其次章質(zhì)點組力學(xué)一、基本要求

1）駕馭質(zhì)點組力學(xué)處理問題的方法；2）駕馭質(zhì)點組三大基本定理和守恒定律的內(nèi)容、守恒定律成立的條件及其應(yīng)用；3）駕馭質(zhì)心的概念和質(zhì)心運動定理；4）駕馭柯尼希定理。二、重點和難點綜合運用三大基本定理及其守恒定律。Chapter

2質(zhì)點組動力學(xué)Chapter

2質(zhì)點組動力學(xué)2.1基本概念2.2動量定理與動量守恒定律2.3動量矩定理與動量矩守恒定律2.4動能定理與機械能守恒定律2.5兩體問題2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗坐標(biāo)系2.7變質(zhì)量物體的運動

2.1基本概念一、力學(xué)體系

彼此相互影響的若干質(zhì)點的一個集合，稱為力學(xué)體系,簡稱質(zhì)點組。質(zhì)點組

二、內(nèi)力和外力

外力：作用于組中某一質(zhì)點的力，不來自質(zhì)點組中任何其他質(zhì)點者。內(nèi)力：同一質(zhì)點組中各質(zhì)點之間的相互作用。2）質(zhì)點組中全部內(nèi)力對任確定點（或定軸）的力矩的矢量和恒為零。1）質(zhì)點組中全部內(nèi)力的矢量和恒為零?；拘再|(zhì)：由于內(nèi)力是作用在不同質(zhì)點上，所以不能依據(jù)上述性質(zhì)將內(nèi)力誤會為平衡力系（只有剛體才是這樣），換言之，內(nèi)力可使質(zhì)點間發(fā)生相對位移，從而變更質(zhì)點組中個別質(zhì)點的運動狀態(tài)。注意三、質(zhì)心

——質(zhì)點組的質(zhì)量中心

質(zhì)量連續(xù)分布時：對密度為常數(shù)的物體來講，質(zhì)心和幾何中心重合。如重力加速度

為恒矢量，則質(zhì)心與重心重合。2.2動量定理與動量守恒定律質(zhì)點組的動量定理—質(zhì)點組的動量

質(zhì)點組的動量對時間的微商，等于作用在質(zhì)點組上諸外力之矢量和，或質(zhì)點組動量的微分等于作用在質(zhì)點組上諸外力的元沖量的矢量和。

動量定理的重量形式運用動量定理要留意以下幾點：1）首先必須要劃清質(zhì)點組所受的力哪些屬于內(nèi)力，那些屬于外力，因為只有外力才能干脆變更質(zhì)點組的動量．2)動量是矢量．質(zhì)點組的動量，等于各質(zhì)點動量的矢量和，而不是代數(shù)和．質(zhì)點組在t1—t2的這段時間內(nèi)動量的變更，應(yīng)等于在這段時間的終、初時刻質(zhì)點組動量的矢量差，而不是代數(shù)差。3)運用動量定理時，要留意速度的時刻與所相對的參照系．在所探討的時間間隔內(nèi)，初(或終)時刻的速度，就是指各質(zhì)點在同一時刻相對于同一參照系的速度．這一點尤其在處理相對運動的問題時需特殊留意．這里所指的參照系，是慣性參照系，因為公式是由只在慣性系中才成立的牛頓其次定律推導(dǎo)而來的．質(zhì)心運動定理由質(zhì)心的定義質(zhì)點組質(zhì)心的速度

質(zhì)點組質(zhì)心的運動，就好象一個質(zhì)點的運動一樣，此質(zhì)點的質(zhì)量等于整個質(zhì)點組的質(zhì)量，作用在此質(zhì)點上的力，等于作用在質(zhì)點組上全部諸外力的矢量和，這就是質(zhì)心運動定理。由動量定理得對質(zhì)心運動定理的理解應(yīng)留意以下幾點：1）質(zhì)點組的內(nèi)力不能干脆變更質(zhì)心的動量．當(dāng)質(zhì)點組所受外力的矢量和為零時，質(zhì)心速度等于常矢量．即質(zhì)心靜止、或作勻速直線運動．2）由質(zhì)心運動定理求積分所給出的質(zhì)心運動，是質(zhì)點組總體隨質(zhì)心的平動，而每個質(zhì)點相對質(zhì)心的運動，則不能由公式求出．

