2.7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)●知識梳理1.指數(shù)（1）n次方根的定義若xn=a，則稱x為a的n次方根，“n”是方根的記號.在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個負(fù)數(shù)，0的奇次方根是0；正數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數(shù)，0的偶次方根是0，負(fù)數(shù)沒有偶次方根.（2）方根的性質(zhì)①當(dāng)n為奇數(shù)時，nan=a.②當(dāng)n為偶數(shù)時，nana(a0),=|a|=(a0).a（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義m①an=nam（a＞0，m、n都是正整數(shù)，n＞1）.m11②an=m=（a＞0，m、n都是正整數(shù)，n＞1）.annam2.指數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù).2）指數(shù)函數(shù)的圖象底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象對于y軸對稱.3）指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)①定義域：R.②值域：（0，＋∞）.③過點(diǎn)（0，1），即x=0時，y=1.④當(dāng)a＞1時，在R上是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時，在R上是減函數(shù).●點(diǎn)擊雙基1.3a·6a等于A.－aB.－aC.aD.a11111分析：3a·6a=a3·（－a）6=－（－a）36=－（－a）2.答案：Ax2.（2003年鄭州市質(zhì)量檢測題）函數(shù)y=23的圖象與直線y=x的地點(diǎn)關(guān)系是x分析：y=23=（32）x.∵32＞1，∴不行能選D.xx又∵當(dāng)x=1時，23＞x，而當(dāng)x=3時，23＜x，∴不行能選A、B.答案：C3.（2004年湖北，文5）若函數(shù)y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則必定有A.0＜a＜1且b＞0B.a＞1且b＞0C.0＜a＜1且b＜0D.a＞1且b＜0分析：作函數(shù)y=ax+b－1的圖象.答案：C4.（2004年全國Ⅱ，理A.與y=ex的圖象對于C.與y=e－x的圖象對于

6）函數(shù)y=－ex的圖象y軸對稱B.與y=ex的圖象對于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱y軸對稱D.與y=e－x的圖象對于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱分析：圖象法.答案：D5.（2004年湖南，文16）若直線y=2a與函數(shù)y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個公共點(diǎn)，則a的取值范圍是___________________.分析：數(shù)形聯(lián)合.由圖象可知0＜2a＜1，0＜a＜1.2答案：0＜a＜126.函數(shù)y=（1）x22x2的遞加區(qū)間是___________.2分析：∵y=（1）x在（－∞，+∞）上是減函數(shù)，而函數(shù)y=x2－2x+2=（x－1）2+1的2遞減區(qū)間是（－∞，1］，∴原函數(shù)的遞加區(qū)間是（－∞，1］.答案：（－∞，1］●典例分析【例1】以下圖是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的圖象，則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c分析：可先分兩類，即（3）（4）的底數(shù)必定大于1，（1）（2）的底數(shù)小于1，而后再從（3）（4）中比較c、d的大小，從（1）（2）中比較a、b的大小.解法一：當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時，圖象上漲，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越湊近于y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時，圖象降落，底數(shù)越小，圖象向右越湊近于x軸.得b＜a＜1＜d＜c.解法二：令x=1，由圖知c1＞d1＞a1＞b1，b＜a＜1＜d＜c.答案：B【例2】已知2x2x≤（1）x－2，求函數(shù)y=2x－2－x的值域.42－（－）－解：∵2xx≤22x2，∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵y=2x－2x是［－4，1］上的增函數(shù)，∴2－4－24≤y≤2－2－1.故所求函數(shù)y的值域是［－255，3］.162【例3】要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1］上y＞0恒建立，求a的取值范圍.解：由題意，得1+2x+4xa＞0在x∈（－∞，1］上恒建立，即a＞－12x在x∈（－4x∞，1］上恒建立.又∵－12x=－（1）2x－（1）x=－［（1）x+1］2+1，當(dāng)x∈（－∞，4x222241］時價域為（－∞，－3］，∴a＞－3.44評論：將不等式恒建立問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)值域問題是解決這種問題常用的方法.●闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.已知f（x）=ax，g（x）=－logbx，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，則y=f（x）與y=g（x）的圖象A.對于直線x+y=0C.對于y軸對稱

