極射赤平投影CAD圖解一、序言

巖質(zhì)邊邊坡穩(wěn)定性分分析方法有許許多，但無(wú)論論是平面滑動(dòng)動(dòng)的單一楔形形斷面滑體、單單滑塊和多滑滑塊分析法，還還是楔體滑動(dòng)動(dòng)的仿平面分分析法、楔體體分割法、立立體分析法、霍霍克分析法以以及《巖土工工程勘察規(guī)范范》（GB500021－94）推薦法等等，在計(jì)算邊邊坡穩(wěn)定性系系數(shù)時(shí)，需要要知道滑體控控制平面（包包括結(jié)構(gòu)面和和坡面、坡頂頂面）或直線線（包括平面面的法線）的的地質(zhì)產(chǎn)狀，以以及平面與平平面、直線與與直線、直線線與平面間夾夾角等。其中中平面和直線線的產(chǎn)狀可以以通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)測(cè)量獲取，除除此之外的幾幾何參數(shù)，在在沒(méi)有發(fā)明極極射赤平投影影之前，都是是用計(jì)算法求求得，不僅它它們的計(jì)算公公式復(fù)雜，而而且計(jì)算過(guò)程程繁瑣，也很很容易出錯(cuò)。如如果采用極射射赤平投影求求解邊坡穩(wěn)定定性分析所需需的幾何參數(shù)數(shù)，那就可以以簡(jiǎn)化這些幾幾何參數(shù)的計(jì)計(jì)算過(guò)程，而而且一般情況況下只需要在在現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量出出各個(gè)控制平平面的地質(zhì)產(chǎn)產(chǎn)狀即可。二、極射赤平投投影的基本原原理（一）投影要素素

極射赤赤平投影（以以下簡(jiǎn)稱赤平平投影）以圓圓球作為投影影工具，其進(jìn)進(jìn)行投影的各各個(gè)組成部分分稱為投影要要素，包括：：

1.投投影球（也稱稱投射球）：：以任意長(zhǎng)為為半徑的球。

2.球球面：投影球球的表面稱為為球面。

3.赤赤平面（也稱稱赤平投影面面）：過(guò)投影影球球心的水水平面。

4.大大圓：通過(guò)球球心的平面與與球面相交而而成的圓，統(tǒng)統(tǒng)稱為大圓（如如圖一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大大圓的直徑相相等，且都等等于投影球的的直徑。當(dāng)平平面直立時(shí)，與與球面相交成成的大圓稱為為直立大圓（如如圖一（a）中PSFN）；當(dāng)平面面水平時(shí)，與與球面相交成成的大圓稱為為赤平大圓或或基圓（如圖圖一（a）中NESW）；當(dāng)平面面傾斜時(shí)，與與球面相交成成的大圓稱為為傾斜大圓（如如圖一（a）中ASBN）。

5.小小圓：不過(guò)球球心的平面與與球面相而成成的圓，統(tǒng)稱稱為小圓（如如圖一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。當(dāng)平面面直立時(shí)，與與球面相交成成的小圓稱為為直立小圓（如如圖一（b）中DC）；當(dāng)平面面水平時(shí)，與與球面相交成成的小圓稱為為水平小圓（如如圖一（b）中AB）；當(dāng)平面面傾斜時(shí)，與與球面相交成成的小圓稱為為傾斜小圓（如如圖一（b）中FG或圖一（c）中PACB）。

6.極極射點(diǎn)：投影影球上兩極的的發(fā)射點(diǎn)（如如圖一），分分上極射點(diǎn)（P）和下極射射點(diǎn)（F）。由上極極射點(diǎn)（P）把下半球球的幾何要素素投影到赤平平面上的投影影稱為下半球球投影；由下下極射點(diǎn)（F）把上半球球的幾何要素素投影到赤平平面上的投影稱為上半半球設(shè)影。一一般采用下半半球投影。

