考點一

函數(shù)的單調(diào)性及最值考點清單考向根底1.函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)、減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)定義要求x1,x2一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,區(qū)間D?I,如果對于任意x1,x2∈D,且x1<x2要求f(x1)與f(x2)都有①

f(x1)<f(x2)

都有②

f(x1)>f(x2)

結(jié)論函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是③增函數(shù)

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是④減函數(shù)

圖象描述自左向右看圖象是上升的

自左向右看圖象是下降的注意:(1)單調(diào)函數(shù)的定義有以下兩種等價形式:?x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(i)?>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);?<0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).(ii)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,當(dāng)一個函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個

時,不能用“∪〞連接,而應(yīng)該用“和〞或“,〞連接.例如:y=?的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),但不能寫成(-∞,0)∪(0,+∞).前提一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件對于任意的x∈I,都有⑤

f(x)≤M

;存在

∈I,使得⑥

f(x0)=M

對于任意的x∈I,都有⑦

f(x)≥M

;存在

∈I,使得⑧

f(x0)=M

結(jié)論M是f(x)的⑨最大

值M是f(x)的⑩最小

值2.函數(shù)的最值考向突破考向

函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用例(1)函數(shù)f(x)=lo?(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為?()A.(0,+∞)

B.(-∞,0)C.(2,+∞)

D.(-∞,-2)(2)函數(shù)f(x)=sinx+3x,x∈(-1,1),如果f(1-a)<-f(1-a2),那么實數(shù)a的取值范

圍是?()A.(1,?)

B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-∞,-2)

D.(1,+∞)解析(1)由x2-4>0得x<-2或x>2.因為u=x2-4在(-∞,-2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù),y=lo?u為減函數(shù),故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2).選D.(2)易知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在(-1,1)上單調(diào)遞增,∵f(1-a)<-f(1-a2),∴f(1-a)<f(a2-1),∴?解得1<a<?,應(yīng)選A.答案(1)D(2)A考點二

函數(shù)的奇偶性與周期性考向根底1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點

一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有①

f(-x)=f(x)

,那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有②

f(-x)=-f(x)

,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)函數(shù)的周期性的定義對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為③周期函數(shù)

,T為這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小

的正數(shù)就叫做它的④最小正周期

.(2)常見的幾個結(jié)論(i)假設(shè)f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么f(x)的周期是T=|a-b|.(ii)假設(shè)f(x+a)=-f(x),那么f(x)的周期是T=2|a|.(iii)假設(shè)f(x+a)=?或f(x+a)=-?,其中f(x)≠0,那么f(x)的周期是T=2|a|.(iii)假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)和直線x=b對稱,那么函數(shù)f(x)必為周期函

數(shù),4|a-b|是它的一個周期.(3)對稱性與周期的關(guān)系(i)假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=b對稱,那么函數(shù)f(x)必為周期函

數(shù),2|a-b|是它的一個周期.(ii)假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)和點(b,0)對稱,那么函數(shù)f(x)必為周期函

數(shù),2|a-b|是它的一個周期.考向突破考向

函數(shù)的奇偶性的判斷與應(yīng)用例(1)以下函數(shù)中為奇函數(shù)的是

?()A.y=x+cosx

B.y=x+sinxC.y=?

D.y=e-|x|(2)(2021課標(biāo)Ⅱ文,14,5分)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,那么f(2)=

.解析(1)對于A,y=x+cosx的定義域為R,f(-x)=-x+cos(-x)=-x+cosx≠-f(x),排除;對于B,y=x+sinx的定義域為R,f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sinx=-f(x),故該函數(shù)是

奇函數(shù);對于C,y=?的定義域為[0,+∞),關(guān)于原點不對稱,故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),排除;對于D,y=e-|x|的定義域為R,f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x),故該函數(shù)為偶函數(shù).應(yīng)選B.(2)∵f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,又f(-2)=-f(2),∴f(2)=-f(-2)=12.故填12.答案(1)B(2)12方法1

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法1.定義法:設(shè)元→作差→變形→判斷符號→給出結(jié)論.其關(guān)鍵是對差進(jìn)行

變形,為了便于判斷差的符號,通常將差變成因式乘積或平方和的形式,

再結(jié)合變量的范圍、假定的兩個自變量值的大小關(guān)系及不等式的性質(zhì)

