自動(dòng)控制理論時(shí)域分析第一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日§3-1引言

分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。一旦獲得合理的數(shù)學(xué)模型，就可以采用不同的分析方法來分析系統(tǒng)的性能。經(jīng)典控制理論中常用的工程方法有

時(shí)域分析法根軌跡法頻率特性法分析內(nèi)容瞬態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定性第二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)域分析法在時(shí)間域內(nèi)研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，其輸出響應(yīng)隨時(shí)間變化規(guī)律的方法。對(duì)于任何一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，輸出響應(yīng)含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。

瞬態(tài)分量由于輸入和初始條件引起的，隨時(shí)間的推移而趨向消失的響應(yīng)部分，它提供了系統(tǒng)在過度過程中的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能的信息。

穩(wěn)態(tài)分量是過渡過程結(jié)束后,系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)，其輸入輸出間的關(guān)系不再變化的響應(yīng)部分，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能或誤差。

時(shí)域分析法的物理概念清晰，準(zhǔn)確度較高，在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)并建立了系統(tǒng)的微分方程后，使用時(shí)域分析法比較方便。不過若用它來設(shè)計(jì)和校正系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求來選定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，卻存在一定的困難。

第三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日為了研究控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，必須了解輸入信號(hào)的變化形式。在工程實(shí)際中，有些系統(tǒng)的輸入信號(hào)是已知的（如恒值系統(tǒng)），但對(duì)有些控制系統(tǒng)來說，常常不能準(zhǔn)確地知道其輸入量是如何變化的（如隨動(dòng)系統(tǒng)）。因此，為了方便系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，使各種控制系統(tǒng)有一個(gè)進(jìn)行比較的基礎(chǔ)，需要選擇一些典型試驗(yàn)信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入，然后比較各種系統(tǒng)對(duì)這些輸入信號(hào)的響應(yīng)。常用的試驗(yàn)信號(hào)是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、脈沖函數(shù)及正弦函數(shù)。這些函數(shù)都是簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)，并且易于通過實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生，便于數(shù)學(xué)分析和試驗(yàn)研究。第四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間逐漸增加的信號(hào)，則選用斜坡函數(shù)較合適；如果作用到系統(tǒng)的輸入信號(hào)大多具有突變性質(zhì)時(shí)，則選用階躍函數(shù)較合適。需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號(hào)，對(duì)同一系統(tǒng)來說，其過渡過程所反應(yīng)出的系統(tǒng)特性應(yīng)是統(tǒng)一的。這樣，便有可能在同一基礎(chǔ)上去比較各種控制系統(tǒng)的性能。此外，在選取試驗(yàn)信號(hào)時(shí)，除應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號(hào)作為典型實(shí)驗(yàn)信號(hào)。本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)等輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。第五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日h(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義1h(t)t調(diào)節(jié)時(shí)間tsh(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間ts第六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日§3-2一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng),典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖3-2所示.其中是積分環(huán)節(jié)，T為它的時(shí)間常數(shù)。圖3-2一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖C(s)-R(s)第七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為可見，典型的一階系統(tǒng)是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，而T也是閉環(huán)系統(tǒng)的慣性時(shí)間常數(shù)。系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系為

對(duì)應(yīng)的微分方程為（3－3第八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

在零初始條件下，利用拉氏反變換或直接求解微分方程，可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。一、單位階躍響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),其拉氏變換為,則輸出的拉氏變換為

第九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為

上式表明，當(dāng)初始條件為零時(shí)，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線,式中的1為穩(wěn)態(tài)分量，為瞬態(tài)分量，當(dāng)t→∞時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個(gè)工作時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會(huì)超過起穩(wěn)態(tài)值。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-2所示。第十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D3-2中指數(shù)響應(yīng)曲線的初始（t=0時(shí)）斜率為.

因此，如果系統(tǒng)保持初始響應(yīng)的變化速度不變，則當(dāng)t=T時(shí)，輸出量就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。實(shí)際上，響應(yīng)曲線的斜率是不斷下降的，經(jīng)過T時(shí)間后，輸出量C（T）從零上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。經(jīng)過3T～4T時(shí)，C（t）將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%～98%?？梢姡瑫r(shí)間常數(shù)T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過程的快速性也越好。斜率1C(t)0.95T3T0.632圖3-2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日由式（3-2）可知，只有當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，響應(yīng)的瞬態(tài)過程才能結(jié)束，在實(shí)際應(yīng)用中，常以輸出量達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%的時(shí)間作為系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間（即調(diào)節(jié)時(shí)間），這時(shí)輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差為5%或2%。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定，將測(cè)得的曲線與圖3-2的曲線作比較，就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng)。此外，用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零值開始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間，就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T。第十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