7.極極點(diǎn)：通過(guò)球球心的直線與與球面的交點(diǎn)點(diǎn)稱為極點(diǎn)，一一條直線有兩兩個(gè)極點(diǎn)。鉛鉛直線交球面面上、下兩個(gè)個(gè)點(diǎn)（也就是是極射點(diǎn)）；；水平直線交交基圓上兩點(diǎn)點(diǎn)；傾斜直線線交球面上兩兩點(diǎn)（如圖五五中A、B）。（二）平面的赤赤平投影

平面與與球面相交成成大圓或小圓圓，我們把大大圓或小圓上上各點(diǎn)和上極極射點(diǎn)（P）的連線與與赤平面相交交各點(diǎn)連線稱稱為相應(yīng)平面面的赤平投影影。

1.過(guò)過(guò)球心平面的的赤平投影隨隨平面的傾斜斜而變化：傾傾斜平面的赤赤平投影為大大圓弧（如圖圖二中的NB′S）；直立平平面的赤平投投影是基圓的的一條直徑（如如圖一（a）中的NS）；水平面面的赤平投影影就是基圓（如如圖一中的NESW）。

2.不不過(guò)球心平面面的赤平投影影也隨平面傾傾斜而變化：：直立平面的的赤平投影是是基圓內(nèi)的一一條圓弧（如如圖三KD′H）；傾斜平平面的赤平投投影有以下三三種情況：⑴當(dāng)傾斜小圓圓在赤平面以以下時(shí)，投影影是一個(gè)圓，且且全部在基圓圓之內(nèi)（如圖圖三FG）；⑵當(dāng)傾斜小圓圓全部位于上上半球時(shí)，投投影也是一個(gè)個(gè)圓，但全部部在基圓之外外；⑶當(dāng)傾斜小圓圓一部分在上上半球，另一一部分在下半半球時(shí)，赤平平面以下部分分的投影在基基圓之內(nèi)，以以上部分的投投影在基圓之之外。當(dāng)球面面小圓通過(guò)上上極射點(diǎn)時(shí)，其其赤平投影為為一條直線（如如圖一（c）中PACB的投影為AB）；水平小小圓的赤平投投影在基圓內(nèi)內(nèi)（如圖四中中A′B′），A′B′是一個(gè)與基基圓同心的圓圓。（三）直線的赤赤平投影

直線AAB的投影點(diǎn)就就是其極點(diǎn)A、B和極射點(diǎn)P的連線與赤赤平面的交點(diǎn)點(diǎn)A′、B′。鉛直線的的投影點(diǎn)位于于基圓中心；；過(guò)球心的水水平直線的投投影點(diǎn)就是基基圓上兩個(gè)極極點(diǎn)，兩點(diǎn)間間距離等于基基圓直徑；傾傾斜直線的投投影點(diǎn)有兩個(gè)個(gè)，一點(diǎn)在基基圓內(nèi)，另一一個(gè)在基圓外外，兩點(diǎn)呈對(duì)對(duì)蹼點(diǎn)，在赤赤平投影圖上上兩點(diǎn)的角距距相差180°（如圖五）。（四）吳氏網(wǎng)及及其CAD制作

目前廣廣泛使用的極極射赤平投影影有等角距投投影網(wǎng)和等面面積投影網(wǎng)。等等角距投影網(wǎng)網(wǎng)是由吳爾福福發(fā)明的，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱吳氏網(wǎng)；；等面積投影影網(wǎng)是由施密密特發(fā)明的，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱施氏網(wǎng)。兩兩者的主要區(qū)區(qū)別在于：球球面上大小相相等的小圓在在吳氏網(wǎng)上的的投影仍然是是圓，投影圓圓的直徑角距距相等，但由由于在赤平面面上所處位置置不同，投影影圓的大小不不等，其直徑徑隨著投影圓圓圓心與基圓圓圓心的距離離增大而增大大。而在施氏氏網(wǎng)上的投影影則呈四級(jí)曲曲線，不成圓圓，但四級(jí)曲曲線所構(gòu)成的的圖形面積是是相等的，且且等于球面小小圓面積的一一半。使用吳吳氏網(wǎng)求解面面、線間的角角距關(guān)系時(shí)，旋旋轉(zhuǎn)操作顯示示其優(yōu)越性，不不僅作圖方便便，而且較為為精確。而使使用施氏網(wǎng)時(shí)時(shí)，可以作出出面、線的極極點(diǎn)圖或等密密度圖，能夠夠真實(shí)反映球球面上極點(diǎn)分分布的疏密，有有助于對(duì)面、線線群進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)分析，但其其存在作圖麻麻煩等缺點(diǎn)。