作出判斷.假設(shè)函數(shù)在給定區(qū)間上,f(x1)-f(x2)與x1-x2同號,那么該函數(shù)是增函

數(shù);f(x1)-f(x2)與x1-x2異號,那么該函數(shù)是減函數(shù).2.利用函數(shù)的運算性質(zhì):假設(shè)f(x)、g(x)為增函數(shù),那么①y=f(x)+g(x)為增函數(shù);②y=?為減函數(shù)(f(x)>0);方法技巧③y=?為增函數(shù)(f(x)≥0);④y=f(x)·g(x)為增函數(shù)(f(x)>0,g(x)>0);⑤y=-f(x)為減函數(shù).3.利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性法那么是“同增異減〞,即假設(shè)兩個根本初等函數(shù)的單調(diào)性相同,那么這兩個

函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù),假設(shè)兩個根本初等函數(shù)的單調(diào)性相反,那么這兩

個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).4.圖象法:畫出函數(shù)圖象,由圖象直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性.5.奇函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在兩

個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.①假設(shè)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),當(dāng)f'(x)>0時,f(x)為增函數(shù);當(dāng)f'(x)<0時,f(x)

為減函數(shù);②假設(shè)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),當(dāng)f(x)在該區(qū)間上遞增時,f'(x)≥0;當(dāng)f(x)在

該區(qū)間上遞減時,f'(x)≤0.6.導(dǎo)數(shù)法例1函數(shù)f(x)=ln(e+x)+ln(e-x),那么f(x)是?()A.奇函數(shù),且在(0,e)上是增函數(shù)B.奇函數(shù),且在(0,e)上是減函數(shù)C.偶函數(shù),且在(0,e)上是增函數(shù)D.偶函數(shù),且在(0,e)上是減函數(shù)解析解法一:易知f(x)的定義域為(-e,e),關(guān)于原點對稱.∵f(-x)=ln(e-x)+ln(e+x)=f(x),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù),函數(shù)f(x)=ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e2-x2),在(0,e)上y=e2-x2是減函數(shù),y=lnx是增

函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)=ln(e+x)+ln(e-x)在(0,e)上是減函

數(shù),應(yīng)選D.解法二:同解法一知f(x)是偶函數(shù).在(0,e)上,f'(x)=?-?=?<0,那么函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,應(yīng)選D.答案

D方法2

判斷函數(shù)奇偶性的方法1.定義法2.圖象法

3.性質(zhì)法假設(shè)f(x),g(x)在其公共定義域上具有奇偶性,那么奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶

=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.例2判斷以下函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=(1-x)?;(2)f(x)=?(3)f(x)=?;(4)f(x)=log2(x+?).解題導(dǎo)引

解析(1)當(dāng)且僅當(dāng)

≥0時函數(shù)有意義,∴-1≤x<1,∴f(x)的定義域為[-1,1).∵f(x)的定義域關(guān)于原點不對稱,∴函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).(2)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0},關(guān)于原點對稱,當(dāng)x>0時,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);當(dāng)x<0時,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),∴f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(3)由題意知

?-2≤x≤2且x≠0,∴函數(shù)f(x)的定義域為[-2,0)∪(0,2],關(guān)于原點對稱.∴f(x)=

=

,又f(-x)=

=-

=-f(x),∴f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(4)解法一:易知f(x)的定義域為R.∵f(-x)=log2[(-x)+

]=log2

=-log2(x+

)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).解法二:易知f(x)的定義域為R.∵f(-x)+f(x)=log2[(-x)+

]+log2(x+

)=log21=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).(2)對于分段函數(shù),必須分段判定它的奇偶性,只有在每一段上都滿足奇

偶函數(shù)的定義時,才能下相應(yīng)的結(jié)論;(3)當(dāng)f(x)≠0時,奇偶函數(shù)定義中的判斷式f(-x)=±f(x)常被它的變式

=±1所替代.規(guī)律總結(jié)(1)對于解析式比較復(fù)雜的函數(shù),有時需要將函數(shù)化簡后再

判斷它的奇偶性,但一定要先考慮它的定義域;方法3

函數(shù)周期的求法及應(yīng)用1.幾種常見抽象函數(shù)的周期2.求抽象函數(shù)周期的方法遞推法:假設(shè)f(x+a)=-f(x),那么f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2|a|為f(x)

的一個周期;換元法:假設(shè)f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,那么x=t+a,那么f(t+2a)=f(t+a+a)=f(t+a-a)=f(t),