式中，t-T為穩(wěn)態(tài)分量，為瞬態(tài)分量，當(dāng)t→∞時(shí)，瞬態(tài)分量衰減到零。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線如圖3-3所示。（t≥0）(3-3)TtTC(t)r(t)=to圖3-3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)二、單位斜坡響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t，其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為第十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)從t=0時(shí)開始跟蹤輸入信號(hào)而單調(diào)上升，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號(hào)同速增長(zhǎng)，但它們之間存在跟隨誤差。即且可見，當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，誤差趨近于T，因此系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時(shí)刻，輸出量c(t)將小于輸入量r(t)一個(gè)T的值，時(shí)間常數(shù)T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。第十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，求得單位脈沖響應(yīng)為由此可見，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏變換。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖3-4所示。

（t≥0）(3-4)0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt圖3-4一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)三、單位脈沖響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數(shù)r(t)=δ(t),其拉氏變換為R(s)=1,則輸出響應(yīng)的拉氏變換為第十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線，曲線的初始斜率為，輸出量的初始值為。當(dāng)t趨于∞時(shí)，輸出量c(∞)趨于零，所以它不存在穩(wěn)態(tài)分量在實(shí)際中一般認(rèn)為在t=3T～4T時(shí)過度過程結(jié)束，故系統(tǒng)過度過程的快速性取決于T的值，T越小系統(tǒng)響應(yīng)的快速性也越好。由上面的分析可見，一階系統(tǒng)的特權(quán)性由參數(shù)T來表述，響應(yīng)時(shí)間為（3-4）T；在t=0時(shí)，單位階躍響應(yīng)的斜率和單位脈沖響應(yīng)的幅值均為;單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為T。T值越小，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好，精度越高。按照脈沖函數(shù)，階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)的順序，前者是后者的導(dǎo)數(shù)，而后者是前者的積分。第十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日比較一階系統(tǒng)對(duì)上述信號(hào)的輸出響應(yīng)可以發(fā)現(xiàn)，脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)、斜坡響應(yīng)之間也存在同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這表明，系統(tǒng)對(duì)某種輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。反之，系統(tǒng)對(duì)某種輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征，它不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，也適用于高階線性定常系統(tǒng)。因此，在后面的分析中，我們將主要研究系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。第十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日§3-3二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。在控制工程實(shí)踐中，二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣泛，此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來研究，因此，詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實(shí)際意義。

C(t)R(t)_C(t)圖3-5二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（3－5）設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-5所示。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其中K為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。第十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日與式（3-5）相對(duì)應(yīng)的微分方程為

可見，該系統(tǒng)是一個(gè)二階系統(tǒng)。為了分析方便，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫成如下形式式中，稱為無阻尼自然振蕩角頻率，（簡(jiǎn)稱為無阻尼自振頻率），稱為阻尼系數(shù)（或阻尼比）。(3-6)第十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為（3-7）它的兩個(gè)根為（3-8）二階系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）的形式隨著阻尼比取值的不同而不同。

1.二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換表達(dá)式為

（3-9）對(duì)上式取拉氏反變換，即可求得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。第二十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日（一）過阻尼（>1）的情況

當(dāng)>1時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，它們?cè)赟平面上的位置如圖3-6所示。此時(shí)，（3-9）可寫成

（3-10）j0[s]圖3-6過阻尼時(shí)極點(diǎn)分布第二十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日式中將、、代入式（3-10），并進(jìn)行拉氏反變換，得

（3-11)式(3-11)表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量組成，其穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量包含兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)，隨著t增加，指數(shù)項(xiàng)衰減，響應(yīng)曲線單調(diào)上升，其響應(yīng)曲線如圖3-7所示。第二十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)>>１時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)比距虛軸遠(yuǎn)的多，故比衰減快的多。因此，可以忽略對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，從而把二階系統(tǒng)近似看作一階系統(tǒng)來處理。在工程上，當(dāng)時(shí)，這種近似處理方法具有足夠的準(zhǔn)確度。通常，稱阻尼比時(shí)二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為過阻尼狀態(tài)。

