diǎn)軌跡，根據(jù)△ABP是等邊三角形且B點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，故可知P點(diǎn)軌跡也是直線．取兩特殊時(shí)刻：(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，作出P點(diǎn)位置P1；(2)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時(shí)，作出P點(diǎn)位置P2．連接P1P2，即為P點(diǎn)軌跡．根據(jù)∠ABP＝60°可知：SKIPIF1<0與y軸夾角為60°，作OP⊥SKIPIF1<0，所得OP長(zhǎng)度即為最小值，OP2＝OA＝3，所以SKIPIF1<0．8. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，求CG的最小值是多少？【解答】SKIPIF1<0【解析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求CG最小值，可以將F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻G點(diǎn)在SKIPIF1<0位置，最終G點(diǎn)在SKIPIF1<0位置(SKIPIF1<0不一定在CD邊)，SKIPIF1<0即為G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡．CG最小值即當(dāng)CG⊥SKIPIF1<0的時(shí)候取到，作CH⊥SKIPIF1<0于點(diǎn)H，CH即為所求的最小值．根據(jù)模型可知：SKIPIF1<0與AB夾角為60°，故SK