1.吳吳氏網(wǎng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)及成圖原理理

吳氏網(wǎng)網(wǎng)（圖六）由由基圓、南北北經(jīng)向大圓弧?。∟GS）、東西緯緯向小圓?。ˋCB）等經(jīng)緯線線組成。標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)吳氏網(wǎng)的基基圓直徑為20cmm，經(jīng)、緯線線間的角距為為2°。

(11)基圓，由指指北方向（N）為0°,順時(shí)針?lè)较蛳蚩坛?60°，這些刻度度起著量度方方位角的作用用；

(22)經(jīng)向大圓弧弧是由一系列列通過(guò)球心，走走向南北，分分別向西和向向東傾斜，傾傾角由0°到90°（角距間隔隔為2°）的許多赤赤平投影大圓圓弧所組成。這這些大圓弧與與東西直徑線線EW的交點(diǎn)到端端點(diǎn)（E點(diǎn)和W點(diǎn)）的距離離分別代表各各平面的傾角角。如圖六中中GW表示的大圓圓弧NGS所代表的平平面向西傾斜斜，傾角為30°。

(33)緯向線是由由一系列走向向東西的直立立平面的赤平平投影小圓弧弧所組成。這這些小圓弧離離基圓的圓心心O愈遠(yuǎn)，其所所代表的球面面小圓的半徑徑角距就愈小小，反之離圓圓心O愈近，則半半徑角距就愈愈大。相鄰緯緯向小圓弧間間的角距也是是2°，它分割南南北直徑線的的距離，與經(jīng)經(jīng)向大圓弧分分割東西徑線線的距離是相相等的。如圖圖六所示，ED＝SH＝WG＝NF，角距都為30°。

2..吳氏網(wǎng)的CAD圖解

繪制制吳氏網(wǎng)，其其實(shí)質(zhì)就是在在赤平大圓上上畫(huà)出經(jīng)向大大圓弧和緯向向小圓弧。那那么這些大圓圓弧和小圓弧弧都是怎樣是是繪制出來(lái)的的呢？在沒(méi)有有CAD制圖系統(tǒng)軟軟件以前，人人們通過(guò)平面面幾何關(guān)系利利用圓規(guī)、直直尺等原始工工具繪制，其其繪制過(guò)程很很復(fù)雜。而在在CAD制圖系統(tǒng)軟軟件下，繪制制大圓弧和小小圓弧是非常常簡(jiǎn)的，下面面就介紹它們們的原理和繪繪制過(guò)程。

(11)繪制大圓弧弧的原理與步步驟

要繪繪制大圓弧，應(yīng)應(yīng)至少知道大大圓弧上的三三個(gè)點(diǎn)N、S、B′（如圖二所所示），其中中N、S點(diǎn)是每條大大圓弧都必須須經(jīng)過(guò)的，是是已知點(diǎn)。現(xiàn)現(xiàn)在只要能確確定經(jīng)向大圓圓弧與東西徑徑線EW的交點(diǎn)B′，問(wèn)題就迎迎刃而解。

①計(jì)算OB′長(zhǎng)度

根據(jù)據(jù)傾斜平面的的傾角、基圓圓的直徑，可可按下式計(jì)算算點(diǎn)O與點(diǎn)B′之間的距離（公式一）式中R——基基圓的半徑；；α——大圓弧所所代表平面的的傾角（°）。