C(t)to1圖3-7過阻尼響應(yīng)第二十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

它們?cè)赟平面上的位置如圖3-8所示。此時(shí)，式（3-9）可寫成

（3-12）[s]o圖3-8欠阻尼時(shí)的極點(diǎn)分布(二)欠阻尼（）的情況當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且在S平面的左半部分，即第二十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日將它們代入式（3-12）并將式中的第二項(xiàng)分成兩項(xiàng)得因?yàn)槭街?，稱為阻尼自振頻率。根據(jù)式（2-44）求得，，第二十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日令,，其中角如圖3-8所示。于是有

式中系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，瞬態(tài)分量是一個(gè)隨時(shí)間t的增大而衰減的正弦振蕩過程。振蕩的角頻率為它取決于阻尼比和無阻尼自然頻率。衰減速度取決于的大小。此時(shí)系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)。輸出響應(yīng)如圖3-9所示。tC(t)10圖3-9欠阻尼響應(yīng)第二十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日（三）臨界阻尼（）的情況當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，，如圖3-10所示。此時(shí)有

將代入式（3-15），并進(jìn)行拉氏反變換，得o[s]圖3-10臨界阻尼時(shí)極點(diǎn)的分布（3－15）第二十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

該式表明，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零開始單調(diào)上升，最后達(dá)到穩(wěn)態(tài)值1，其響應(yīng)曲線如圖3-11所示。是輸出響應(yīng)的單調(diào)和振蕩過程的分界，通常稱為臨界阻尼狀態(tài)。（四）無阻尼（）的情況當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)具有一對(duì)共軛純虛數(shù)極點(diǎn)

,它們?cè)赟平面上的位置如圖3-12（a）所示。將代入式（3-13）得t1oC(t)圖3-11臨界阻尼響應(yīng)第二十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

可見，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是無阻尼的等幅振蕩過程，其振蕩頻率為。響應(yīng)曲線如圖3–12（b）所示。綜上所述，不難看出頻率和的物理意義。

圖3-12無阻尼時(shí)的極點(diǎn)分布和響應(yīng)[s]o(a)C(t)(b)1to第二十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng),系統(tǒng)具有實(shí)部為正的極點(diǎn),輸出響應(yīng)是發(fā)散的，此時(shí)系統(tǒng)已無法正常工作。根據(jù)上面的分析可知，在不同的阻尼比時(shí)，二階系統(tǒng)的響應(yīng)具有不同的特點(diǎn)。因此阻尼比是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)。若選取為橫坐標(biāo)，可以作出不同阻尼比時(shí)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線,

——無阻尼自然振蕩頻率，此時(shí)系統(tǒng)輸出為等幅振蕩

——阻尼振蕩頻率。系統(tǒng)輸出為衰減正弦振蕩過程。第三十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日如圖3-13所示，此時(shí)曲線只和阻尼比有關(guān)。由圖可見，越小，響應(yīng)特性振蕩得越厲害，隨著增大到一定程度后，響應(yīng)特性變成單調(diào)上升的。從過渡過程持續(xù)的時(shí)間看，當(dāng)系統(tǒng)無振蕩時(shí)，以臨界阻尼時(shí)過渡過程的時(shí)間最短，此時(shí)，系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。當(dāng)系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時(shí)，若阻尼比在0.4～0.8之間，則系統(tǒng)的過度過程時(shí)間比臨界阻尼時(shí)更短，而且此時(shí)的振蕩特性也并不嚴(yán)重。圖3-13二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)第三十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日一般希望二階系統(tǒng)工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下，在工程實(shí)際中，通常選取作為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。2．二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)在實(shí)際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)性能的好壞是通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特征量來表示的。為了定量地評(píng)價(jià)二階系統(tǒng)的控制質(zhì)量，必須進(jìn)一步分析和對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響，并定義二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一些特征量作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常希望二階系統(tǒng)工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下。第三十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

此時(shí)，系統(tǒng)在具有適度振蕩特性的情況下，能有較短的過渡過程時(shí)間，因此下面有關(guān)性能指標(biāo)的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo)，主要是針對(duì)二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進(jìn)行的。控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一般來說是與初始條件有關(guān)的，為了便于比較各種系統(tǒng)的控制質(zhì)量，通常假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為

(3-18)

第三十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖3-14所示下面就根據(jù)式（3-18）和圖3-14所示曲線來定義系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)，同時(shí)討論性能指標(biāo)與特征量之間的關(guān)系。1、上升時(shí)間響應(yīng)曲線從零開始上升，第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，稱為上升時(shí)間。根據(jù)上述定義，當(dāng)時(shí)，，，由式（3-18）可得超調(diào)量C(t)上升時(shí)間峰值時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差o1.0t圖3-14二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)第三十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日即所以（k=0,1,2……）由于上升時(shí)間是C（t）第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故取k=1，所以