4)質(zhì)心運動定理與質(zhì)點組動量定理，可以相互推導(dǎo)得出．但在運用時，可依據(jù)不同的狀況，接受不同的公式．3）當(dāng)質(zhì)點組所受外力的矢量和不為零時，質(zhì)心速度將發(fā)生變更．其加速度與質(zhì)點組總質(zhì)量m相乘等于質(zhì)點組所受外力的矢量和．與牛頓其次定律的公式比較，若把質(zhì)心看做質(zhì)量等于m的質(zhì)點，則處理質(zhì)心運動問題與處理質(zhì)點力學(xué)問題完全一樣．即質(zhì)心相當(dāng)于質(zhì)量等于質(zhì)點組總質(zhì)量m的質(zhì)點，外力的矢量和相當(dāng)于作用在這個質(zhì)點(質(zhì)心)上的合外力．在這樣的狀況下，質(zhì)心的加速度與這質(zhì)點的加速度相同。5)“力的矢量和”與“合力”，是兩個不同的概念，絕不能混淆。一般的質(zhì)點組，只能求力的矢量和，而不能求合力。因為，求合力的一般方法是把力移到某一點之后，運用平面四邊形法則求解。但作用在一般質(zhì)點組上的力，如作用點發(fā)生移動，不僅影響質(zhì)點相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動狀態(tài)的變更，還影響各質(zhì)點間的相對位置。所以，“力的矢量和”不能與“合力”等同。質(zhì)點組的動量守恒律

質(zhì)點組不受外力作用或所受外力的矢量和為零而運動時，質(zhì)點組的動量亦即質(zhì)心的動量都是一個恒矢量。假如作用在質(zhì)點組上的諸外力在某一軸（設(shè)為x軸）上的投影之和為零在這一情形下，雖然質(zhì)點組的動量并不是一個恒矢量，但它在這一坐標(biāo)軸上的投影卻保持為常數(shù)?；蛘哒f，質(zhì)點組質(zhì)心的速度，在這一坐標(biāo)軸上的投影為一常數(shù).

內(nèi)力雖然可使質(zhì)點組中個別質(zhì)點的動量發(fā)生變更，但卻不能變更整個質(zhì)點組的動量，也不能變更質(zhì)點組質(zhì)心的速度。注意例如，沿水平方向放射炮彈的大炮（設(shè)炮身軸線平行x軸），在放射前沿x方向的總動量，當(dāng)炮彈放射后，炮身向后反沖，若不計水平方向上可能有的外力（如地面摩擦力），那么將炮彈與炮身作為質(zhì)點組看待，因為沿x方向無外力作用，則沿x方向總的動量仍舊等于零，炮彈在這個方向上的運動是由這個質(zhì)點組的內(nèi)力的作用引起的。應(yīng)用質(zhì)點組的動量守恒定律，應(yīng)留意以下幾點1）所謂質(zhì)點組的動量守恒，是指質(zhì)點組中各質(zhì)點動量的矢量和等于常矢量，即其大小不變，其方向也不變．而不是各質(zhì)點動量的代數(shù)和不變．

2）在外力的矢量和為零的狀況下，質(zhì)點組動量守恒，是指質(zhì)點組的總動量不變，而決不是指質(zhì)點組內(nèi)各質(zhì)點的動量不變更，質(zhì)點組各質(zhì)點的動量，會因為質(zhì)點間的相互作用而發(fā)生變更．3）外力的沖量和為零，不是動量守恒的充要條件。

5）動量守恒定律是物理學(xué)中一條重要而普遍的定律，它不僅適用于宏觀物體的低速運動，而且，也適用于宏觀物體的高速運動、微觀粒子的運動以及電磁運動，等等．

4）在慣性系中運用動量守恒定律時，要留意質(zhì)點組內(nèi)各質(zhì)點的速度，都是同一時刻，對同一個慣性系而言的。解：因為火藥爆炸力是內(nèi)力，沿水平方向（設(shè)為x方向）無外力作用，故沿x方向動量守恒（1）用絕對速度

注意由相對運動關(guān)系，知

（2）

例題.一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為M，炮身及炮車質(zhì)量和等于m，炮車可以自由地在鐵軌上反沖。如炮身與地面成一角度，炮彈對炮身的相對速度為

