PAGEPAGE15利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1．隱零點(diǎn)問(wèn)題1．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，在遞增．當(dāng)時(shí)，，在上遞增．當(dāng)，即時(shí)，在上，遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，由化簡(jiǎn)得，構(gòu)造函數(shù)，，在上遞增，，故存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，所以時(shí)，取得極小值，也即是最小值．，所以，故．2．已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，是的極值點(diǎn)，，即，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由可得，所以，令，則，在上單調(diào)遞增，且．，使得，有，①且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，由①得，即有，，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，，結(jié)論得證．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不大于的極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）定義域?yàn)镽，由，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，即，，因?yàn)?，所以，令，則或，即在和上單調(diào)遞增．令，則，即在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，即．因?yàn)椋?，令，則或，即在和上單調(diào)遞增．令，則，即在上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不大于的極值點(diǎn)，由（1）知，因?yàn)榍?，所以，所以要證明，只要證明，即要證明，令，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．因?yàn)?，即，即，所以，所以，所以原不等式成立?．極值點(diǎn)偏移問(wèn)題1．（多選）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則（）A．a(chǎn)的取值范圍為 B．C． D．【答案】BCD【解析】由題設(shè)，且定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，即不可能存在兩個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，即，當(dāng)時(shí)，，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)趨向于0時(shí)趨于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)趨于負(fù)無(wú)窮大，綜上，，在內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，且，B：由且趨向于0時(shí)趨于負(fù)無(wú)窮大，所以，故，令，，又，所以單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，又，所以，而，因此，故正確；C：，令，顯然有，令，顯然，因此有，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，令，即，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，因?yàn)椋?，而，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此有，即，正確；D：由，則，故，正確，故選BCD．2．已知函數(shù)．（1）證明：在R上為增函數(shù)；（2）若，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由題意，，令，則，令，則，故在區(qū)間上，，為減函數(shù)；在區(qū)間上，，為增函數(shù)，故，故在R上為增函數(shù)．（2）由（1）知為增函數(shù)，且，故由，，可得，則．欲證，只需證，即證，即證．令，則，令，則，故為增函數(shù)，，故為增函數(shù)，，故，則，原式得證．3．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1），．①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得，單調(diào)遞增，由，得，單調(diào)遞減．綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）∵在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，不妨設(shè)，∴在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，，∴，由，得，單調(diào)遞減；由，得，單調(diào)遞增，，，，，∴，要證，即證，又∵，只要證，即證，∵，即證，即證，即證，即證，令，，∴，令，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，∴，∴，∴，∴在上遞增，∴，∴，∴．4．已知．（1）若函數(shù)在上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，證明：（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1），定義域?yàn)?，．令，解得；令，解得，所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值．要使函數(shù)在上有極值，只需，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）記函數(shù)，則函數(shù)有兩個(gè)不等實(shí)根．因?yàn)?，，兩式相減得，，兩式相加得，．因?yàn)?，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，證．設(shè)，只需證明．記，則，所以在上單增，所以，所以，即，所以．即證．3．雙變量問(wèn)題1．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，則取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】令，則，由且，解得．，令，，在區(qū)間上遞減，．所以取值范圍是，故答案為．2．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：．【答案】（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，所以，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）解：，，，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調(diào)遞減，，而，即，．3．已知函數(shù)，在處的切線與直線平行．（1）求實(shí)數(shù)的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．【答案】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域，因?yàn)椋越獾?，，，令，解得，故在上單調(diào)遞減，令，解得，故在上單調(diào)遞增．（2）解：由，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，得，兩式相減，得，即，，因此，，令，由，得，則，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，，又，所以，所以，故，命題得證．4．其它1．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，沒(méi)有極大值；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）易知函數(shù)定義域?yàn)镽，∵，∴，令，解得，在上單調(diào)遞增，，解得，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，∴函數(shù)的極小值為，沒(méi)有極大值．（2）解法一：要證，即證，設(shè)，要證原不等式成立即證成立，∵，∵，∴(當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立)，由（1）知(等號(hào)成立)，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)，得證．解法二：要證，即證，設(shè)，要證原不等式成立即證成立，∵，設(shè)，則，令，則，∵，，又，∴，即在單調(diào)遞增，∴，即在單調(diào)遞增，∴，∴，即在單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)，得證．2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，．【答案】（1）見(jiàn)解析