由式(3-19)可以看出，當(dāng)一定時(shí)，阻尼比越大，上升時(shí)間越長(zhǎng)，當(dāng)一定時(shí)，越大，越小。(3-19)第三十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日由定義，將式（3-18）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其等于零，即得經(jīng)變換可得所以即（k=1,2，……）因?yàn)榉逯禃r(shí)間是C(t)到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間，故取=1,所以2、峰值時(shí)間

響應(yīng)曲線C（t）從零開始到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間，稱為峰值時(shí)間。（3－20）第三十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日可見，當(dāng)一定時(shí)，越大，越小，反應(yīng)速度越快。當(dāng)一定時(shí)，越小，也越小。由于是閉環(huán)極點(diǎn)虛部的數(shù)值，越大，則閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離越遠(yuǎn)，因此，也可以說峰值時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離成反比。

（3－20）第三十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日3、超調(diào)量

在響應(yīng)過程中，輸出量C（t）超出其穩(wěn)態(tài)值的最大差量與穩(wěn)態(tài)值之比稱為超調(diào)量。超調(diào)量可表示為式中為輸出量的最大值，為輸出量的穩(wěn)態(tài)值。將式（3-20）代入式（3-18）求得輸出量的最大值為所以

第三十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)超調(diào)量的定義，并考慮到，求得

該式表明，只是的函數(shù)，而與無關(guān)，越小,則越大。當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比確定后，即可求得對(duì)應(yīng)的超調(diào)量。反之，如果給出了超調(diào)量的要求值，也可求得相應(yīng)的阻尼比的數(shù)值。一般當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的超調(diào)量。與關(guān)系曲線如圖3-15所示。

（3-21）10090807060504030201000.20.40.60.81.0圖3-15欠阻尼二階系統(tǒng)超調(diào)與阻尼比關(guān)系曲線第三十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

4、調(diào)節(jié)時(shí)間響應(yīng)曲線到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的（或)誤差范圍內(nèi)所需的最小時(shí)間稱為調(diào)節(jié)時(shí)間（或過渡過程時(shí)間）。根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義應(yīng)有下式成立式中（或0.02）將式（3-18）及代入上式得為簡(jiǎn)單起見，可以采用近似的計(jì)算方法，忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.05（或0.02）時(shí)，過渡過程即進(jìn)行完畢，于是得到

第四十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日由此可求得若取，則得

若取，則得

(3-22)(3-23)第四十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日在時(shí)，上面兩式可分別近似為和該式表明，調(diào)節(jié)時(shí)間近似與成反比。由于是閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部的數(shù)值，越大，則閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離越遠(yuǎn)，因此，可以近似地認(rèn)為調(diào)節(jié)時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比。在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，通常由要求的超調(diào)量所決定，而調(diào)節(jié)時(shí)間則由自然振蕩頻率所決定。也就是說，在不改變超調(diào)量的條件下，通過改變的值可以改變調(diào)節(jié)時(shí)間。

(3-24)第四十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日5．振蕩次數(shù)N

響應(yīng)曲線在0～時(shí)間內(nèi)波動(dòng)的次數(shù)稱為振蕩次數(shù)。

根據(jù)定義，振蕩次數(shù)式中稱為系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。若取，，若取，振蕩次數(shù)只與阻尼比有關(guān)。阻尼比和無阻尼自振頻率是二階系統(tǒng)兩個(gè)重要特征參數(shù)，它們對(duì)系統(tǒng)的性能具有決定性的影響。當(dāng)保持不變時(shí)，提高可使、、下降，從而提高系統(tǒng)的快速性，同時(shí)系統(tǒng)的快速性，同時(shí)保持和N不變。第四十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)保持不變時(shí)，增大可使和下降,但使和上升，顯然在系統(tǒng)的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，要使二階系統(tǒng)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能，必須選取合適的阻尼比和無阻尼自振蕩率。通常可根據(jù)系統(tǒng)對(duì)超調(diào)量的限制要求選定，然后在根據(jù)其它要求來確定。例3-1設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-16所示。其中（a）為無速度反饋系統(tǒng)，（b）為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定是系統(tǒng)阻尼比為0.5時(shí)的值，并比較系統(tǒng)（a）和(b)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。第四十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日將上式與式（3-6）相比較得解得,根據(jù)式（3-19）、（3-20）、（3-21）、（3-24）、（3-25）計(jì)算上升時(shí)間R(s)E(s)-C(s)(a)(b)R(s)E(s)C(s)--圖3-16例一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（秒）解系統(tǒng)（a）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為第四十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日峰值時(shí)間