，試求炮彈離炮身時對地面的速度

及炮車反沖的速度

。（1）（2）兩式聯(lián)立得：（1）（2）所以如與水平線間夾角為，則炮彈離炮身時對地面的速度的大小是

一.質(zhì)點組的動量矩定理2.3動量矩定理與動量矩守恒定律由n個質(zhì)點所形成的質(zhì)點組，每一質(zhì)點的動力學(xué)方程為

方程兩側(cè)左矢乘,并對i求和，得

—內(nèi)力的性質(zhì)2

質(zhì)點組對任一固定點的動量矩對時間的微商，等于諸外力對同一點的力矩的矢量和。所以有在直角坐標(biāo)系中：質(zhì)點組動量矩的微分等于作用在質(zhì)點組上的諸外力的元沖量矩的矢量和。

2）在對加速動點的角動量定理中，要出現(xiàn)慣性力矩，想使慣性力矩不出現(xiàn)，所選取的動點必需滿足確定的要求，關(guān)于這一點，后面將加以探討．注意1）公式中所包括的角動量

、外力矩的矢量和

及沖量矩的矢量和，都是對空間同一點而言的，而且在所研究的時間間隔內(nèi)，角動量

與力矩

始終是相對于該點的．恒矢量二、質(zhì)點組動量矩守恒定律質(zhì)點組不受外力作用時，或雖受外力作用，但這些力對某固定點的力矩的矢量和為零，則對此固定點而言，質(zhì)點組的動量矩為一恒矢量。

常數(shù)假如作用在質(zhì)點組上諸外力對某固定點O的力矩的矢量和雖然不等于零，但對通過原點O的某一坐標(biāo)軸（設(shè)為x軸）的力矩的代數(shù)和為零在這一情形下，質(zhì)點組的動量矩在這軸上的投影為一常數(shù)，亦即得到了一個第一積分。

在質(zhì)點組動量矩守恒的條件下，個別質(zhì)點的動量矩是可能因內(nèi)力矩的作用而變更的。注意例如：靜止在轉(zhuǎn)盤上的人，若將一手舉過頭頂并沿某一（如順時針）方向描畫水平圓圈，則轉(zhuǎn)盤將向相反方向轉(zhuǎn)動。這是因為：外力（即重力）對鉛直軸的力矩為零，故整個人體對該軸的動量矩應(yīng)保持為零，當(dāng)手旋轉(zhuǎn)時，這一部分質(zhì)點對鉛直軸沿順時針方向產(chǎn)生動量矩，因而，質(zhì)點組的其余部分必需向相反方向緩緩轉(zhuǎn)動，方能保持各部分繞鉛直軸的動量矩的代數(shù)和為零。體系的動量矩的確是表示其轉(zhuǎn)動部分的特征量，所以又稱為角動量。應(yīng)用質(zhì)點組的角動量守恒定律應(yīng)留意：1）角動量守恒是質(zhì)點組中各個質(zhì)點對某點角動量的矢量和為常矢量，而質(zhì)點組內(nèi)每個質(zhì)點的角動量時刻在變更著．2）質(zhì)點組對空間某點角動量守恒時，它對空間的另一點，角動量并不確定守恒．緣由就是力矩的大小及方向與參考點的選取有關(guān)．當(dāng)力對空間某點力矩為零時，對另外一點并不確定為零．3）角動量守恒定律也是物理學(xué)的一條普遍定律，它不止限于力學(xué)范圍．和動量守恒一樣，對于那些不遵從牛頓第三定律的非機械運動，只要系統(tǒng)是孤立的，其角動量也是守恒的．

問：動量守恒時，角動量也確定守恒嗎？

動量的守恒條件是質(zhì)點組所受外力的矢量和為零．而質(zhì)點組對某點角動量的守恒條件則要求外力對同一點力矩的矢量和為零．

當(dāng)質(zhì)點組根本不受外力時，既滿足外力的矢量和為零，又同時滿足外力矩矢量和為零的條件．所以動量守恒，角動量也守恒．當(dāng)有外力作用時，若外力的矢量和為零，則動量雖然守恒，但角動量并不確定守恒．因為外力矩矢量和的大小及方向與矩心位置的選取有關(guān)，所以外力的矢量和為零，保證不了對矩心的外力矩矢量和也為零，也就是不確定滿足角動量守恒。問：角動量守恒時，其動量確定守恒嗎？當(dāng)角動量守恒時，其動量也不確定守恒．緣由是質(zhì)點組對某點的角動量守恒時，只是外力對該點的力矩矢量和為零，它保證不了外力的矢量和也為零．總之，兩個守恒定律雖然都涉及速度矢量，但兩個定律是相互獨立的，二者間不能相互代替，決不能混淆．三.對質(zhì)心的動量矩定理對隨C加速平動的參照系來講，Pi的動力學(xué)方程為用左矢乘上式，并對i求和，則內(nèi)力矩仍互相抵消，故得

