關(guān)于金融中的數(shù)學(xué)分析方法第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六一、金融與數(shù)學(xué)

金融學(xué)是一門年輕的學(xué)科，最早起源于西方的會(huì)計(jì)學(xué)和法律。二十世紀(jì)七十年代以來逐漸發(fā)展成為一門相對(duì)獨(dú)立的學(xué)科，具有特定的研究對(duì)象、研究方法和研究思路。第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六一、金融與數(shù)學(xué)資產(chǎn)組合理論與資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本假設(shè)：投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。數(shù)學(xué)方法：概率論、均值方差理論期權(quán)定價(jià)模型基本假設(shè)：投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。數(shù)學(xué)方法：布朗運(yùn)動(dòng)、伊藤公式、隨機(jī)偏微分方程第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六一、金融與數(shù)學(xué)美式期權(quán)定價(jià)與復(fù)雜期權(quán)基本假設(shè)：投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。數(shù)學(xué)方法：計(jì)算機(jī)技術(shù)（RocketScience)、蒙特卡洛模擬、數(shù)值分析、人工智能（遺傳算法）、鞅、測度理論。第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六一、金融與數(shù)學(xué)信息理論：基本假設(shè)：市場價(jià)格能反映所有的信息；價(jià)格波動(dòng)符合隨機(jī)游走假設(shè)。數(shù)學(xué)方法：時(shí)間序列數(shù)據(jù)分析、人工智能（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)）、概率理論、小波分析。第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六一、金融與數(shù)學(xué)時(shí)間序列分析跨時(shí)序分析與經(jīng)濟(jì)建模計(jì)算機(jī)金融第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析時(shí)間序列的平穩(wěn)性時(shí)間序列的自相關(guān)性時(shí)間序列的異方差現(xiàn)象第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析以下是我國1986年至2005年的國民生產(chǎn)總值和人口數(shù)，回歸結(jié)果為：GDP=-74.15+6.7AP?；貧w合理嗎？怎么解決？第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析實(shí)際上，GDP、AP都是隨時(shí)間遞增的，都不是平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，因此導(dǎo)致了偽回歸。第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析平穩(wěn)時(shí)間序列：第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析

平穩(wěn)時(shí)間序列：均值不隨時(shí)間變化而變化的數(shù)據(jù)。實(shí)際生活當(dāng)中，平穩(wěn)時(shí)間序列是很少見的。如果對(duì)具有共同趨勢的非平穩(wěn)時(shí)間序列采用經(jīng)典的回歸分析方法來進(jìn)行分析，就會(huì)產(chǎn)生偽回歸，亦即不存在的、虛假的關(guān)系。比如，用你的年齡與我國的GDP回歸。第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析解決辦法：一階差分、二階差分或三階差分，或考察兩者的增長率的關(guān)系。第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析結(jié)論：我國GDP與人口數(shù)都隨時(shí)間遞增，但兩者的增長率與時(shí)間沒有顯著的線性關(guān)系。第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析以下是一只股票A的收益率，你能找出它的波動(dòng)規(guī)律并決定在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候買入和賣出嗎？第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析

股票A的收益率服從以零為期望值、方差為1的正態(tài)分布。由于在每一個(gè)時(shí)間段的期望值、方差點(diǎn)不變，因此是平穩(wěn)過程。

第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析時(shí)間序列相關(guān)的類型分為：自回歸過程(AR)移動(dòng)平均過程(MA)

第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析當(dāng)p=1且Alpha=1時(shí)，自回歸過程AR就服從布朗運(yùn)動(dòng)。第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析自相關(guān)過程p=1，Alpha=1（布朗運(yùn)動(dòng)）。第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析移動(dòng)平均過程(MA)：加入移動(dòng)平均趨勢的一階自相關(guān)過程。第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析自相關(guān)移動(dòng)平均過程ARIMA（1，0，1）：第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析同方差的時(shí)間序列：第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析異方差的時(shí)間序列數(shù)據(jù)ARCH(3)：第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列分析時(shí)間序列的平穩(wěn)性：時(shí)間序列的自相關(guān)性：AR時(shí)間序列的異方差現(xiàn)象：ARCH第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六三、跨時(shí)序分析與經(jīng)濟(jì)建?？鐣r(shí)序分析(Inter-temporalModel)----消費(fèi)者效用最大化的跨時(shí)序列分析