超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間振蕩次數(shù)系統(tǒng)（b）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（秒）（秒）（次）第四十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日將上式與式（3-6）相比較得將代入，解得由和可求得通過上述計(jì)算可知，采用速度反饋后，可以明顯地改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

（秒）（秒）（秒）第四十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日例3—2設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)為試確定參數(shù)K和a的值。解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由此得第四十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日由題意即解得而即解得a=3所以

（秒）第四十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日§3-4

高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時(shí)域響應(yīng)，然后按上述二階系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。但是，高階系統(tǒng)的分布計(jì)算比較困難，同時(shí)，在工程設(shè)計(jì)的許多問題中，過分講究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。因此，工程上通常把高階系統(tǒng)適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化成低階系統(tǒng)進(jìn)行分析。下面簡(jiǎn)單地介紹高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的確定方法及研究高階系統(tǒng)性能的思路和途徑。第五十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為假設(shè)系統(tǒng)所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，且極點(diǎn)中q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和r對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為式中n=q+2r第五十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日將上式展開成部分分式，得

式中、、和都是進(jìn)行部分分式展開時(shí)所確定的常數(shù)。對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為

由此可見，高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成。(3-27)第五十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

各瞬態(tài)分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù)、的值和相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)、、的大小。如果系統(tǒng)所有極點(diǎn)都分布在S平面的左半部分，即所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，那么，當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，式中的指數(shù)項(xiàng)都趨于零，系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。由式（3-27）可以看出，在瞬態(tài)過程中，某衰減項(xiàng)的指數(shù)或的值越大，則該項(xiàng)衰減越快，反之亦然。而和就是系統(tǒng)的極點(diǎn)到虛軸的距離，因此，如果分布在S平面左半部分的極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，則它對(duì)應(yīng)的分量衰減越快。顯然，對(duì)系統(tǒng)過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點(diǎn)。第五十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

各衰減項(xiàng)的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點(diǎn)在S平面中的位置有關(guān)，而且還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。極點(diǎn)的位置距原點(diǎn)越遠(yuǎn)，則相應(yīng)分量的系數(shù)越小，該分量對(duì)系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小，這對(duì)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過度過程的影響也將很小。因此，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)來決定。如果高階系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)（或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）離虛軸最近，且其附近又無零點(diǎn)存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上，則可近似的認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)來確定，而其它極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì)，這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。第五十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來估計(jì)。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣，就可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)。第五十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日§3-5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí)，會(huì)使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。一、穩(wěn)定的概念和定義在自動(dòng)控制理論中，有多種穩(wěn)定性的定義，這里只討論其中最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性的定義。第五十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例圖3-17擺運(yùn)動(dòng)示意圖Af圖3-18不穩(wěn)定系統(tǒng)圖3-19小范圍穩(wěn)定系統(tǒng)dfcA圖3－19中，小球超出了C、D范圍后系統(tǒng)就不再是線性的，故可以認(rèn)為該系統(tǒng)在線性范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。圖3－17為穩(wěn)定的系統(tǒng)。圖3－18為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第五十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日二.穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，自身具有的一種恢復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無關(guān)。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動(dòng)的作用，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的（簡(jiǎn)稱為穩(wěn)定）。否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在小偏差線性化的基礎(chǔ)上，則認(rèn)為系統(tǒng)中各信號(hào)的變化均不超出其線性范圍。此時(shí)，該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義。第五十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用函數(shù)作為擾動(dòng)來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，輸入一個(gè)理想單位脈沖，這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受到一個(gè)擾動(dòng)信號(hào)的作用，如果當(dāng)t趨于時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)C(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。根據(jù)這個(gè)思路分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第五十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日特征方程為如果特征方程的所有根互不相同，且有q個(gè)實(shí)數(shù)根和r對(duì)共軛復(fù)數(shù)根,則在單位脈沖函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換可表示為將上式用部分分式法展開并進(jìn)行拉氏反變換得

（3-28）式中第六十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

式（3-28）表明當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則該根對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時(shí)有，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根，而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則C（t）趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，常稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時(shí)，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根據(jù)都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為S平面的左半部分（不包括虛軸）。第六十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日三.勞斯穩(wěn)定判據(jù)