因此，雖然質(zhì)心是動點，但對質(zhì)心可以和對固定點一樣寫出動量矩定理。如外力對質(zhì)心的力矩的矢量和為零，則對質(zhì)心的動量矩也必定守恒。但對于其他動點一般則不能。因C為質(zhì)心，故

例題.在具有水平軸的滑輪上懸有一根繩子，繩子的兩端距通過該軸水平面的距離為s和s′。兩個質(zhì)量分別為m與m′的人抓著繩子的兩端，他們同時起先以勻加速度向上爬并同時到達(dá)滑輪軸所在的水平面。假設(shè)滑輪的質(zhì)量可忽視，且全部的阻力也都忽視不計，問需多久時間，兩人可以同時到達(dá)？解：令滑輪的半徑為r，A爬繩的速度為

，B的速度為

，則他們對通過滑輪中心的水平軸的動量矩為外力

和

對同軸的力矩則為

所以因為由動量矩定理，得

2.4動能定理與機械能守恒定律1.質(zhì)點組的動能定理

質(zhì)點組動能的微分，等于等于作用在該質(zhì)點組上諸內(nèi)力及諸外力所作元功之和在動量定理和動量矩定理中，內(nèi)力均因大小相等方向相反而消去，但在動能定理中，內(nèi)力所作的功通常并不能相互抵消。即使質(zhì)點組不受外力作用，或雖受外力作用而相互平衡時，質(zhì)點組的動能并不確定守恒。注意證明質(zhì)點組內(nèi)力作功一般不等于零

設(shè)第一個質(zhì)點相對于固定點O的位矢是r1，其次個質(zhì)點相對于O的位矢是r2第一個質(zhì)點所受的內(nèi)力為，第二個質(zhì)點所受的內(nèi)力為

對一般質(zhì)點組來講，，故內(nèi)力作功一般不等于零。

意味著質(zhì)點間距離不能改變，即為剛體。

正確理解質(zhì)點組的動能定理：

1）質(zhì)點組全部外力作功的代數(shù)和及全部內(nèi)力作功的代數(shù)和．絕不能理解為外力矢量和的功及內(nèi)力矢量和的功．因為作功的要素之一是力作用的質(zhì)點的位移，對質(zhì)點組來說各質(zhì)點的位移不相同，所以求功時不能算力的矢量和再標(biāo)乘相同的位移．只有對單質(zhì)點才能說合力的功．2)動能的變更不僅與外力作功有關(guān)，而且與內(nèi)力作功有關(guān)，而動量和角動量的變更，僅僅與外力或外力矩有干脆關(guān)系．2.質(zhì)點組的機械能守恒律作用在質(zhì)點組上的全部外力和內(nèi)力都是保守力或只有保守力作功——機械能守恒。式中E是總能量，T為質(zhì)點組的動能,而V則包含內(nèi)力和外力的勢能

對質(zhì)點組來講，內(nèi)力所作的功之和一般并不為零，所以，若只有外力是保守力而內(nèi)力并不是保守力時，質(zhì)點組的機械能并不守恒。

3.質(zhì)點組對質(zhì)心的動能定理

系稱為質(zhì)心坐標(biāo)系,在慣性系中平動

對加速平動參照系來講，Pi的動力學(xué)方程為

用相對于質(zhì)心系的位移標(biāo)乘上式中的各項，并對i求和，得

質(zhì)點組對質(zhì)心動能的微分，等于質(zhì)點組相對于質(zhì)心系位移時內(nèi)力及外力所作的元功之和.質(zhì)心雖是動點，但慣性力所作功之和為零，不起作用，與動量矩定理的情形相像。這又一次說明白質(zhì)心的重要性。4.柯尼希定理

質(zhì)點組的動能為

質(zhì)點組的動能為質(zhì)心的動能與各質(zhì)點對質(zhì)心的動能之和。

例題.質(zhì)量為m1及m2的兩自由質(zhì)點相互以力吸引，引力與其質(zhì)量成正比，與距離平方成反比，比例常數(shù)為k。起先時兩質(zhì)點皆處于靜止?fàn)顟B(tài)，其間距離為a。試求兩質(zhì)點的距離為a/2時兩質(zhì)點的速度。無外力作用，故動量守恒（1）解：令質(zhì)量為m1的質(zhì)點的速度為