②以以基圓的圓心心為圓心，OB′長(zhǎng)為半徑畫(huà)畫(huà)一個(gè)圓，該該圓與基圓的的東西徑向線線EW交于B′點(diǎn)。

③過(guò)過(guò)N、S、B′三個(gè)點(diǎn)畫(huà)一一個(gè)圓，并剪剪掉基圓外部部分，大圓弧弧也就繪制完完成。

(22)繪制小圓弧弧的原理與步步驟

要繪繪制半徑角距距為的小圓弧，同同樣也應(yīng)至少少知道小圓弧弧上的三個(gè)點(diǎn)點(diǎn)（如圖六所所示的A、C、B三個(gè)點(diǎn)）。根根據(jù)吳氏網(wǎng)的的結(jié)構(gòu)與原理理，可以通過(guò)過(guò)CAD制圖確定A、C、B三個(gè)點(diǎn)的位位置。

①確確定點(diǎn)C，首先用公公式一計(jì)算點(diǎn)點(diǎn)O與點(diǎn)C間距離，但但其中為小圓弧的的半徑角距；；然后以基圓圓的圓心為圓圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)畫(huà)圓，該圓與與基圓的南北北徑向線NS交于C點(diǎn)。

②以以基圓的圓心心為基點(diǎn)，將將南北徑線ON分別逆時(shí)針針和順時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)角度，得兩條直直線，分別與與基圓交于A、B點(diǎn)

。

③過(guò)過(guò)A、C、B三個(gè)點(diǎn)畫(huà)一一個(gè)圓，并剪剪掉基圓外部部分，小圓弧弧也就繪制完完成。三、赤平投影網(wǎng)網(wǎng)CAD圖解的應(yīng)用用

利用用傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)吳吳氏網(wǎng)對(duì)平面面、直線進(jìn)行行投影時(shí)，一一般步驟是：：把透明紙（或或透明膠片等等）蒙在吳氏氏網(wǎng)上，畫(huà)基基圓及“十”字網(wǎng)心，并并用針固定于于網(wǎng)心上，使使透明紙能夠夠繞網(wǎng)心旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)。然后在透透明紙上標(biāo)出出E、S、W、N，以正北（N）為0°，順時(shí)針數(shù)數(shù)到360°。東西直徑EW確定傾角，一一般是圓周為為0°，至圓心為90°。這樣做具具有以下缺點(diǎn)點(diǎn)：一是較麻麻煩，二是當(dāng)當(dāng)旋轉(zhuǎn)透明紙紙時(shí)，容易從從針孔處發(fā)生生破裂而移位位；三就是準(zhǔn)準(zhǔn)確性不高；；四是效率低低。如果用CAD制圖，則可可避免上述不不足，且使作作圖更簡(jiǎn)化，用用不著吳氏網(wǎng)網(wǎng)中的那么多多的經(jīng)、緯線線，只需要畫(huà)畫(huà)出基圓及其其南北徑線和和東西徑線。

1..平面赤平投投影的CAD圖解（如圖圖七）

例11：一平面產(chǎn)產(chǎn)狀126°∠30°，繪制其赤赤平投影圖。

(11)繪制一直徑徑為20cm的基圓，同同時(shí)畫(huà)出鉛直直和水平兩條條直徑，并標(biāo)標(biāo)出E、S、W、N。后面的例例子均需要這這一步，畫(huà)法法與之相同，所所以不再重復(fù)復(fù)。

(22)平面的傾向向是126°，則其走向向?yàn)?6°。將南北徑徑線繞基圓的的圓心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)36°到達(dá)AB位置，與基基圓交于A、B兩點(diǎn)，則AB就是平面的的走向線。

(33)以基圓的圓圓心O為基點(diǎn)，將將射線ON順時(shí)針旋轉(zhuǎn)126°到達(dá)OD位置，與基基圓相交于點(diǎn)點(diǎn)D，則OD即為該平面面的傾向線。