定義1：效用是指個(gè)人通過消費(fèi)商品獲得的滿足程度,是所消費(fèi)商品量的函數(shù)，即第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六三、消費(fèi)者效用跨時(shí)序分析假設(shè)1：消費(fèi)函數(shù)是一個(gè)遞增的凹函數(shù)，即UC第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六三、消費(fèi)者效用跨時(shí)序分析我們考察兩個(gè)時(shí)期內(nèi)個(gè)人的消費(fèi)決策問題。設(shè)個(gè)人在第1期和第2期消費(fèi)的商品分別為和，則個(gè)人得到的效用為：其中Beta是個(gè)人偏好貼現(xiàn)因子，且第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六三、消費(fèi)者效用跨時(shí)序分析設(shè)個(gè)人在第1期和第2期的收入水平分別為、，r表示第1期資本市場的借貸利率，則個(gè)人的消費(fèi)預(yù)算必須滿足以下約束條件：第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六三、消費(fèi)者效用跨時(shí)序分析個(gè)人的消費(fèi)行為可以表示為：第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六三、消費(fèi)者效用跨時(shí)序分析當(dāng)上式取等號(hào)時(shí)（假設(shè)個(gè)人的壽命為2）。個(gè)人效用最大化行為必須滿足一階條件（EulerEquilibrium)：第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融確定性過程隨機(jī)過程可微分不可微分第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融確定性函數(shù)第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融布朗運(yùn)動(dòng)第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融從概率論到測度論從正態(tài)分布到布朗運(yùn)動(dòng)計(jì)算

隨機(jī)計(jì)算

微分

Ito微分積分

Ito積分概率統(tǒng)計(jì)

隨機(jī)過程

密度分布

測度概率對(duì)應(yīng)概率第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融布朗運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、伊藤公式馬爾珂夫鏈和鞅過程（Martingale）第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融布萊克—斯克爾斯期權(quán)定價(jià)公式從二叉樹模型到布萊克—斯克爾斯公式無套利均衡模型條件期望模型第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融二叉樹模型美式期權(quán)與自由邊界問題二叉樹模型BinomialmodelVSBlack-Scholesmodel第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融蒙特卡洛模擬

有限差分法

Idea:Idea:產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)泰勒公式近似地表示微分項(xiàng)

第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融蒙特卡洛模擬(MonteCarloSimulation)第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融蒙特卡洛模擬(Monte-CarloSimulation)蒙特卡洛模擬的算法及其實(shí)現(xiàn)MonteCarloVSBlack-Scholesmodel蒙特卡洛減方差技巧的算法及其實(shí)現(xiàn)基于LSM的美式期權(quán)定價(jià)方法第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六四、計(jì)算機(jī)金融有限差分法

顯性法：Crank-Nicholson算法

隱性法：AlternativeDirectionImplicitScheme算法第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六五、集合1.集合的運(yùn)算2.集合及其擴(kuò)展序列、映射、數(shù)域第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六六、矩陣及其運(yùn)算1.矩陣及其運(yùn)算矩陣的運(yùn)算矩陣的秩、矩陣的逆、正定矩陣第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六七、概率無條件概率與條件概率聯(lián)合概率第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六七、概率期望與方差第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六七、概率協(xié)相關(guān)與相關(guān)系數(shù)第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六七、概率練習(xí)1.如果硬幣的正面=2，反面=10，同時(shí)擲兩個(gè)硬幣，硬幣點(diǎn)數(shù)的和的方差是多少？練習(xí)2.未來的經(jīng)濟(jì)可以分為三種狀態(tài)，以下是A、B兩支股票的收益率，計(jì)算它們的協(xié)方差。事件事件發(fā)生的概率經(jīng)濟(jì)膨脹0.30.200.30正常0.50.120.10經(jīng)濟(jì)衰退0.20.050.00第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六七、概率貝葉斯公式第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六七、概率已知：P(Iu)=0.3,P(Id)=0.7,P(Ru|Iu)=0.6,P(Ru|Id)=0.4。求P（Iu|Ru)IIuIdRuRdRuRd第48頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六八、概率分布二項(xiàng)式分布期望值與方差、應(yīng)用二項(xiàng)式給期權(quán)定