，質(zhì)量為m2的質(zhì)點的速度為

，則因兩者互相吸引，故

、

的方向相反，今取

的方向為正方向與（2）式相同積分得：用動能定理來解

解得：內(nèi)力為保守力，機械能守恒（2）

2.5兩體問題

1.質(zhì)心的運動

兩式聯(lián)立得：所以，系統(tǒng)（P，S）的質(zhì)心將按慣性運動。

（1）（2）

2．行星、太陽相對質(zhì)心的運動所以，太陽和行星都繞它們的質(zhì)心作圓錐曲線運動。

3．行星相對太陽的運動

利用得：（1）（2）

令：折合質(zhì)量的物理意義：它是在處理兩體問題時，把原來屬于非慣性系中的問題化為在慣性系中處理的單體問題而接受的等效質(zhì)量。——折合質(zhì)量

或令：4．對開普勒第三定律的修正

對行星P2

兩式相除得：

對行星P1行星公轉(zhuǎn)周期：

太陽系中最大的行星是木星，它的質(zhì)量也不過是太陽質(zhì)量的1/1047，故如令下指標(biāo)1代表木星，下指標(biāo)2代表太陽系中的其他某個行星，因而，不會超過1048/1047，這與1相差甚微。故開普勒第三定律雖只具有近似性質(zhì)，但是近似程度卻是相當(dāng)高的。按開普勒第三定律，上式的右方應(yīng)當(dāng)?shù)扔?。2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與試驗室坐標(biāo)系質(zhì)點1相對于質(zhì)心的速度的量值為質(zhì)心坐標(biāo)系散射角實驗室坐標(biāo)系散射角

設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點1以速度

被另一質(zhì)量為m2的靜止質(zhì)點2散射。此兩質(zhì)點的質(zhì)心在散射前后都將沿

方向以速度

運動。在散射前：依據(jù)動量守恒律，兩質(zhì)點散射后必將沿相反方向運動。所以：質(zhì)點2相對于質(zhì)心的速度的量值為

求和之間的關(guān)系

由質(zhì)心的定義，知

對時間取微商，得

兩式相除得:

（1）由相對運動關(guān)系將和代入（1）得：因系統(tǒng)是保守的，能量守恒（1）探討重靶反沖很小，幾乎與固定質(zhì)心類似。2）中子-質(zhì)子散射

彈性散射前后的總動能守恒，散射時動能發(fā)生轉(zhuǎn)移。1）當(dāng)時若，則相當(dāng)于在質(zhì)心坐標(biāo)系中的反向散射（），這時的能量轉(zhuǎn)移最大，反沖質(zhì)點將獲得全部的入射能量。當(dāng)時將和代入上得：利用余弦定理有

2.7變質(zhì)量物體的運動一.變質(zhì)量物體的運動方程變質(zhì)量運動：當(dāng)物體運動時，質(zhì)量隨時間而連續(xù)的變更。這里的質(zhì)量變更是指質(zhì)量隨時間增加或削減。

設(shè)一物體的質(zhì)量在t時刻為m，它的速度是

，同時，一微小質(zhì)量以速度

運動，并在時間間隔

內(nèi)與m相合并，合并以后的共同速度是。如果作用在m及上的合外力為

，則由動量定理，得如果如果化簡得

代表微質(zhì)量未與m合并之前或自m分出后一剎那的速度例題.雨點起先自由落下時的質(zhì)量為M，在下落過程中，單位時間內(nèi)凝合在它上面的水汽質(zhì)量為。略去空氣阻力，試求雨點在t秒后所下落的距離。解：本問題的，動力學(xué)方程為豎直方向投影代入上式得：由題意知：積分得得雨點在t秒后所下落的距離利用t=0x=0對上式積分二.火箭

變質(zhì)量物體運動的動力學(xué)方程改寫為：

—是放出物質(zhì)相對于運動物體的速度

是由于放出物質(zhì)所引起的附加力或反作用力

動力學(xué)方程變?yōu)椋簩嶋H上有下面探討一種比較簡潔的狀況：動力學(xué)方程簡化為：兩邊積分：

令：一個變質(zhì)量物體在空間運動時不受任何外力作用，設(shè)放出物體的相對速度

的量值不變，與運動質(zhì)點的速度

共線而反向，則

令