由以上討論可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部。因此，為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗(yàn)它們是否都具有負(fù)實(shí)部。但是，這種求解系統(tǒng)特征方程的方法，對(duì)低階系統(tǒng)尚可以進(jìn)行，而對(duì)高階系統(tǒng)，將會(huì)遇到較大的困難。因此，人們希望尋求一種不需要求解的特征方程而能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，而勞斯判據(jù)就是其中的一種。勞斯判據(jù)利用特征方程的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根具有負(fù)實(shí)部的條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)，因此，這種判據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。至于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的其它方法如奈氏判據(jù)、根軌跡圖分析法、伯德圖分析法等，將在以后的各章中分別予以介紹。第六十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日1、穩(wěn)定的必要條件

設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

式中（當(dāng)時(shí)，可將方程兩邊同乘以-1）。若該方程的特征根為（1,2,….n）,該n個(gè)根可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則式（3-29）可改寫成為

將上式展開（3－29）……第六十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日由此可見，如果特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部，則式（3-29）的所有系數(shù)必然都大于零。故系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，即根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負(fù)數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當(dāng)特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時(shí)，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以使用勞斯判據(jù)。第六十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日2.勞斯判據(jù)應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可按下述方法進(jìn)行。將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式將方程各項(xiàng)系數(shù)組成勞斯表…………………………………………第六十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算勞斯表的各系數(shù)

……系數(shù)的計(jì)算一直進(jìn)行到其余的b值全部等于零為止。用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘的方法，可以計(jì)算c,d,…

…e,f,g各行的系數(shù)。第六十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

這個(gè)計(jì)算過程一直進(jìn)行到n+1行為止。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去乘或除其一行的各項(xiàng)，這將不改變穩(wěn)定性的結(jié)論?！瓌谒狗€(wěn)定判據(jù)（1）勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況如果勞斯表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號(hào)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。第六十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

114106172

2例3-3已知系統(tǒng)的特征方程為

試用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解列勞斯表第六十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日勞斯表第一列的系數(shù)符號(hào)相同，故系統(tǒng)的是穩(wěn)定的。由于判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定只與勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有關(guān)，而把勞斯表中某一行系數(shù)同乘以一個(gè)正數(shù)不會(huì)改變第一列系數(shù)的符號(hào)，所以為簡(jiǎn)化運(yùn)算，常把勞斯表的某一行同乘以以一個(gè)正數(shù)后，再繼續(xù)運(yùn)算。本例中，勞斯表可按如下方法計(jì)算；

1141061726758(同乘以6)791134（同乘以67）

36900（同乘以791）

134由于第一列系數(shù)的符號(hào)相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結(jié)論與前面一致。第六十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日例3－4已知系統(tǒng)的特征方程為

s4+2s2+s2+s+1=0

試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解列勞斯表如下S4111S3210S2(2*1－1*1)/2=1/2(2*1－1*0)/2=1S1(1*1－2*2)/1=－3S0(－3*2－1*0)/－3=2

由于勞斯表第一列的系數(shù)變號(hào)兩次，一次由1/2變?yōu)?3，另一次由-3變?yōu)?，故特征方程有兩個(gè)根在S平面右半部分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第七十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日(2)勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零的情況

當(dāng)勞斯表某一行的第一列系數(shù)為零，而其余項(xiàng)不全為零，可用一個(gè)很小的正數(shù)代替第一列的零項(xiàng)，然后按照通常方法計(jì)算勞斯表中的其余項(xiàng)。第七十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日例3-5已知系統(tǒng)的特征方程為

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由特征方程列出勞斯表

12512055

當(dāng)?shù)娜≈底銐蛐r(shí)，(2e-5)/e=2-5/e將取負(fù)值，故勞斯表第一列系數(shù)變號(hào)兩次，由勞斯判據(jù)可知，特征方程有兩個(gè)根具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于這種情況，也可以用(s+1)因子乘以原特征方程，然后按新的特征方程計(jì)算勞斯表。例如在上例中用(s+1)乘以原特征方程得0

e（2e-5）/e第七十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日勞斯表為

13724529（同乘以2）

-10101110

顯然，勞斯表第一列系數(shù)變號(hào)兩次，其結(jié)論與前面是一致的。第七十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日例如，，等等。顯然，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。此時(shí)，為了確定根的分布情況，可按下列步驟處理：*利用第K-1行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程。*求輔助方程對(duì)s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替原全部為零的K行，繼續(xù)計(jì)算勞斯表。*特征方程中以原點(diǎn)為對(duì)稱的根可由輔助方程求得。(3)勞斯表某行所有系數(shù)均為零的情況

如果勞斯表中某一行（如第K行）各項(xiàng)為零，這說明在S平面內(nèi)存在以原點(diǎn)為對(duì)稱的特征根。第七十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日1820162121621216000

