網(wǎng)絡圖論基礎(chǔ)第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日本章重點關(guān)聯(lián)矩陣A，基本回路矩陣B，基本割集矩陣Q.回路，樹，割集.矩陣形式的KCL，KVL.節(jié)點法列寫電路方程.返回目錄第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日網(wǎng)絡圖論是數(shù)學的一個分支，是應用圖論研究網(wǎng)絡的幾何結(jié)構(gòu)及其基本性質(zhì)的理論。研究對象實際問題中抽象出來的線段和頂點組成的“圖(graph)”。電路中的應用應用圖論的基本概念建立便于計算機識別的列寫電路方程的系統(tǒng)方法。17.1網(wǎng)絡的圖一、網(wǎng)絡圖論第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日網(wǎng)絡拓撲（topologicalgraph）:泛指線段和點之間的連接性質(zhì)。i1i2i3i1i2i3抽象i1i2i3+-二端元件支路抽象電路圖抽象圖二、網(wǎng)絡的圖第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日R2CLuSR1+-+-抽象抽象電路圖抽象圖第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日（1）圖G={支路，節(jié)點}①②１不含自環(huán)允許孤立節(jié)點存在名詞（2）子圖（subgraph）圖G子圖G1子圖G2…第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日（3）路徑：從圖G的一個節(jié)點出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動到達另一節(jié)點所經(jīng)過的支路構(gòu)成路經(jīng)。（4）連通圖（connectedgraph）：圖G的任意兩節(jié)點間至少有一條路經(jīng)時稱圖G為連通圖。有向圖中的方向表示原電路中支路電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向。（5）有向圖（directedgraph）有向圖路經(jīng)不連通連通返回目錄第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日17.2回路樹割集一、回路（loop）（1）連通；（2）每個節(jié)點關(guān)聯(lián)支路數(shù)恰好為2。253回路127589不是回路回路L是連通圖G的一個子圖。具有下述性質(zhì)12345678圖G第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日樹支（treebranch）：屬于樹的支路。連支（link）：屬于G而不屬于T的支路。二、樹（tree）樹T是連通圖G的一個子圖，具有下述性質(zhì)：（1）連通；（2）包含G的所有節(jié)點；（3）不包含回路。樹不唯一16個樹T1樹T2圖G第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日2367樹支數(shù)bt=n-1連支數(shù)bl

=b-(n-1)單連支回路（基本回路（fundamentalloop））：每個回路中只包含一個連支，其余均為樹支。1234567145樹支數(shù)4連支數(shù)3單連支回路獨立回路單連支回路獨立回路以2，3，6，7為樹支，分別加入1，4，5形成三個單連支回路第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日三、割集（cutset）①4321②④③56（1）把Q中全部支路移去，將圖分成兩個分離部分；（2）保留Q中的一條支路，其余都移去，G還是連通的。割集Q是連通圖G中一個支路的集合，具有下述性質(zhì)：例閉合面與支路2，5，4，6相交①1②3④③圖分成兩個分離部分4256移去支路2，5，4，6第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日①4321②④③56Q4:{1,2,5}Q3:{1,4,5}Q2:{2,3,6}①4321②④③56①4321②④③56例Q4:{1,5，3，6}①4321②④③56第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日單樹支割集（基本割集(fundamentalcutset）

每個割集中只包含一個樹支，其余均為連支。①4321②④③56Q3:{1,3,5,6}Q2:{3,4,5}Q1:{2,3,6}①4321②④③56①4321②④③56選1，2，4為樹支的基本割集單樹支割集獨立割集單樹支割集獨立割集第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日{(diào)1，2，3，4}是否組成割集？

三個分離部分{1，2，3，4}

割集4保留4支路，圖不連通的。1234例11234例2{1，2，3，4}

割集第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}基本回路和基本割集關(guān)系對同一個樹（1）由某個樹支bt確定的基本割集應包含那些連支，每個這種連支構(gòu)成的單連支回路中包含該樹支bt。

例由樹支4確定的基本割集包含連支3、5，則連支3、5構(gòu)成的單連支回路中一定包含樹支4。4321561，2，4樹支第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日（2)由某個連支bl確定的單連支回路應包含那些樹支，每個這種樹支所構(gòu)成的基本割集中含有bl。例由連支6確定的單連支回路包含樹支1，2

，則由樹支1，2所構(gòu)成的基本割集中一定含有連支6?；净芈坊靖罴瘂1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}4321561，2，4樹支返回目錄第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日17.3圖的矩陣表示和KCL，KVL方程的矩陣形式一、節(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣（nodeincidencematrix）A用矩陣形式描述節(jié)點和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)aij=1有向支路j

背離

i節(jié)點

-1有向支路j指向

i節(jié)點0i節(jié)點與j支路無關(guān)關(guān)聯(lián)矩陣Aa={aij}nb節(jié)點數(shù)支路數(shù)第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日Aa=1234

123456

支節(jié)

100-101-1-10010

01100-1

00-11-10Aa=1234

123456

支節(jié)

1-100

0-110

001-1-1001

010-1

10-10設④為參考節(jié)點，劃去第4行-1-10010A=123

123456

支節(jié)