(44)用公式一計(jì)計(jì)算線段OC長(zhǎng)度。以基基圓的圓心O為圓心，OC為半徑畫(huà)圓圓，交OD于C點(diǎn)。

(55)采用三點(diǎn)法法，即過(guò)A、C、B三點(diǎn)畫(huà)圓，并并切掉基圓外外部分，所得得大圓弧ACB即為該平面面的赤平投影影。

2..直線赤平投投影的CAD圖解（如圖圖八）

例22：一直線產(chǎn)產(chǎn)狀330°∠40°，繪制其赤赤平投影圖。

(11)將ON繞圓心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)330°后到達(dá)OA位置，與基基圓交于點(diǎn)A，則OA即為該直線線的傾伏向。

(22)用公式一計(jì)計(jì)算OA′值。以基圓圓的圓心O為圓心，OA′為半徑畫(huà)圓圓，交OA于A′點(diǎn)，則點(diǎn)A′即為該直線線的赤平投影影。

3..平面法線赤赤平投影的CAD圖解（如圖圖九）

例33：一平面產(chǎn)產(chǎn)狀為105°∠40°，繪制其法法線的赤平投投影。

(11)按例1所述方法，繪繪制產(chǎn)狀為105°∠40°平面的赤平平投影大圓弧弧NB′S。

(22)平面法線的的傾角與平面面的傾角之和和等于90°，因此平面面法線的傾角角為50°。用公式一一計(jì)算OA′。以基圓的的圓心O為圓心，OA′為半徑畫(huà)圓圓，交B′O的延長(zhǎng)線于A′點(diǎn)，則A′點(diǎn)為該平面面法線的赤面面投影，也稱稱其為平面的的極點(diǎn)。

由于于平面法線傾傾向與平面傾傾向相反，相相差180°，平面法線線的傾角與平平面的傾角之之和等于90°，因此也可可根據(jù)平面法法線產(chǎn)狀與平平面產(chǎn)狀間的的這種關(guān)系，首首先計(jì)算法線線的產(chǎn)狀為285°∠50°，然后再按按例2方法繪制法法線的赤平投投影。

4..相交兩條直直線所構(gòu)成平平面的產(chǎn)狀

例44：已知兩直直線180°∠20°和90°∠32.3°相交，用赤赤平投影法求求解這兩條直直線所構(gòu)成平平面的產(chǎn)狀（如如圖十（a）、（b））。

(11)為很好地利利用CAD制圖解決這這個(gè)問(wèn)題，引引入兩條直線線傾角與平面面傾角間的關(guān)關(guān)系式：

taan2βsin2γ=tan2α1+tanα2-2taanα1tanα2cosγ（公式二）式中β——兩條條相交直線所所構(gòu)成平面的的傾角（°）；α1、α2———分別為兩條條直線的傾伏伏角（°）；γ——兩條直線線傾向夾角（°）。用公式二計(jì)算兩兩條直線所構(gòu)構(gòu)成平面的傾傾角為β=36.113°。

(22)確定投影大大圓弧的圓心心O′，點(diǎn)O′應(yīng)在線段C′F′的垂直平分分線上。要確確定點(diǎn)O′的位置，需需要用下列公公式計(jì)算平面面的赤平投影影大圓弧的半半徑。計(jì)算出赤赤平投影大圓圓弧的半徑后，再以點(diǎn)C′或者點(diǎn)F′為圓心畫(huà)圓圓，與線段C′F′的垂直平分分線相交于點(diǎn)點(diǎn)O′。（公式三三）式中R’——赤赤平投影大圓圓弧的半徑;R——基圓的半半徑。

(33)確定平面的的走向AB：以O(shè)′為圓心，以為半徑畫(huà)圓圓，與基圓相相交于兩點(diǎn)A、B，則AB即為所求平平面的走向，為30°。由此算出該平面的傾向?yàn)?20°。因此所求平面產(chǎn)產(chǎn)狀為120°∠36°。此外，兩條直線線所構(gòu)所平面面的傾向，也也可由下式計(jì)計(jì)算確定：（公公式四）式中——平面傾傾向與直線1傾向之差；；其余符號(hào)意義同同公式二。

