2023考研數(shù)學(xué)水平測試之線性代數(shù)測試〔根底試題〕〔含詳細答案〕一、單項選擇題(本大題共10小題，每題2分，共20分)1．3階行列式=中元素的代數(shù)余了式=〔〕A．-2 B．-1C．1 D．22．設(shè)矩陣A=，B=，P1=，P2=，那么必有〔〕A．P1P2A=B B．P2P1A=BC．AP1P2=B D．AP2P1=B3．設(shè)n階可逆矩陣A、B、C滿足ABC=E，那么B-1=〔〕A．A-1C-1 B．C-1A-1C．AC D．CA4．設(shè)3階矩陣A=，那么A2的秩為〔〕A．0 B．1C．2 D．35．設(shè)是一個4維向量組，假設(shè)可以表為的線性組合，且表示法惟一，那么向量組的秩為〔〕A．1 B．2C．3 D．46．設(shè)向量組線性相關(guān)，那么向量組中〔〕A．必有一個向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合C．必有三個向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個向量都可以表為其余向量的線性組合7．設(shè)是齊次線性方程組Ax=0的一個根底解系，那么以下解向量組中，可以作為該方程組根底解系的是〔〕A． B．C． D．8．假設(shè)2階矩陣A相似于矩陣B=，E為2階單位矩陣，那么與矩陣E-A相似的矩陣是〔〕A． B．C． D．9．設(shè)實對稱矩陣A=，那么3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的標(biāo)準(zhǔn)形為〔〕A． B．C． D．10．假設(shè)3階實對稱矩陣A=〔〕是正定矩陣，那么A的正慣性指數(shù)為〔〕A．0 B．1C．2 D．3二、填空題(本大題共10小題，每題2分，共20分)11．3階行列式=6，那么=_______________.12．設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，那么D3=__________________.13．設(shè)A=，那么A2-2A+E=____________________.14.設(shè)A為2階矩陣，將A的第2列的〔-2〕倍加到第1列得到矩陣B.假設(shè)B=，那么A=______________.15.設(shè)3階矩陣A=，那么A-1=_________________.16.設(shè)向量組=〔a,1,1〕,=〔1,-2,1〕,=〔1,1,-2〕線性相關(guān)，那么數(shù)a=________.17.x1=(1,0,-1)T,x2=(3,4,5)T是3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個解向量，那么對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0有一個非零解向量=__________________.18.設(shè)2階實對稱矩陣A的特征值為1，2，它們對應(yīng)的特征向量分別為=(1，1)T,=(1，k)T，那么數(shù)k=_____________________.19.3階矩陣A的特征值為0，-2，3，且矩陣B與A相似，那么|B+E|=_________.20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩陣A=_____________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21.3階行列式=中元素的代數(shù)余子式A12=8，求元素的代數(shù)余子式A21的值.22.矩陣A，B=,矩陣X滿足AX+B=X，求X.23.求向量組=(1,1,1,3)T，=(-1,-3,5,1)T，=(3,2,-1,4)T，=(-2,-6,10,2)T的一個極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表出.24.設(shè)3元齊次線性方程組，〔1〕確定當(dāng)a為何值時，方程組有非零解；〔2〕當(dāng)方程組有非零解時，求出它的根底解系和全部解.25.設(shè)矩陣B=，〔1〕判定B是否可與對角矩陣相似，說明理由；〔2〕假設(shè)B可與對角矩陣相似，求對角矩陣和可逆矩陣P，使P-1BP=26.設(shè)3元二次型,求正交變換x=Py,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題〔此題6分〕27.A是n階矩陣，且滿足方程A2+2A=0,證明A的特征值只能是0或-2.參考答案一、單項選擇題〔本大題共10小題，每題2分，共20分}1.C2.A3.D4.B5.C6.A7.B8.C9.D10.D1.【解析】2．【解析】此題考查的是矩陣的初等變換，是初等矩陣．表示矩陣作了一次l、2兩行對換，故．令，那么P也是一個初等矩陣，PA就表示A作了一次1、2兩行的對換，且將對換后的矩陣的第2行加到第1行得到的新矩陣，即，故此題正確選項為A．3．【解析】由于A.B、C均為可逆矩陣，且ABC=E，故，即，所以4．【解析】故的秩為1．7．【解析】選項A、C、D都線性相關(guān)，如A:D: 故此題選B．9．【解析】由實對稱矩陣A可知：故二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕11． 12．-4 13． 14. 15． 16．-2 17．〔或官柏非震倍數(shù)〕18．-1 19．-4 20．11.【解析】因為故12.【解析】15．【解析】故16.【解析】由于向量組線性相關(guān)，令那么知a=-2．18.【解析】因為A是實對稱矩陣，屬于不同特征值的特征向量相互正交，所以1×1+1×k-0故k=-1.19.【解析】因A～B，故A、B的特征值相同，那么B+E的特征值為1，-1，4，那么｜B+E｜=1×〔-1〕×4=-4．三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕20．解〔3分〕故z=-2．〔5分〕〔9分〕22．解由AX+B=X，得(E-A)X=B．〔2分〕又可逆，且〔6分〕所以〔9分〕23．解〔3分〕〔6分〕從而為一個極大無關(guān)組〔極大無關(guān)組不唯一〕〔8分〕且24．解(1)由方程組的系數(shù)行列式得a=-2或a=l，〔2分〕此時r(A)=2或r(A)=1，均小于3，方程組有非零解．〔4分〕(2)當(dāng)a=-2時，得到根底解系〔5分〕此時全部解為〔A為任意常數(shù)〕；〔6分〕當(dāng)a=l時，得到根底解系此時全部解為為任意常數(shù)〕．25．解(1)由得到B的特征值為對于，由于(E-B)x=0有兩個線性無關(guān)解，故B有3個線性無關(guān)的特征向量，從而a可與對角矩陣相似．(2)對于，兩個線性無關(guān)的特征向量為對于，對應(yīng)的特征向量取，那么P可逆，