100-101

01100-1稱A為降階關(guān)聯(lián)矩陣(reducedincidencematrix)(n-1)b

，表征獨立節(jié)點與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)645321①②④③按列列寫按行列寫各行不獨立第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日支路電壓設支路電流節(jié)點電壓矩陣形式的KCL第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日矩陣形式的KCLAi=-1-10010

100-101

01100-1654321iiiiiiAi=0645321①②④③第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日矩陣形式的KVL第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、基本回路矩陣（fundamentalloopmatrix）B（2）支路排列順序為先樹(連)支后連(樹)支。1支路j與回路i關(guān)聯(lián)，方向一致-1支路j與回路i關(guān)聯(lián)，方向相反0支路j不在回路i中bij=約定：（1）回路電流的參考方向取連支電流方向。用矩陣形式描述基本回路和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)B={bij}lb基本回路數(shù)支路數(shù)第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日選4、5、6為樹支，連支為1、2、3。123B=456123支路回路1-101001-11010=[Bt1]設矩陣形式的KVL01-1001BtBlBu=0123

654第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日Bu=0可寫成另一種形式Btut+ul=0ul=-

Btut用樹支電壓表示連支電壓。連支電壓樹支電壓第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日B=[Bt

1]用連支電流表示樹支電流。BT

il=i矩陣形式的KCLKCL的另一種形式123

654第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日三、基本割集矩陣（fundamentalcutsetmatrix）Q約定：

（1）割集方向與樹支方向相同。（2）支路排列順序先樹(連)支,后連(樹)支。qij=1j支路與割集i方向一致-1j支路與割集i方向相反0j支路不在割集i中用矩陣形式描述基本割集和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)Q={qij}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù)第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}設矩陣形式的KCLQ=456123支路割集Q1Q2Q3100-1-10

01011-1

0010-11QlQtQi=0選4、5、6為樹支，連支為1、2、3。123

654第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日用回路矩陣表示時用連支電流表示樹支電流矩陣形式的KCL的另一種形式Qi=0可寫成可見，回路矩陣和割集矩陣有的關(guān)系。第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日矩陣形式的KVL用樹支電壓表示連支電壓。QTut=uKVL的另一種寫法123

654第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日QQi=0QTut=u小結(jié)：ul=-

BtutABAi=0BTil

=iKCLKVLATun=uBu=0矩陣形式的KCL，KVL返回目錄第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日17.4節(jié)點電壓法KCLA

i=0KVLu=Atun元件特性方程規(guī)定每個支路必須有一個阻抗設標準支路(k支路）為--k支路抽象為k列方程依據(jù)Yk：導納第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日k支路電壓、電流關(guān)系：設Z=diag[Z1Z2

Zb]Y=diag[Y1Y2

Yb]Z=Y-1--第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日支路電流的矩陣方程為b條支路電壓與電流關(guān)系的矩陣形式為第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日由KCL

A

i=0由KVL

u=Atun節(jié)點導納陣（nodeadmittancematrix）得節(jié)點電壓方程由此求得支路電壓和電流可得第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日（1）畫有向圖。（2）5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-例1列寫圖示電路的節(jié)點電壓方程。1①23456②③0解第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日（4）（5）（6）得（3）--5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-1①23456②③0第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日例2列寫圖示電路的節(jié)點電壓方程。+R5R1L2L3C4M12345①②③0第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日[Y]=[Z]-1其中節(jié)點電壓方程（矩陣相乘由程序完成）返回目錄第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日17.5含VCCS電路的節(jié)點分析第一步：先不考慮受控源，b條支路電壓、電流關(guān)系的矩陣形式為+-+-+-標準支路設電路中只存在由阻抗元件電壓控制的電流源。e支路阻抗兩端電壓k支路受控源電流第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二步：考慮受控源，只需在導納矩陣的k行（受控支路）和j列（控制支路）處添上控制系數(shù)±gkj（參照標準支路定正、負）。kj±

gkj代入得將上式改寫為:第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日054132321iS5guauaG5C3G4+-**ML2L1例列寫圖示電路的節(jié)點電壓方程。第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日其中第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日-g節(jié)點方程在Y陣的第3行第4列處添上–g，得到Y(jié)m返回目錄第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日17.6割集法取割集（樹支）電壓為未知變量。割集方程矩陣形式Y(jié)t割集導納陣（cutsetadmittancematrix）元件特性--標準支路割集法和節(jié)點法很相似。在割集法中VCCS最易處理，處理方法與節(jié)點法完全相似。返回目錄第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日17.7回路法取回路電流（連支電流）為未知變量?；芈贩匠叹仃囆问街冯妷号c支路電流的關(guān)系代入上面方程，整理后得--標準支路Zl回路阻抗陣(loopimpedancematrix)回路法中獨立變量是電流，最易處理CCVS，處理含有互感的電路時比節(jié)點法和割集法方便。返回目錄第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日17.8改進節(jié)點法處理對象：電路中含有純電壓源或純壓控電壓源支路。iS2G2G6+-C4G1++-G5++---C7例電路圖12345678圖G支路3、8為純壓控電壓源和純電壓源支路第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日思路：先用直