由上表看出，行的各項(xiàng)全為零，為了求出～各行，由行的各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成輔助方程將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)得用上式各項(xiàng)系數(shù)作為行的各系數(shù)繼續(xù)計(jì)算勞斯表得例3-6已知系統(tǒng)的特征方程為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由特征方程列勞斯表第七十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日18201621216212168246168/316

由于勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)都相同，因此，可以確定沒有特征方程根分布在S平面的右半部分。但由于行的各項(xiàng)均為零，這表明系統(tǒng)有共軛虛根，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，共軛虛根可由輔助方程求得，即由第七十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

或解得綜上所述，應(yīng)用勞斯表判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，一般可以按如下順序進(jìn)行：1、確定系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的必要條件。當(dāng)特征方程的系數(shù)不滿足

(i=0,1,2,……n)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2、當(dāng)特征方程的系數(shù)滿足

(i=0,1,2,……n)時(shí)，計(jì)算勞斯表。當(dāng)勞斯表的第一列系數(shù)都大于零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果第一列出現(xiàn)小于零的系數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3、若計(jì)算勞斯表時(shí)出現(xiàn)情況（2）和（3），此時(shí)為確定系數(shù)極點(diǎn)的分布情況，可按情況（2）和（3）的方法處理。第七十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

運(yùn)用勞斯判據(jù)，不僅可以判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。例3-7已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-20所示。當(dāng)時(shí),試確定K為何值時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。解圖3-20的開環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

R(s)-E(s)1+C(s)圖3-20例3-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第七十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日特征方程為

將，代入特征方程得由特征方程列勞斯表

1750034.67500K

7500K

要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須滿足

第七十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日解不等式得

K〉0，K〈34.6因此，要使不等式穩(wěn)定，參數(shù)K的取值范圍是

0〈K〈34.6例3-8已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-21所示，求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的放大系數(shù)及它與參數(shù)、、之間的關(guān)系解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為R(s)-C(s)圖3-21例3-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第八十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日其中K=，為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程分別為或由特征方程列勞斯表

K+1第八十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須滿足

K+1>0通常，系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)及放大系數(shù)都大于零，因此，要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足或第八十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)

由此可見，、、中只要有一個(gè)足夠小，則就可以增大，決定大小的，實(shí)際上并不是各時(shí)間常數(shù)的絕對(duì)值，而是其相對(duì)值，即決定于各時(shí)間常數(shù)的比值。上式變?yōu)橛纱丝梢?，?dāng)時(shí)，，若取，則所以把時(shí)間常數(shù)錯(cuò)開，可使系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)增大。有些文獻(xiàn)上稱之為“錯(cuò)開原理”。

第八十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日在系統(tǒng)的分析中，勞斯判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)還能給出系統(tǒng)的某些參數(shù)的取值范圍。但是，它的應(yīng)用也具有一定的局限性，通常它只能提供系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性的結(jié)論，而不能指出系統(tǒng)是否具有滿意的動(dòng)態(tài)過程。此外，當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，它不能提供改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法和途徑。第八十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日§3-6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤控制信號(hào)的準(zhǔn)確度或抑制擾動(dòng)信號(hào)的能力，用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。在系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)，它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形成有關(guān)，也與元件的不靈敏、零點(diǎn)漂移、老化及各種傳動(dòng)機(jī)械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。本章只討論由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）

擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。對(duì)恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動(dòng)作用下所受到的影響，因而用擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。本章介紹穩(wěn)態(tài)誤差的概念和計(jì)算方法，研究穩(wěn)態(tài)誤差的規(guī)律性以及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的途徑。第八十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為輸出量的希望值與實(shí)際值之差。對(duì)圖3-22所示的典型系統(tǒng)，其誤差定義有兩種形式：（1）式中，

為系統(tǒng)輸出量的希望值，C(t)為輸出量的實(shí)際值。（2）其中，系統(tǒng)輸出量的希望值是給定輸入r(t)，而輸出量的實(shí)際值為系統(tǒng)主反饋信號(hào)b(t)。通常H（s）是測(cè)量裝置的傳遞函數(shù)，故此時(shí)誤差就是給定輸入與測(cè)量裝置的輸出量之差。第八十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

