其次章極限與連續(xù)本章介紹極限的概念、性質(zhì)和運算法則，以及與極限概念親密相關(guān)的，并且在微積分運算中起重要作用的無窮小量的概念和性質(zhì)。此外還給出了兩個極其有用的重要極限。隨后，運用極限引入了函數(shù)的連續(xù)性概念，它是客觀世界中廣泛存在的連續(xù)變更這一現(xiàn)象的數(shù)學描述，微積分學中探討的函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)。第一節(jié)數(shù)列的極限割圓術(shù)

我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》利用圓內(nèi)接正多邊形計算圓面積的方法--割圓術(shù)，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用。(一)數(shù)列概念

三國時的劉徽提出的的方法.他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···這樣繼續(xù)分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長.“割圓求周”

割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓合體而無所失矣.數(shù)列的定義例如稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.

(二)數(shù)列極限的定義1x2問題:當n無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它?通過上面圖示視察:假如數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.留意：定義總存在正整數(shù)N,

不等式記為或假如對于隨意給定的正數(shù)ε(不論它多么小),幾何說明：其中：用數(shù)列極限的定義證明極限。例1證例2證注：極限的定義只能用來驗證某常數(shù)是否為某數(shù)列的極限，而不能用來計算極限。(三)收斂數(shù)列的基本性質(zhì)性質(zhì)1極限的唯一性性質(zhì)2有界性定理2

收斂的數(shù)列必定有界。注1

有界性是數(shù)列收斂的必要條件，不是充分條件。注2

無界數(shù)列必定發(fā)散。有界數(shù)列不確定收斂.性質(zhì)3收斂數(shù)列的保號性定理3函數(shù)的極限其次節(jié)(一)自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限xy通過上面圖示視察:問題:如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”？例1證幾何說明:例3解例2解xy例如有兩條水平漸近線：xy水平漸近線:水平漸近線:(二)自變量趨于有限點處時函數(shù)的極限3.幾何說明:說明：例4證例5證證得證。例6證得證。例7(三)左極限與右極限左極限：左極限：右極限：解左右極限存在且相等,例8例9

設(shè)解(四)函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)極限的唯一性性質(zhì)2有極限函數(shù)的局部有界性推論1性質(zhì)3有極限函數(shù)的局部保號性留意推論2定理第四節(jié)無窮大量和無窮小量(一)無窮大量確定值無限增大的變量叫無窮大量。xoy精確定義：1、無窮大量是一個變量，不行與確定值很大很大的數(shù)混為一談；2、稱函數(shù)是無窮大量，必需指明其自變量的變更趨勢。注：證

得證.

xoy例1例2有兩條豎直漸近線：解所以有水平漸近線：無窮大量與無界變量的關(guān)系(1)無窮大量明顯是無界變量；(2)但無界變量不確定是無窮大量。例如數(shù)列再如，但它并不是無窮大量。

(二)無窮小量定義以零為極限的函數(shù)(或數(shù)列)稱為無窮小量。例如,注：1.無窮小量是變量，不能與確定值很小的數(shù)混為一談;3.稱一個函數(shù)是無窮小量，必需指明自變量的變更趨勢。2.零是唯一可以作為無窮小量的數(shù)；無窮小量和極限的關(guān)系：證略.定理表明：

極限概念可以用無窮小量概念來描述.定理定理無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量。證于是有

例3解無窮小與有界變量之積仍是無窮小。(三)無窮小量與無窮大量的關(guān)系意義關(guān)于無窮大量的探討,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小量的探討。例4例5解(四)無窮小量的階比值極限不同,反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同。視察各極限定義：設(shè)α和β是某一極限過程中的無窮小量，例6證例7證可推廣：定義例8解例9解第五節(jié)極限的運算法則證略定理說明：1.有兩層意思：(1)在limf

(x)和limg(x)都存在的前提下，lim[f(x)+g(x)]也存在；(2)lim[f

(x)+g(x)]的數(shù)值等于limf

(x)+limg(x).2.lim[f

(x)+g(x)]存在,不能倒推出limf

(x)和limg(x)存在.3.若limf(x)存在，而limg(x)不存在，則lim[f(x)+g(x)]確定不存在.4.可推廣到有限多項.反證：假設(shè)lim[f