所以2|a|為f(x)的一個周期.性質(zhì)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=

f(x+a)=-

f(x+a)=f(x-a)f(x+a)=f(x+b)(a≠b)f(2a-x)=f(x)且f(2b-x)=f(x)(a≠b)周期2|a|2|a|2|a|2|a||a-b|2|b-a|例3偶函數(shù)f(x)的定義域為R,假設(shè)f(x-1)為奇函數(shù),且f(2)=3,那么f(5)+f(6)的值為?()A.-3

B.-2

C.2

D.3解題導(dǎo)引

解析∵f(x-1)是奇函數(shù),∴f(-x-1)=-f(x-1),∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x-1)=f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4為周期的函數(shù),那么f(5)=f(1),f(6)=f(2)=3,當(dāng)x=-1時,由f(x+2)=-f(x),得f(1)=-f(-1)=-f(1),即f(1)=0,∴f(5)+f(6)=3,應(yīng)選D.答案

D方法4

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.注意奇、偶函數(shù)圖象的對稱性,以及奇、

偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系.2.周期性與奇偶性的綜合.此類問題多為求值問題,常利用奇偶性及周期

性進(jìn)行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到解析式的函數(shù)定義域內(nèi)

求解.3.單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)

化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.例4定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x+4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函

數(shù),那么?()A.f(-25)<f(11)<f(80)

B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-25)<f(80)<f(11)解析∵f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4),∴f(x+8)=f(x),∴f(x)的周期為8,∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),又∵奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),∴f(x)在區(qū)間[-2,2]上是增函數(shù),

∴f(-25)<f(80)<f(11),應(yīng)選D.答案

D方法5

函數(shù)值域的求法求函數(shù)值域的常用方法:(1)列舉法列舉法是直接根據(jù)函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系,將函數(shù)值一一求出來寫成

集合的形式的方法.這種方法只適用于值域中元素有限或雖然無限但是

與自然數(shù)有關(guān)的集合.如:狄利克雷函數(shù):f(x)=?值域為{0,1}.(2)別離常數(shù)法形如y=?(a≠0)的函數(shù)的值域問題,經(jīng)常使用“別離常數(shù)法〞求解.例如:求函數(shù)y=?的值域.解析:y=?=?=?+?≠?,∴函數(shù)的值域為?.(3)有界性法形如sinα=f(y),x2=g(y),ax=h(y)等,由|sinα|≤1,x2≥0,ax>0可解出y的取值范

圍,從而求出函數(shù)的值域.(4)配方法配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)〞值域的根本方法,形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函數(shù)的值域問題,均可使用配方法.(5)換元法①代數(shù)換元:形如y=ax+b±?(a,b,c,d為常數(shù),ac≠0)的函數(shù),可設(shè)?=t(t≥0),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.②三角換元:如y=x+?,可令x=cosθ,θ∈[0,π],那么y=cosθ+sinθ=?sin?,θ∈[0,π].對于換元法求值域,一定要注意新元的范圍對值域的影響.(6)根本不等式法利用根本不等式:a+b≥2?(a>0,b>0).用此法求函數(shù)值域時,要注意條件“一正,二定,三相等〞.(7)利用函數(shù)的單調(diào)性①單調(diào)函數(shù)的圖象是一直上升或一直下降的,因此假設(shè)單調(diào)函數(shù)在端點處有定義,那么該函數(shù)在端點處取最值,即假設(shè)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,那么y最小=f(a),y最大=f(b);假設(shè)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,那么y最小=f(b),y最大=f(a).②形如y=ax+b+?的函數(shù),假設(shè)ad>0,那么用單調(diào)性求值域;假設(shè)ad<0,那么用換元法求值域.③形如y=x+?(k>0)的函數(shù),在根本不等式的條件不具備的情況下(等號不成立),可考慮用函數(shù)的單調(diào)性求值域,當(dāng)x>0時,函數(shù)y=x+?(k>0)的單調(diào)減區(qū)間為(0,?],單調(diào)增區(qū)間為[?,+∞).一般地,把函數(shù)y=x+?(k>0,x>0)叫做對勾函數(shù),其圖象的轉(zhuǎn)折點為(?,2?),至于x<0的情況,可根據(jù)函數(shù)的奇偶性解決.(8)導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)函數(shù)求出最值,從而確定值域.(9)數(shù)形結(jié)合法假設(shè)函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯,如距離、斜率等,可用數(shù)