對稱

B.對于直線x－y=0對稱D.對于原點(diǎn)對稱分析：lga+lgb=0ab=1.g（x）=－logbx=－loga－1x=logax.f（x）與g（x）的圖象對于y=x對稱.答案：B2.以下函數(shù)中值域為正實數(shù)的是A.y=－5x1）1－xB.y=（3C.y=(1)x1D.y=12x2分析：∵y=（1）x的值域是正實數(shù)，而1－x∈R，∴y=（1）1－x的值域是正實數(shù).33答案：B3b23ab23.化簡a（a＞0，b＞0）的結(jié)果是___________________.113b(a4b2)4a311311104分析：原式=a2b[(ab2)3]2a2ba6b3a6b3a1=27=27=.ab2(b)3a3b3a3b3ba答案：ab4.知足條件mm2＞（mm）2的正數(shù)m的取值范圍是___________________.分析：∵m＞0，∴當(dāng)m＞1時，有m2＞2m，即m＞2；當(dāng)0＜m＜1時，有m2＜2m，即0＜m＜1.綜上所述，m＞2或0＜m＜1.答案：m＞2或0＜m＜15.（2004年湖北，理7）函數(shù)f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值與最小值的和為a，則a的值為11C.2D.4A.B.42分析：（fx）在［0，1］上是單一函數(shù)，由已知（f0）+f（1）=a1+loga1+a+loga2=aloga2=－1a=1.2答案：B6.已知9x－10·3x+9≤0，求函數(shù)y=（1）x－1－4（1）x+2的最大值和最小值.42解：由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令（1）x=t，2則1≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－1）2+1.當(dāng)t=1即x=1時，ymin=1；當(dāng)t=1即x=0時，ymax=2.422培育能力2x1x－1≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2xx的值域.7.若a+2·a2－3·a+4解：由a2x+1·ax－1≤0（a＞0且a≠1）知0＜ax≤1.222令ax=t，則0＜t≤1，y=2t2－3t+4.借助二次函數(shù)圖象知y∈［3，4）.2xx8.（2004年全國Ⅲ，18）解方程4+|1－2|=11.原方程xx2x1±41x1－41＜0（無解）或2x=141＞4－2－10=0=22=22+2221知x＞0（無解）.當(dāng)x＞0時，1－2x＜0.原方程4x+2x－12=02x=－1±72x=－4（無解）或2x=3x=log23（為原方程22的解）.研究創(chuàng)新－x－x9.若對于x的方程25|+1|－4·5|+1|－m=0有實根，求m的取值范圍.解法一：設(shè)y=5－xy2－4y－m=0在（0，1］內(nèi)有實根.|+1|，則0＜y≤1，問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠淘O(shè)f（y）=y2－4y－m，其對稱軸y=2，∴f（0）＞0且f（1）≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，此中y=5－|x+1|∈（0，1］，∴m=（y－2）2－4∈［－3，0）.●思悟小結(jié)1.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義能夠把根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閮绲倪\(yùn)算，進(jìn)而簡化計算過程.2.指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象和性質(zhì)受a的影響，要分a＞1與0＜a＜1來研究.13.指數(shù)函數(shù)的定義重在“形式”，像y=2·3x，y=2x，y=3x2，y=3x+1等函數(shù)都不切合形式y(tǒng)=ax（a＞0，a≠1），所以，它們都不是指數(shù)函數(shù).●教師下載中心教課點(diǎn)睛1.本小節(jié)的要點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.對于含有字母參數(shù)的兩個函數(shù)式比較大小或兩個函數(shù)式因為自變量的不一樣取值而有不一樣大小關(guān)系時，一定對字母參數(shù)或自變量取值進(jìn)行分類議論.用好用活指數(shù)函數(shù)單一性，是解決這一類問題的要點(diǎn).2.對可化為a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0（≤0）的指數(shù)方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)提示學(xué)生注意換元后“新元”的范圍.拓展題例1ab【例1】若60a＝3，60b＝5.求122(1b)的值.解：a=log603，b＝log605，1－b＝1－log605＝log6012，1－a－b＝1－log603－log605＝log604，1ab＝log6041b＝log124