5．．相交兩條直直線的夾角及及其角平分線線

例55：用赤平投投影法求解例例4兩條直線的的夾角及其角角平分線（圖圖十（c））。

(11)按例4作法，確定定兩條直線所所構(gòu)成平面的的赤平投影，即即大圓弧AF′C′B，其產(chǎn)狀約約為120°∠36°。

（22）量取大圓圓弧上C′與F′間的角距為54°，即相交兩兩條直線的夾夾角為54°。該圓弧C′F′段的角距平平分點(diǎn)G′（27°）就是相交交兩條直線夾夾角平分線的的赤平投影，由由此可以確定定兩條相交直直線夾角平分分線的產(chǎn)狀為為139.667°∠34.511°。除上述作圖法外外，還可用下下式計(jì)算兩條條相交直線的的夾角：（公式五）式中——兩條相相交直線的夾夾角（°）；其余符號(hào)的意義義同前。

6..平面上一直直線的傾伏和和側(cè)伏（如圖圖十一）

例66：已知平面面產(chǎn)狀180°∠α（α＝36°），平面上上一條直線AC的側(cè)伏向E、側(cè)伏角β（β=44°，是指該平平面走向線與與該直線所夾夾的銳角），用用赤平投影法法求解該直線線的傾伏向和和傾伏角。

（11）按例1做法，繪制制平面的赤平平投影大圓弧弧ED″W。

（2）以EW為南北向徑徑線（假定），作作半徑角距等等于β（β=44°)的緯向小圓圓弧GD″K（應(yīng)為兩條條，另一條未未畫(huà)出），與與平面的赤平平投影大圓弧弧ED″W相交于C″點(diǎn)。連接點(diǎn)O與點(diǎn)C″，并延長(zhǎng)，與與基圓相交于于C′點(diǎn)。

（33）點(diǎn)C″即所求直線線的赤平投影影。圖上量得得線段OC″的長(zhǎng)度，然然后用公式一一求得直線的的傾伏角24.711°。

（44）點(diǎn)C′對(duì)應(yīng)的角度度為127.664°，即為所求求直線的傾伏伏向。因此該該直線的產(chǎn)狀狀為127.664°∠24.711°。平面上一條直線線的傾伏或側(cè)側(cè)伏，可以相相互換算，除除采用上面的的CAD制圖方法外，也可可用下列公式式計(jì)算：（公式六）（公式七）式中——平面傾傾角（°）；——平面上直線線的側(cè)伏角（°）；——直線的傾伏伏角（°）；——平面傾向與與直線傾向之之差（°）。

7..兩個(gè)平面交交線的產(chǎn)狀（如如圖十二（a））

例77：已知兩個(gè)個(gè)平面70°∠40°和290°∠30°，用赤平投投影法求解這這兩個(gè)平面交交線產(chǎn)狀。

（11）按例1做法，分別別繪制出兩個(gè)個(gè)平面的赤面面投影大圓弧弧APB和CPD，兩條大圓圓弧相交于P點(diǎn)，該點(diǎn)即即為兩個(gè)平面面交線的赤平平投影。

（22）連結(jié)OP，并量得OP的長(zhǎng)度。然然后用公式一一求得交線的的傾伏角為β=13.114°；OP所在徑線方方向即為交線線的傾伏向，量量得交線的傾傾伏向?yàn)?65.115°。即兩個(gè)平平面交線產(chǎn)狀狀為365.115°∠13.144°。

8．．兩個(gè)平面的的夾角及其夾夾角的等分面面（如圖十二二（b））

例88：已知條件件同例7，用赤平投投影法求解兩兩個(gè)平面的夾夾角及其夾角角的等分面。

（11）繪制兩個(gè)個(gè)平面的公垂垂面，由于以以點(diǎn)P為投影的直直線就是公垂垂面的法線，因因此公垂面的的產(chǎn)狀為176.115°∠76.866°，按例1做法繪制公公垂面的赤平平投影大圓弧弧FIHG，與兩個(gè)已已知平面的赤赤平投影大圓圓弧分別相交交于點(diǎn)H、點(diǎn)I。這兩點(diǎn)所所代表的直線線產(chǎn)狀分為：：直線H為96..27°∠36.966°；直線I為259.448°∠26.444°。