(x)+g(x)]存在,已知limf

(x)存在,由定理知limg(x)存在,沖突。推論1推論2例2例1假如分母的極限為零，則不能干脆運用上述方法。例3解解例4消零因子法有理化方法解例5解變量代換法

例6例7解一般,“抓大頭”法例8例9例10例11思索：例12解留意：以下解法錯誤：因為法則(1)不能推廣到無限多個函數(shù)的情形.解例13例14無窮小與有界變量之積仍是無窮小。錯誤！正確解法：不存在！例15例16注：全部反三角函數(shù)均是有界函數(shù)。第六節(jié)兩個重要極限(一)極限存在的準則定理(準則Ⅰ)例1解由夾逼定理得上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限。定理(夾逼定理)證略。定理(準則Ⅱ)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。下面利用兩個準則證明兩個重要的極限。(二)兩個重要極限xy先利用夾逼準則證明重要極限：1基本不等式：等號當且僅當x=0時成立。實際上，對一切實數(shù)x成立?；静坏仁剑旱忍柈斍覂H當x=0時成立。等號當且僅當x=0時成立。即得所以先證解所以例2例3例4解再利用單調(diào)有界準則證明另一個重要的極限存在：

先看一個實際例子?？紤]一個復(fù)利問題。假設(shè)我們考慮1年定期存款，利率為100%，初始存款(稱為本金)為1元。利率設(shè)為100%僅僅是為了便于計算，我們完全可以將其推廣到真實的利率，例如5％。若一年結(jié)算一次，則年終時本利和為(1+100%)1

=

2元；若半年結(jié)算一次，利率降為50%，則年終時本利和為(1+50%)2

=

2.25

元；若每月結(jié)算一次，則年終時本利和為(1+1/12)12

=

2.61303529

元；若每天結(jié)算一次，則年終時本利和為(1+1/365)365

=

2.714567

元；每天結(jié)算一次：(1+1/365)365

=

2.714567

元；可以想見，若復(fù)利一次的時間再細分下去，這個數(shù)值會越來越大。問題是，我們的錢會無限增大嗎？答案是否定的。隨著

n

的增大，(1+1/n)n的值雖然不斷增大，但增大的速度卻變得越來越慢?？梢宰C明，當

n

的無限增大時，(1+1/n)n

值無限接近于一個常數(shù)，歐拉把它記為e。每小時結(jié)算一次：(1+1/8760)8760

=

2.718128

元；每分鐘結(jié)算一次：(1+1/525600)525600

=2.718279元；每秒結(jié)算一次：(1+1/31536000)31536000

=

2.7182817元；增大，且項數(shù)增加一項(每一項均為正),

以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，

可以證明，相應(yīng)的函數(shù)極限有

或例5解“湊重要極限”法例7解例8解例6解原式訓練第七節(jié)利用等價無窮小量代換求極限定理(等價無窮小替換定理)證只有在乘、除的極限運算中才能替換；留意在其他極限運算中不能替換！常用等價無窮?。豪?解例2解例3解例4解解錯例5解例6解例7解課堂練習計算極限：解答：分別非零因子解答：解答：第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性(一)函數(shù)變更量(二)函數(shù)連續(xù)的概念引例：街頭有一賣蘋果的小販，聲稱“5斤以內(nèi)10元一斤，5斤以上8元一斤”。有兩個顧客，一個人買5斤，花費50元；一個人買6斤，花費48元。買的多的反而花錢少，這是怎么回事？例1證明函數(shù)y=x2在給定點x0處連續(xù)。證在x0處，函數(shù)的變更量為所以y=x2在給定點x0處連續(xù)。函數(shù)在一點處連續(xù)的定義假如下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種等價形式。假如例2證（3）函數(shù)值與極限值相等.

單側(cè)連續(xù)：定理例3解即不右連續(xù)也不左連續(xù),x

y-11O例4解連續(xù)區(qū)間與連續(xù)函數(shù)：例5證和差化積公式：例5證(三)函數(shù)的間斷點定義函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的間斷點。1、左右極限都存在的間斷點，稱第一類間斷點：

(1)可去型間斷點例1探討函數(shù)解留意可去型間斷點只要變更或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點。例2xy1函數(shù)(2)跳動型間斷點例3解例4解2、左右極限至少有一個不存在的間斷點,稱其次類間斷點。例5解這種狀況稱為振蕩型間斷點。解例6解所以即例7(四)連續(xù)函數(shù)的運算法則定理由連續(xù)的定義和極限的運算法則，定理不難獲得證明。例如,可以證明，全部基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。因此，一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。也就是說，對初等函數(shù)來說，連續(xù)區(qū)間即為其定義域。(五)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(有界性與最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界，且能取得最大值和最小值。記作留意：1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不確定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不確定成立。幾何說明：MBCAmab推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。幾何說