第一種形式的誤差是從系統(tǒng)輸出端來定義的，它在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中無法測(cè)量，因而，一般只有數(shù)學(xué)意義。而第二種形式的誤差是從系統(tǒng)的輸入端來定義的，它在系統(tǒng)中是可以測(cè)量的，因而具有實(shí)用性。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(t)的變化規(guī)律與給定輸入r(t)的變化規(guī)律完全一致，所以給定輸入r(t)也就是輸出量的希望值，即。此時(shí)，上述兩種定義統(tǒng)一為

e(t)=r(t)-c(t)（3-31）

R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)圖3-22反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第八十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，誤差的兩種定義形式是一致的。對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，若設(shè)第（1）種形式的誤差為E’(s),第（2）種形式的誤差為E(s)，則不難證明E(s)與E’(s)之間存在如下關(guān)系

可見，兩種定義對(duì)非單位反饋系統(tǒng)是存在差異的，但兩種定義下的誤差之間具有確定的關(guān)系，即誤差E’(s)可以直接或間接地由E(s)來確定。從本質(zhì)上看，它們都能反映控制系統(tǒng)的控制精度。在下面的討論中，我們將采用第二種誤差定義。E(t)通常也稱為系統(tǒng)的誤差響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用下整個(gè)工作過程中的精度。誤差響應(yīng)中也包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量?jī)蓚€(gè)部分，如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，瞬態(tài)分量趨近于零，剩下的只是穩(wěn)態(tài)分量。

穩(wěn)態(tài)誤差的定義：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以表示。（3-32）第八十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日二、輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

在圖3-22所示系統(tǒng)中，如果不計(jì)擾動(dòng)輸入的影響，可以求得系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡(jiǎn)化為圖3-23。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)圖3-23給定輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖-第八十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日由圖3-23可知由誤差的定義可知式中稱為給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。應(yīng)用拉氏變換的終值定理可以方便地求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

第九十頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

（3-33）

式（3-33）是確定給定穩(wěn)態(tài)誤差的一個(gè)基本公式。它表明，在給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號(hào)的形式有關(guān)，對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，當(dāng)給定輸入的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。為了分析穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)來規(guī)定控制系統(tǒng)的類型。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)的傳遞函數(shù)為

（3-34）第九十一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日式中稱為系統(tǒng)的開環(huán)放大環(huán)節(jié)或開環(huán)增益。式（3-34）分母中的表示開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處有重極點(diǎn)，或者說有個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)。當(dāng)……時(shí)，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型……系統(tǒng)。分類是以開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目為依據(jù)的，而C(s)H(s)中其它零、極點(diǎn)對(duì)分類沒有影響。下面分析系統(tǒng)在不同典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

第九十二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

令

稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為（3-35）因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)于0型系統(tǒng)，

1、

單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差

對(duì)于單位階躍輸入，R(s)=1/s,由式（3-33）求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為第九十三頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)），

可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大，越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。對(duì)實(shí)際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標(biāo)。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，若要求系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。

第九十四頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日2、

單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差

對(duì)于單位斜坡輸入，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令

稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為（3-36）因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于速度誤差系數(shù)。第九十五頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于0型系統(tǒng)，對(duì)于1型系統(tǒng)，

第九十六頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)），上面的計(jì)算表明，在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對(duì)于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或?yàn)榱悖匦?，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。第九十七頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日3、單位拋物線輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差

對(duì)于單位拋物線輸入，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為對(duì)于0型系統(tǒng)，于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

第九十八頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于1型系統(tǒng)，對(duì)于2型系統(tǒng)，

第九十九頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)），

以上計(jì)算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。對(duì)3型或高于3型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時(shí)要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。第一百頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

在各種典型輸入信號(hào)作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差如表3-1所示。

III系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=Rt加速度輸入III表3-1輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差第一百零一頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日

若給定的輸入信號(hào)不是單位信號(hào)時(shí)，則將系統(tǒng)對(duì)單位信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差成比例的增大，就可以得到相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。若給定輸入信號(hào)是上述典型信號(hào)的線性組合，則系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號(hào)為則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為綜上所述，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)、、和描述了系統(tǒng)對(duì)減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因此，它們是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的一種表示方法。提高開環(huán)放大系數(shù)K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達(dá)到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對(duì)于系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。

第一百零二頁(yè)，共一百一十六頁(yè)，2022年，8月28日此外，由以上討論可知，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)的穩(wěn)態(tài)誤差為零；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。因此，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含有個(gè)串聯(lián)積分環(huán)節(jié)時(shí)，稱系統(tǒng)對(duì)給定輸入r(t)是階無差系統(tǒng)，而稱為系統(tǒng)的無差度。例3-9設(shè)圖3-24所示系統(tǒng)的輸入信號(hào)r(t)=10+5t，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求出其