（22）點(diǎn)H、點(diǎn)I所代表的兩兩條直線的夾夾角就是兩個(gè)個(gè)平面的夾角角，可根據(jù)兩兩條直線的產(chǎn)產(chǎn)狀，由公式式五計(jì)算求得得，結(jié)果為114.666°。也可先用用公式六分別別求出兩條直直線在公垂面面上的側(cè)伏角角，分別為：：直線H的側(cè)伏角為38.1228°；直線I的側(cè)伏角為27.2009°。

則兩兩條直線的夾夾角為180°－（38.1228°＋27.2009°）＝114.666°。

（33）公垂面的的投影大圓弧弧上點(diǎn)H、點(diǎn)I間弧段的中中點(diǎn)K在兩個(gè)平面面的等分面的的投影大圓弧弧上，投影點(diǎn)點(diǎn)K的直線產(chǎn)狀204.774°∠75.111°。點(diǎn)P也在等分面面的投影大圓圓弧上，其產(chǎn)產(chǎn)狀也已求得得（例7）。已知投投影大圓弧上上的兩個(gè)點(diǎn)，就就可按例4做法計(jì)算出出等分平面的的傾角和其赤赤平投影大圓圓弧的半徑，并并繪制出經(jīng)過(guò)過(guò)這兩點(diǎn)的大大圓弧QKM。該大圓弧弧對(duì)應(yīng)的平面面即為已知兩兩個(gè)平面夾角角的等分面，其其產(chǎn)狀為267.776°∠83.122°。

9..一條直線與與一個(gè)平面的的夾角（如圖圖十三）

例99：一平面產(chǎn)產(chǎn)狀120°∠50°，一直線產(chǎn)產(chǎn)狀320°∠20°，用赤平投投影法求解直直線與平面的的夾角。

（11）按例1做法繪制已已知平面的赤赤平投影大圓圓弧ADB。

（22）按例2做法繪制已已知直線的赤赤平投影，即即投影點(diǎn)C。

（33）按例3做法繪制已已知平面法線線的投影極點(diǎn)點(diǎn)P。

（44）按例4做法繪制經(jīng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、P的大圓弧CPD，其所代表表的平面與已已知平面垂直直，其產(chǎn)狀為為244.006°∠56.288°。

用公公式六分別求求出直線C和直線P在平面CPD上的側(cè)伏角角，直線C的側(cè)伏角為24.2880°，直線P的側(cè)伏角為50.6006°，也就是平平面法線與已已知直線的夾夾角為50.6006°－24.2880°＝26.333°，因此已知知直線與平面面的夾角為90.000°－26.333°＝63.677°。四、用赤平投影影求解邊坡穩(wěn)穩(wěn)定問(wèn)題

在巖巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定定性分析與計(jì)計(jì)算中，赤平平投影可用來(lái)來(lái)初步判定邊邊坡穩(wěn)定性，求求解邊坡穩(wěn)定定性系數(shù)計(jì)算算所需的幾何何參數(shù)。

（一一）邊坡穩(wěn)定定性初步判別別

圖十十四所示的邊邊坡楔體，假假定只有摩擦擦力抵抗滑動(dòng)動(dòng)，且兩個(gè)結(jié)結(jié)構(gòu)面的摩擦擦角相同，且且都等于，則則楔體可能滑滑動(dòng)的條件是是兩個(gè)結(jié)構(gòu)面面交線的赤平平投影，即它它的投影點(diǎn)應(yīng)應(yīng)落在坡面大大圓弧與摩擦擦圓所圍成的的范圍內(nèi)（圖圖十四(b)中陰影部分分），即（其其中為在正交交交線視圖上的的坡面傾角；；為結(jié)構(gòu)面交交線傾角；